그리피스 쌍원뿔 (Griffiths Twin Cone)

 

그리피스 쌍둥이 원뿔이 축약 가능하지 않은 이유는 자명하지 않은(non-trivial) 기본군(fundamental group)을 가지기 때문이다.

공간의 축약 가능성(contractibility)과 기본군의 관계를 먼저 이해하면 명확해진다.

축약 가능성과 기본군의 관계

어떤 위상 공간이 축약 가능하다(contractible) 는 것은 그 공간을 연속적으로 변형하여 하나의 점으로 만들 수 있다는 의미이다.

• 수학적으로, 공간 $X$가 축약 가능할 필요충분조건은 $X$의 항등 함수(identity map)가 상수 함수(constant map)와 호모토픽(homotopic)한 것이다.
• 축약 가능한 공간의 중요한 성질은 모든 호모토피 군이 자명하다는 점이다. 특히, 기본군 $\pi_1(X)$은 원소 하나짜리인 자명군(trivial group), 즉 $\pi_1(X) = {e}$ 이다.

따라서 이 명제의 대우(contrapositive)를 생각하면, 만약 어떤 공간의 기본군이 자명하지 않다면, 그 공간은 절대로 축약 가능할 수 없다. 그리피스 쌍둥이 원뿔이 바로 이 경우에 해당한다.

그리피스 쌍둥이 원뿔의 기본군이 자명하지 않은 이유

그리피스 쌍둥이 원뿔 $G$는 두 개의 원뿔, 즉 홀수 번째 원들로 이루어진 밑면을 가진 원뿔 $C_1$과 짝수 번째 원들로 이루어진 밑면을 가진 원뿔 $C_2$를 밑점 $p$에서 붙여 만든 공간이다.

1. 각각의 원뿔은 축약 가능하다 : 원뿔 $C_1$과 $C_2$는 각각 독립적으로 보면 꼭짓점(vertex)으로 축약 가능하며, 따라서 기본군이 자명하다. $C_1$ 안에 있는 어떤 루프(loop)든 $C_1$의 꼭짓점으로 수축시킬 수 있고, $C_2$ 안의 루프도 마찬가지이다.
2. 두 원뿔을 넘나드는 '특수한' 루프의 존재 : 문제는 $C_1$과 $C_2$를 무한히 번갈아 가며 지나는 루프이다. 예를 들어 다음과 같은 루프 $\gamma$를 생각할 수 있다.

• 밑점 $p$에서 시작하여 홀수 번째 첫 번째 원 $S_1$을 한 바퀴 돈다.
• 다시 $p$로 돌아와 짝수 번째 첫 번째 원 $S_2$를 한 바퀴 돈다.
• 다시 $p$로 돌아와 홀수 번째 두 번째 원 $S_3$을 한 바퀴 돈다.
• 이 과정을 무한히 반복하며, 점점 더 작은 원들을 번갈아 지나는 루프이다.

3. '특수한' 루프의 축약 불가능성 : 이 루프 $\gamma$는 그리피스 쌍둥이 원뿔 $G$ 안에서 하나의 점으로 축약될 수 없다.

• 루프의 홀수 번째 부분(예: $S_{2n-1}$을 도는 부분)을 축약하려면 원뿔 $C_1$의 꼭짓점 방향으로 끌어당겨야 한다.
• 루프의 짝수 번째 부분(예: $S_{2n}$을 도는 부분)을 축약하려면 원뿔 $C_2$의 꼭짓점 방향으로 끌어당겨야 한다.

이 루프는 밑점 $p$에 무한히 가까워지면서 홀수 원뿔과 짝수 원뿔을 무한히 번갈아 지나간다. 이 루프 전체를 하나의 점으로 연속적으로 변형(호모토피)시키려고 하면, 밑점 $p$ 근방에서 문제가 발생한다. $p$에 아주 가까운 지점들 중 어떤 것은 $C_1$의 꼭짓점으로, 어떤 것은 $C_2$의 꼭짓점으로 "동시에" 끌려가야 하는데, 이는 연속적인 변형을 불가능하게 만든다. 밑점 $p$가 바로 이러한 변형을 방해하는 '와일드 포인트(wild point)' 역할을 한다.

결론

• 그리피스 쌍둥이 원뿔 $G$에는 하나의 점으로 축약될 수 없는 루프 $\gamma$가 존재한다.
• 이는 루프 $\gamma$가 기본군 $\pi_1(G)$에서 자명하지 않은(non-trivial) 원소임을 의미한다.
• 따라서, $\pi_1(G) \neq {e}$ 이다.
• 기본군이 자명하지 않으므로, 그리피스 쌍둥이 원뿔은 축약 가능하지 않다.

결론적으로, 비록 축약 가능한 두 공간($C_1$과 $C_2$)의 합집합으로 만들어졌지만, 두 공간이 만나는 점의 '나쁜' 위상적 성질(wildness) 때문에 전체 공간은 축약 가능성을 잃게 되는 것이다.

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밑점(basepoint)이 $b_0=(0,0)$이고 중심이 $(1/n, 0)$, 반지름이 $1/n$인 원을 $C_n$이라 하자. 귀걸이 공간(earring space)의 홀수 번째 원들의 합집합을 $\mathbb{E}o=\bigcup{k\in\mathbb{N}}C_{2k-1}$라 하고, 짝수 번째 원들의 합집합을 $\mathbb{E}e=\bigcup{k\in\mathbb{N}}C_{2k}$라 하자. 그러면 그 합집합 $\mathbb{E}=\mathbb{E}_o\cup \mathbb{E}_e$는 일반적인 귀걸이 공간이 되며, $\mathbb{E}_o\cap \mathbb{E}_e={b_0}$이다. $\mathbb{E}$를 $\mathbb{R}^3$의 $xy$-평면에 내장(embed)하자. 꼭짓점이 $(0,0,1)$이고 밑면이 홀수 번째 원들인 원뿔을 $C\mathbb{E}_o\subseteq \mathbb{R}^3$라 하고, 꼭짓점이 $(0,0,-1)$이고 밑면이 짝수 번째 원들인 원뿔을 $C\mathbb{E}_e\subseteq \mathbb{R}^3$라 하자. 그리피스 쌍둥이 원뿔 은 $\mathbb{G}=C\mathbb{E}_o\cup C\mathbb{E}_e$이다.

일반적 구성:
$\mathbb{E}_o$와 $\mathbb{E}_e$는 $\mathbb{E}$와 위상동형(homeomorphic)이므로, 귀걸이 공간 위의 원뿔을 $C\mathbb{E}=\mathbb{E}\times [0,1]/\mathbb{E}\times{1}$로 정의하고, 밑점 $x_0$를 몫공간(quotient)에서 $(b_0,0)$의 상(image)으로 하여 $\mathbb{G}$를 구성할 수도 있다. 그러면 $\mathbb{G}$는 $(C\mathbb{E},x_0)\vee(C\mathbb{E},x_0)$의 쐐기 합(wedge sum)이 된다.

위상적 성질:
2차원, 경로연결(path-connected), 국소 경로연결(locally path-connected), 콤팩트 거리 공간(compact metric space)이다. $\mathbb{R}^3$에 내장될 수 있다.

기본군 (Fundamental Group):
포함 함수(inclusion) $i_o:\mathbb{E}o\to\mathbb{E}$와 $i_e:\mathbb{E}_e\to\mathbb{E}$는 단면(section)이므로 $\pi_1$에 대한 단사 함수(injection)를 유도한다. 이 준동형사상들의 상을 각각 $H_o=(i_o){}(\pi_1(\mathbb{E}o,b_o))$와 $H_e=(i_e){}(\pi_1(\mathbb{E}_e,b_0))$라 하자. 판 캄펀 정리(van Kampen Theorem)에 의해, $\pi_1(\mathbb{G},b_0)$는 $\pi_1(\mathbb{E},b_0)/N$과 동형(isomorphic)이다. 여기서 $N$은 $H_o\cup H_e$의 정규 폐포(normal closure)이다.

다른 방법으로는, 각각 $\mathbb{E}o$와 $\mathbb{E}_e$를 $b_0$로 축약시키고 나머지에서는 항등 함수(identity)인 수축 사상(retraction) $f_o,f_e:\mathbb{E}\to\mathbb{E}$를 생각할 수 있다. 그러면 $\pi_1(\mathbb{G},b_0)$는 유도된 준동형사상 $(f_o){},(f_e)_{}:\pi_1(\mathbb{E},b_0)\to \pi_1(\mathbb{E},b_0)$의 코이퀄라이저(coequalizer)와 동형이다.

기본군의 성질:
비가산(Uncountable), 꼬임 없는(torsion free), 국소적으로 자유인(locally free) 그룹이다. 잉여적으로 자유(residually free)이지는 않다.

고차 호모토피 군:
$n \geq 2$에 대해 $\pi_n(\mathbb{G},b_0)=0$이다. 즉, $\mathbb{G}$는 비구면(aspherical) 공간이다.

호몰로지 군:
$\widetilde{H}n(\mathbb{G})=\begin{cases} \prod{\mathbb{N}}\mathbb{Z}/\bigoplus_{\mathbb{N}}\mathbb{Z}, & n=1\ 0, & n\neq 1 \end{cases}$
참고: 1차원에서의 동형은 구성적(constructive)이지 않다.

체흐 호모토피 군 (Čech Homotopy groups):
모든 $n\geq 0$에 대해 $\check{\pi}_n(\mathbb{G})=0$이다. 더 나아가, $\mathbb{G}$는 한 점과 모양 동치(shape equivalent)이다.

체흐 호몰로지 군 (Čech Homology groups):
모든 $n\geq 0$에 대해 $\check{H}_n(\mathbb{G})=0$이다.

와일드 집합 (Wild Set) / 호모토피 유형:
와일드 집합 $\mathbf{w}(\mathbb{G})={b_0}$는 한 점으로 이루어져 있다.

기타 성질:

• 반-국소 단일연결(Semi-locally simply connected): 아니다.
• 전통적인 보편 덮개 공간(Universal Covering Space): 갖지 않는다.
• 일반화된 보편 덮개 공간: 갖지 않는다.
• 호모토피 하우스도르프(Homotopically Hausdorff): 아니다.
• 강한 (자유) 호모토피 하우스도르프: 아니다.
• 호모토피 경로-하우스도르프(Homotopically Path-Hausdorff): 아니다.
• 1–UV_0: 아니다.
• $\pi_1$-모양 단사($\pi_1$-shape injective): 아니다.

참고 문헌:

[1] H.B. Griffiths, The fundamental group of two spaces with a common point, Quart. J. Math. Oxford (2) 5 (1954) 175-190.
[2] H. Fischer, K. Eda, Cotorsion-free groups from a topological viewpoint, Topology Appl. 214 (2016) 21-34.
[3] K. Eda, A locally simply connected space and fundamental groups of one point unions of cones, Proceedings of the American Mathematical Society. 116 no. 1 (1992) 239-249.

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그리피스 쌍둥이 원뿔 (또는 그리피스 공간 )은 1950년대에 H.B. Griffiths에 의해 처음 연구되었습니다.

Griffiths는 이 괴물 같은 공간이 두 개의 축약 가능(contractible) 부분 공간의 합집합임에도 불구하고, 자명하지 않은(non-trivial) — 사실은 비가산(uncountable)적인 — 기본군(fundamental group)을 가진다는 것을 보였습니다.

그리피스 쌍둥이 원뿔의 구성

임의의 공간 $X$에 대해, $X$ 위의 원뿔(cone)은 공간 $\displaystyle CX=\frac{X\times [0,1]}{X\times {1}}$입니다. $X\times {1}$의 상(image)은 원뿔의 꼭짓점(vertex) $v$이고, $X\times{0}$의 (위상동형인) 상은 원뿔의 밑면(base)입니다. 모든 원뿔 $CX$는 (원뿔의 꼭짓점으로) 축약 가능하며, 결과적으로 자명한 기본군을 가집니다.

이제 $X$가 밑점(basepoint) $x$를 가지고, $\ast$가 원뿔 $CX$의 밑면에서 $(x,0)$의 상이라고 가정해 봅시다. 이제 두 개의 원뿔 복사본을 한 점에서 붙여 "쐐기 합" 공간 $TC(X,x)=(CX,\ast)\vee (CX,\ast)$를 만듭니다. 이 공간을 $X$ 위의 쌍둥이 원뿔이라고 부릅시다. 우리는 두 개의 축약 가능한 공간을 붙였으니 이 쌍둥이 원뿔은 축약 가능해야 하지 않을까요? 음... 정확히는 그렇지 않습니다. 만약 우리가 두 원뿔을 그 꼭짓점에서 붙여 쐐기 합 $(CX,v)\vee (CX,v)$를 형성했다면, 네, 우리는 축약 가능한 공간을 얻었을 것입니다. 하지만 $X$가 $x$에서 "와일드(wild)"하다면, 원뿔은 반드시 $\ast$로 축약되지는 않습니다. 그리피스 쌍둥이 원뿔은 축약 불가능한 쌍둥이 원뿔의 한 예입니다.

정의: $\mathbb{E}\subset\mathbb{R}^2$를 밑점이 $x=(0,0)$인 일반적인 귀걸이 공간(earring space)이라고 하자. 그리피스 쌍둥이 원뿔은 $\mathbb{G}$로 표기하며, 귀걸이 공간 위의 쌍둥이 원뿔 $TC(\mathbb{E},x)=(C\mathbb{E},\ast)\vee(C\mathbb{E},\ast)$이다.

다시 말해, 우리는 귀걸이 공간의 원뿔 두 개를 가져와서 밑면에 있는 와일드 포인트에서 서로 붙여 $\mathbb{G}$를 구성합니다.

붙여진 원뿔들의 밑면은 두 개의 귀걸이 공간의 한 점 합 $(\mathbb{E},x)\vee(\mathbb{E},x)$을 형성하며, 이는 명백히 $\mathbb{E}$ 자체와 위상동형(homeomorphic)입니다. 이는 우리가 $\mathbb{E}$와 $\mathbb{G}$의 기본군 사이의 관계를 명확히 하는 데 도움이 될 약간 다른 방식으로 이 공간을 구성할 수 있음을 의미합니다.

대안적 구성: 각 정수 $n\geq 1$에 대해, $C_n\subset\mathbb{R}^2$을 중심이 $(\frac{1}{n},0)$이고 반지름이 $\frac{1}{n}$인 원이라고 하자. 이제 이 원들과 그들의 합집합 $\mathbb{E}=\bigcup_{n\geq 1}C_n$을 $\mathbb{R}^3$의 xy-평면에서 바라봅시다.

• $v_1=(0,0,1)$과 $v_0=(0,0,-1)$이라고 하자.
• $n$이 홀수이면, $A_n$을 $C_n$에서 $v_1$으로 가는 모든 선분들의 합집합이라고 하자.
• $n$이 짝수이면, $A_n$을 $C_n$에서 $v_0$으로 가는 모든 선분들의 합집합이라고 하자.

요컨대, $A_n$은 꼭짓점이 $v_{n\text{ mod}2}$인 $\mathbb{R}^3$ 안의 $C_n$의 원뿔입니다. 그리피스 쌍둥이 원뿔은 밑점이 $x_0=(0,0,0)$인 합집합 $\mathbb{G}=\bigcup_{n\geq 1}A_n$입니다.

$\mathbb{G}$와 xy-평면의 교집합은 이제 귀걸이 공간의 표준적인 구성이라는 점에 주목하십시오. 지금부터 우리는 이런 방식으로 $\mathbb{E}$를 $\mathbb{G}$의 부분 공간으로 간주할 것입니다.

기본군 $\pi_1(\mathbb{G})$에 대해 우리가 바로 할 수 있는 몇 가지 간단한 관찰은 다음과 같습니다.

• 모든 부분 공간 $A_n$은 원의 원뿔이므로 축약 가능합니다 (따라서 단위 원판과 위상동형입니다). 결과적으로, 만약 xy-평면에서 $C_n$을 시계 반대 방향으로 한 바퀴 도는 원을 $\ell_n:[0,1]\to C_n\subset\mathbb{G}$라고 하면, $\ell_n$은 ($\mathbb{G}$ 안에서) 상수 루프(constant loop)와 호모토픽(homotopic)하며, $[\ell_n]$은 항등원(identity element) $1\in\pi_1(\mathbb{G})$입니다.
• 이전 요점은 만약 $F\subset{1,2,...}$가 임의의 유한 정수 집합이고 $A_F=\bigcup_{n\in F}A_n$이면, 상이 $A_F$ 안에 있는 어떤 루프 $\alpha:[0,1]\to\mathbb{G}$에 대해서도 $[\alpha]=1$임을 의미합니다.
• 주어진 (유한 또는 무한) 부분 집합 $S\subset {1,2,...}$가 모든 짝수 또는 모든 홀수 정수를 포함한다고 가정해 봅시다. 그러면 $A_{S}=\bigcup_{n\in S}A_n\cong C\mathbb{E}$는 귀걸이 공간 위의 원뿔과 위상동형이며 따라서 축약 가능합니다. 이것은 상이 무한히 많은 서로 다른 원뿔에 있더라도, 상이 $A_S$에 있는 어떤 밑점을 가진 루프 $\alpha:[0,1]\to\mathbb{G}$에 대해서도 $[\alpha]=1$임을 의미합니다.
• 덜 명확한 것은 $\left[\frac{n-1}{n},\frac{n}{n+1}\right]$ 구간에서 $\ell_n$으로 정의되고 $\alpha(1)=x_0$인 무한 연결 $\alpha=\ell_1\ell_2\ell_3\ell_4\cdots$에 무슨 일이 일어나는가입니다. 이 루프는 무한히 많은 짝수 원과 무한히 많은 홀수 원을 번갈아 가며 감습니다. 분명히, 우리는 이 루프들의 유한한 개수를 축약할 수 있으며, 이는 임의의 $n\geq 1$에 대해 $\alpha$가 $\ell_n\ell_{n+1}\ell_{n+1}\cdots$와 호모토픽함을 보여줍니다. 하지만 우리가 $\alpha$를 밑점에 임의로 가깝게 변형할 수 있다 하더라도, 이 루프를 두 꼭짓점까지 무한히 많이 위아래로 완전히 축약해야 하므로 호모토픽하게 자명할 것 같지는 않습니다.

그리피스 쌍둥이 원뿔의 기본군

$\pi_1(\mathbb{E})$와 $\pi_1(\mathbb{G})$ 사이의 관계를 기초적인 용어로 이해하기 위해, 우리는 기본군에 대한 가장 유용한 계산 결과 중 하나인 판 캄펀 정리(van Kampen theorem)의 다음과 같은 특별한 경우를 사용할 것입니다.

판 캄펀 정리 (특별한 경우): $X$가 두 경로연결(path-connected) 열린 집합 $U_1,U_2$의 합집합이고, $U_1\cap U_2$가 경로연결이며 밑점 $x_0$를 포함한다고 가정하자. 만약 $U_1$이 단일 연결(simply connected)이면, $\pi_1(X)\cong \pi_1(U_2)/N$이다. 여기서 $N$은 포함 함수(inclusion)에 의해 유도된 준동형사상 $Im(\pi_1(U_1\cap U_2)\to \pi_1(U_2))$의 상(image)의 정규 폐포(conjugate closure)이다.

귀걸이 공간의 홀수 번째 원들을 $\displaystyle\mathbb{E}{odd}=\bigcup{n\text{ 홀수}}C_n$라 하고 짝수 번째 원들을 $\displaystyle\mathbb{E}{even}=\bigcup{n\text{ 짝수}}C_n$이라 하자. (역주: 원문에는 even으로 오타가 있으나 odd, even으로 수정함) 이 두 부분 공간은 모두 여전히 $\mathbb{E}$와 위상동형이다. 이들을 $\mathbb{E}$의 부분 공간으로 포함시킴으로써, 우리는 $\pi_1(\mathbb{E})$의 두 중요한 부분군을 얻는다. 포함에 의해 유도된 단사준동형사상(monomorphism)의 상을 각각

$G_{odd}=Im(k_{odd}:\pi_1(\mathbb{E}{odd})\to\pi_1(\mathbb{E}))$ 와 $G{even}=Im(k_{even}:\pi_1(\mathbb{E}_{even})\to\pi_1(\mathbb{E}))$

라고 하자.

정리 1: 포함 함수 $i:\mathbb{E}\to\mathbb{G}$는 기본군들의 전사 함수(surjection) $\phi:\pi_1(\mathbb{E})\to\pi_1(\mathbb{G})$를 유도한다. 더 나아가, $\ker\phi$는 $G_{odd}\cup G_{even}$의 정규 폐포이다.

증명. $\mathbb{G}$의 열린 덮개(open cover)를 다음과 같이 정의하자: $U={(x,y,z)\in\mathbb{G}|-2/3<z<2/3}$, $V_{odd}={(x,y,z)\in\mathbb{G}|z>1/3}$, 그리고 $V_{even}={(x,y,z)\in\mathbb{G}|z<-1/3}$.

이 열린 집합들과 그들의 기본군에 대한 몇 가지 기본적인 관찰을 해보자:

• $\mathbb{G}=V_{odd}\cup U\cup V_{even}$,
• $U$, $V_{odd}$, 그리고 $V_{even}$은 경로연결이다,
• $V_{odd}$와 $V_{even}$은 각각 밑면이 제거된 원뿔이므로 축약 가능하여 단일 연결이다,
• $U\cong\mathbb{E}\times(-2/3,2/3)$는 $\mathbb{E}$로 변형 수축(deformation retract)한다. 따라서 $\pi_1(U)=\pi_1(\mathbb{E})$로 간주할 수 있다,
• $V_{odd}\cap U\cong\mathbb{E}{odd}\times (1/3,2/3)$는 경로연결이며 $\mathbb{E}{odd}$로 변형 수축한다. 이는 포함 $V_{odd}\cap U\to U$가 표준적인 준동형사상 $k_{odd}:\pi_1(\mathbb{E}_{odd})\to\pi_1(\mathbb{E})$를 유도함을 의미한다.
• $V_{even}\cap U\cong\mathbb{E}{even}\times (-2/3, -1/3)$는 경로연결이며 $\mathbb{E}{even}$으로 변형 수축한다. 이는 포함 $V_{even}\cap U\to U$가 표준적인 준동형사상 $k_{even}:\pi_1(\mathbb{E}_{even})\to\pi_1(\mathbb{E})$를 유도함을 의미한다.

이제 판 캄펀 정리의 특별한 경우를 적용할 준비가 되었다 – 먼저 $X=V_{odd}\cup U$에, 그리고 나서 $\mathbb{G}=X\cup V_{even}$에.

첫 번째 적용: $V_{odd}$가 단일 연결이므로, 판 캄펀 정리는 $\pi_1(X)=\pi_1(V_{odd}\cup U)\cong\pi_1(\mathbb{E})/K_1$임을 의미한다. 여기서 $K_1$은 포함 $V_{odd}\cap U\to U$에 의해 유도된 기본군 준동형사상의 상 $G_{odd}=Im(\pi_1(\mathbb{E}_{odd})\to\pi_1(\mathbb{E}))$의 정규 폐포이다.

두 번째 적용: $V_{even}\cap X=V_{even}\cap U$임에 주목하자. $V_{even}$이 단일 연결이므로, 판 캄펀 정리는 $\pi_1(\mathbb{G})=\pi_1(V_{even}\cup X)\cong\pi_1(X)/K_2$임을 의미한다. 여기서 $K_2$는 포함 $V_{even}\cap U=V_{even}\cap X\to X$에 의해 유도된 준동형사상 $\pi_1(\mathbb{E}_{even})\to\pi_1(X)$의 상의 정규 폐포이다.

종합하면, 포함 함수

$i:\mathbb{E}\to X\to\mathbb{G}$

는 기본군들의 전사 함수

$\phi:\pi_1(\mathbb{E})\to\pi_1(X)\to\pi_1(\mathbb{G})$

를 유도한다. 이것은 정리의 첫 번째 진술, 즉 $\phi$가 전사 함수라는 것을 증명한다.

$N$을 $G_{odd}\cup G_{even}$의 정규 폐포라고 하자. 우리는 $N=\ker\phi$임을 보여야 한다. 위의 관찰에 따르면, 상이 전적으로 $\mathbb{E}{odd}$ 또는 $\mathbb{E}{even}$에 있는 모든 루프는 $\mathbb{G}$에서 영 호모토픽(null-homotopic)하다. $\phi$가 포함에 의해 유도되었으므로, $\phi(G_{odd})=\phi(G_{even})=1$은 자명하다. 이는 $N\subseteq\ker\phi$임을 의미한다.

다른 포함 관계를 위해, 포함에 의해 유도되어 합성하면 $\phi$가 되는 전사 함수 $a:\pi_1(\mathbb{E})\to\pi_1(X)$와 $b:\pi_1(X)\to\pi_1(\mathbb{G})$를 생각하자. 판 캄펀 정리의 두 적용에 의해, $\ker(a)=K_1$이고 $\ker(b)=K_2$이다. 따라서 $\ker\phi=a^{-1}(K_2)$이다. $K_2$는 $Im(\pi_1(\mathbb{E}{even})\to\pi_1(X))=a(G{even})$의 정규 폐포임을 상기하자. 그러므로 만약 $g\in\ker\phi$이면, $a(g)$는

$a(\ell_{1}^{-1}k_1\ell_1\ell_{2}^{-1}k_2\ell_2...\ell_{n}^{-1}k_n\ell_n)=[h_{1}^{-1}a(k_1)h_{1}][h_{2}^{-1}a(k_2)h_{2}]...[h_{n}^{-1}a(k_n)h_{n}]$

형태이다. 여기서 $k_j\in G_{even}$이고 $a(\ell_j)=h_j$이다. $k=\ell_{1}^{-1}k_1\ell_1\ell_{2}^{-1}k_2\ell_2...\ell_{n}^{-1}k_n\ell_n$는 $G_{even}$의 정규 폐포에 속한다는 점에 주목하자. 따라서 $gk^{-1}\in\ker(a)=K_1$이며, 이것은 $G_{odd}$의 정규 폐포이다. 따라서 $g$는 잉여류(coset) $K_1k\subset N$의 원소이다. 이것으로 $\ker\phi=N$임의 증명을 마친다. $\square$

각 $m\geq 1$에 대해, 우리는 $\mathbb{G}$의 부분 공간으로 볼 수 있는 더 작은 귀걸이 공간의 복사본 $\mathbb{E}{\geq m}=\bigcup{n\geq m}C_n$을 가진다. 다음 따름정리는 기본적으로 우리가 어떤 루프든 밑점에 원하는 만큼 가깝게 연속적으로 변형할 수 있다는 것을 말해준다.

따름정리 2: 모든 밑점을 가진 루프 $\alpha:[0,1]\to\mathbb{G}$는 모든 $m\geq 1$에 대해 $\mathbb{G}$에서 밑점을 가진 루프 $\beta:[0,1]\to\mathbb{E}_{\geq m}$와 호모토픽하다.

증명. $m\geq 1$를 고정하자. 정리 1에 따르면, $\alpha$는 밑점을 가진 루프 $\gamma:[0,1]\to\mathbb{E}$와 호모토픽하다. 귀걸이 군에 대한 우리의 연구(원래 게시물과 이 게시물의 보조정리 5에서)에 따르면, $\gamma$는 각 루프의 상이 $\mathbb{E}{\geq m}$ 또는 $\bigcup{1\leq k<m}C_k$에 있는 루프들의 유한 연결과 호모토픽하다. 그러나 위에서 관찰했듯이, 상이 $\bigcup_{1\leq k<m}C_k$에 있는 $\mathbb{G}$의 어떤 루프도 호모토픽하게 자명하다. 따라서 $\gamma$는 $\mathbb{G}$에서 $\mathbb{E}_{\geq m}$에 있는 루프와 호모토픽하다. $\square$

$\pi_1(\mathbb{G})$에 대한 또 다른 간단한 관찰

나는 이미 귀걸이 군 $\pi_1(\mathbb{E})$의 다른 속성들에 대해 몇 개의 게시물을 썼다. 이 오래되었지만 좋은 결과 중 하나를 사용하여 $\pi_1(\mathbb{G})$에 대한 흥미로운 것을 증명해 보자.

정리 3: $Hom(\pi_1(\mathbb{G}),\mathbb{Z})=0$이다. 결과적으로, $\pi_1(\mathbb{G})$는 자유군(free group)이 될 수 없다.

증명. 이 게시물의 보조정리 6에서, 우리는 모든 $n\geq 1$에 대해 $[\ell_n]$을 $0$으로 보내는 모든 준동형사상 $\pi_1(\mathbb{E})\to\mathbb{Z}$는 자명한 준동형사상이어야 한다고 결정했다. 그러나 모든 $n\geq 1$에 대해 $\phi([\ell_n])=1$이라는 점에 주목하자. 따라서 만약 $f:\pi_1(\mathbb{G})\to\mathbb{Z}$가 어떤 준동형사상이라면, $f\circ\phi:\pi_1(\mathbb{E})\to\mathbb{Z}$는 자명해야 한다. $\phi$가 전사 함수이므로, $f$는 자명해야 한다.

솔직히, 나는 $\pi_1(\mathbb{G})$를 가산 부분 집합 ${[\ell_n]\in\pi_1(\mathbb{E})|n\geq 1}\subset G_{odd}\cup G_{even}$의 정규 폐포로 $\pi_1(\mathbb{E})$를 나눈 몫군(quotient)으로 생각하고 싶은 유혹을 느낄 수 있다. 그러나 이 몫은 "너무 크다". 왜냐하면 $\pi_1(\mathbb{G})$를 얻기 위해서는 비가산 부분군인 $G_{odd}=Im(\pi_1(\mathbb{E}{odd})\to\pi_1(\mathbb{E}))$와 $G{even}=Im(\pi_1(\mathbb{E}_{even})\to\pi_1(\mathbb{E}))$도 죽여야 하기 때문이다. 내 생각에, 이것이 $\pi_1(\mathbb{G})$를 다루는 것을 조화 군도 군 $\pi_1(\mathbb{HA})$를 다루는 것보다 조금 더 복잡하게 만든다. 예를 들어, $G$가 임의의 자명하지 않은 유한군일 때, 모든 $n\geq 1$에 대해 $f([\ell_n])=1$인 비가산적으로 많은 준동형사상 $f:\pi_1(\mathbb{E})\to G$가 존재한다. 그러나 이것이 $\pi_1(\mathbb{HA})$의 경우처럼 $Hom(\pi_1(\mathbb{G}),G)$가 비가산적이라는 것을 즉시 따르게 하지는 않는다 (비록 구두로 이것이 사실이라고 들었지만).

참고 문헌.

[1] H.B. Griffiths, The fundamental group of two spaces with a common point, Quart. J. Math. Oxford (2) 5 (1954) 175-190.
[2] K. Eda, A locally simply connected space and fundamental groups of one point unions of cones, Proc. Amerc. Math. Soc. 116 no. 1 (1992) 239-249.
https://wildtopology.com/2014/06/28/the-griffiths-twin-cone