그리피스 쌍둥이 원뿔이 축약 가능하지 않은 이유는 자명하지 않은(non-trivial) 기본군(fundamental group)을 가지기 때문이다.공간의 축약 가능성(contractibility)과 기본군의 관계를 먼저 이해하면 명확해진다.축약 가능성과 기본군의 관계어떤 위상 공간이 축약 가능하다(contractible) 는 것은 그 공간을 연속적으로 변형하여 하나의 점으로 만들 수 있다는 의미이다.수학적으로, 공간 $X$가 축약 가능할 필요충분조건은 $X$의 항등 함수(identity map)가 상수 함수(constant map)와 호모토픽(homotopic)한 것이다.축약 가능한 공간의 중요한 성질은 모든 호모토피 군이 자명하다는 점이다. 특히, 기본군 $\pi_1(X)$은 원소 하나짜리인 자명군(t..

T1 공간 (프레셰 공간, Fréchet Space)T1 공간은 서로 다른 두 점이 있을 때, 각각의 점은 포함하고 다른 점은 포함하지 않는 열린 집합이 존재하는 공간을 말한다. 이는 모든 한원소집합(singleton set)이 닫힌집합이라는 조건과 동치이다.정리: 위상공간 $X$와 몫사상 $q: X \to Y$에 대해, 몫공간 $Y$가 T1 공간일 필요충분조건은 $X$의 모든 동치류(equivalence class)가 $X$에서 닫힌집합인 것이다.증명 아이디어:($\Rightarrow$) $Y$가 T1 공간이라고 가정하자.T1 공간의 정의에 따라, $Y$의 모든 한원소집합 ${y}$는 닫힌집합이다.몫사상 $q$는 연속함수이므로, 닫힌집합의 원상(preimage)은 닫힌집합이다.따라서 $q^{-1}({y..

역사적 기원: 물리적 필요성과 쿼터니언(Quaternion)외적의 직접적인 조상은 윌리엄 로언 해밀턴이 1843년에 발명한 쿼터니언(사원수) 입니다. 쿼터니언은 3차원 공간에서의 회전을 간결하게 기술하기 위해 만들어진 수 체계입니다.쿼터니언은 하나의 스칼라(실수) 부분과 세 개의 벡터(허수) 부분으로 이루어집니다 ($w + x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$). 해밀턴은 두 개의 '순수 벡터' 쿼터니언(스칼라 부분이 0인 경우)을 곱했을 때 매우 흥미로운 결과가 나온다는 것을 발견했습니다.두 벡터 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$ 와 $\mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3)$ 를 쿼터니언으로 간주하고 곱하면($\mathbf{v}\ma..

미적분학에서 두 개의 서로 다른 점이나 집합을 연결하는 함수가 반드시 존재하는지에 대한 질문은 매우 중요한 문제이다. 이 학습지에서는 연속함수(continuous function)와 미분가능함수(differentiable function)의 존재성을 보장하는 두 가지 중요한 정리를 살펴본다.티체 확장 정리(Tietze Extension Theorem)티체 확장 정리는 닫힌 집합(closed set)에서 정의된 연속함수를 전체 공간으로 확장할 수 있음을 보장한다.정리: $X$가 normal space이고, $A \subset X$가 closed set일 때, $A$에서 정의된 연속함수 $f: A \rightarrow \mathbb{R}$에 대해 $F: X \rightarrow \mathbb{R}$인 연속함..

로버트 소겐프라이 (Robert Sorgenfrey)로버트 헨리 소겐프라이(Robert Henry Sorgenfrey, 1915-1995) 는 미국의 수학자이다. 그는 캘리포니아 대학교 로스앤젤레스(UCLA)에서 수학과 명예교수로 재직했으며, 일반위상수학(General Topology) 분야에 기여했다. 그의 이름은 위상공간의 중요한 반례(counterexample)로 사용되는 조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line) 과 조르겐프라이 평면(Sorgenfrey plane) 에 남아 있다.조르겐프라이 직선 (Sorgenfrey Line)과 $T_4$ 공간조르겐프라이 직선(Sorgenfrey Line), 또는 하한 위상(lower limit topology)은 실수 집합 $\mathbb{R}$에 기저(..

문제 해결을 위한 일반 원칙쐐기 합 공간 $X \vee Y$의 군을 계산할 때는 다음 두 가지 원칙을 기억하면 모든 문제를 풀 수 있습니다.기본군($\pi_1$)은 자유곱($\ast$)으로 계산한다 :이는 각 공간의 모든 경로 정보를 손실 없이 그대로 합치는 개념입니다.공식 : $\pi_1(X \vee Y) \cong \pi_1(X) \ast \pi_1(Y)$계산법 : 각 그룹의 생성원(generator)과 관계식(relator)을 단순히 모두 합칩니다.호몰로지 군($H_1$)은 직접합($\oplus$)으로 계산한다 :이는 각 공간의 아벨화된(abelianized) 정보를 합치는 개념입니다.공식 : $H_1(X \vee Y) \cong H_1(X) \oplus H_1(Y)$계산법 : 각 공간의 $H_1$..