몫사상(quotient map)에 대해 분리공리(separation axiom)

T1 공간 (프레셰 공간, Fréchet Space)

T1 공간은 서로 다른 두 점이 있을 때, 각각의 점은 포함하고 다른 점은 포함하지 않는 열린 집합이 존재하는 공간을 말한다. 이는 모든 한원소집합(singleton set)이 닫힌집합이라는 조건과 동치이다.

정리: 위상공간 $X$와 몫사상 $q: X \to Y$에 대해, 몫공간 $Y$가 T1 공간일 필요충분조건은 $X$의 모든 동치류(equivalence class)가 $X$에서 닫힌집합인 것이다.

증명 아이디어:

• ($\Rightarrow$) $Y$가 T1 공간이라고 가정하자.
  • T1 공간의 정의에 따라, $Y$의 모든 한원소집합 ${y}$는 닫힌집합이다.
  • 몫사상 $q$는 연속함수이므로, 닫힌집합의 원상(preimage)은 닫힌집합이다.
  • 따라서 $q^{-1}({y})$는 $X$에서 닫힌집합이다.
  • 정의에 따라 $q^{-1}({y})$는 $y$에 대응하는 동치류이므로, 모든 동치류는 닫힌집합이다.
• ($\Leftarrow$) 모든 동치류가 $X$에서 닫힌집합이라고 가정하자.
  • $Y$가 T1 공간임을 보이려면, $Y$의 임의의 한원소집합 ${y}$가 닫힌집합임을 보이면 된다.
  • 몫위상의 정의에 따라, $Y$의 부분집합 $A$가 닫힌집합일 조건은 그것의 원상 $q^{-1}(A)$가 $X$에서 닫힌집합인 것이다.
  • ${y}$의 원상 $q^{-1}({y})$는 정확히 $y$의 동치류이다.
  • 가정에 의해 이 동치류는 $X$에서 닫힌집합이므로, ${y}$는 $Y$에서 닫힌집합이다.
  • 따라서 $Y$는 T1 공간이다.

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T2 공간 (하우스도르프 공간, Hausdorff Space)

T2 공간은 서로 다른 두 점을 분리하는 서로소인 열린 근방(disjoint open neighborhoods)이 존재하는 공간이다. T2는 T1보다 훨씬 강한 조건이라 보존되기가 더 까다롭다.

반례: 실수 집합 $\mathbb{R}$에 보통위상을 주고, 정수 집합 $\mathbb{Z}$를 하나의 점으로 뭉치는 몫공간을 생각해보자. 이 몫공간은 T1이지만 T2가 아니다. 정수들이 뭉쳐진 점과 다른 점을 분리할 수 없기 때문이다.

정리 1: 몫사상 $q: X \to Y$가 열린 사상(open map)이고, 동치 관계 $R = {(x_1, x_2) \mid q(x_1) = q(x_2)}$의 그래프가 곱공간 $X \times X$에서 닫힌집합이면, $Y$는 하우스도르프 공간이다.

증명 아이디어:

1. $Y$에서 서로 다른 두 점 $y_1, y_2$를 선택한다.
2. 이들의 원상인 동치류 $C_1 = q^{-1}(y_1)$와 $C_2 = q^{-1}(y_2)$는 서로소이다.
3. $R$이 닫힌집합이라는 조건을 이용하면, 임의의 $x_1 \in C_1, x_2 \in C_2$에 대해, $X \times X$에서 $(x_1, x_2)$를 포함하지 않는 $R$의 여집합(열린집합)이 존재한다. 즉, $x_1$의 근방 $U_{x_1}$과 $x_2$의 근방 $V_{x_2}$가 존재하여 $(U_{x_1} \times V_{x_2}) \cap R = \emptyset$이 되게 할 수 있다. 이는 $U_{x_1}$의 어떤 점도 $V_{x_2}$의 어떤 점과 동치가 아님을 의미한다.
4. 이제 $U = \bigcup_{x_1 \in C_1} U_{x_1}$ 와 $V = \bigcup_{x_2 \in C_2} V_{x_2}$ 를 만들면, 이들은 각각 $C_1$과 $C_2$를 포함하는 열린집합이고 서로소인 포화집합(saturated set)의 부분집합이 된다.
5. $q$가 열린 사상이므로, $q(U)$와 $q(V)$는 $Y$에서 $y_1$과 $y_2$를 각각 포함하는 서로소인 열린 근방이 된다. 따라서 $Y$는 T2 공간이다.

정리 2 (더 유용한 경우): $X$가 컴팩트 하우스도르프 공간일 때, 몫공간 $Y$가 하우스도르프 공간일 필요충분조건은 몫사상 $q$가 닫힌 사상(closed map)인 것이다.

참고: 컴팩트 공간에서 하우스도르프 공간으로 가는 연속사상은 항상 닫힌 사상이다. 따라서 $X$가 컴팩트하고 $Y$가 하우스도르프이면 $q$는 자동으로 닫힌 사상이 된다.

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T3 (정칙 공간, Regular) 및 T4 (정규 공간, Normal)

정칙 공간(T1 + 점과 닫힌집합 분리)과 정규 공간(T1 + 두 닫힌집합 분리)은 훨씬 더 강한 조건이다. 이 공리들이 유전되기 위해서는 몫사상이 닫힌 사상이라는 매우 강력한 조건이 필요하다.

정리: $X$가 정규 공간(Normal Space)이고 몫사상 $q: X \to Y$가 닫힌 사상이면, 몫공간 $Y$도 정규 공간이다. (만약 $Y$가 T1이라면 정칙 공간이기도 하다.)

증명 아이디어:

1. $Y$가 정규 공간임을 보이기 위해, $Y$에서 서로소인 닫힌집합 $A, B$를 선택한다.
2. $q$가 연속이므로, 원상 $q^{-1}(A)$와 $q^{-1}(B)$는 $X$에서 서로소인 닫힌집합이다.
3. $X$가 정규 공간이므로, $q^{-1}(A) \subset U'$, $q^{-1}(B) \subset V'$를 만족하는 서로소인 열린집합 $U', V'$가 $X$에 존재한다.
4. 문제는 $q(U')$와 $q(V')$가 $Y$에서 열린집합이라는 보장이 없다는 점이다. 여기서 닫힌 사상 조건이 결정적으로 사용된다.
5. $U = Y \setminus q(X \setminus U')$ 와 $V = Y \setminus q(X \setminus V')$ 라는 집합을 구성한다.
6. $X \setminus U'$ 와 $X \setminus V'$는 $X$에서 닫힌집합이다. $q$가 닫힌 사상이므로, 이들의 상(image)인 $q(X \setminus U')$와 $q(X \setminus V')$는 $Y$에서 닫힌집합이다.
7. 따라서 $U$와 $V$는 $Y$에서 열린집합이다.
8. $A \subset U$ 이고 $B \subset V$ 이며, $U \cap V = \emptyset$ 임을 보일 수 있다. 결과적으로 $Y$는 정규 공간이 된다.

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정리 1: 열린 사상과 닫힌 그래프

몫사상 $q: X \to Y$가 열린 사상(open map)이고, 동치 관계의 그래프 $R = {(x, y) \mid x \sim y}$이 $X \times X$에서 닫힌집합이면, $Y$는 하우스도르프 공간이다.

예시: 평면 $\mathbb{R}^2$에서 원기둥 $S^1 \times \mathbb{R}$ 만들기

1. 공간 $X$: 보통위상이 주어진 유클리드 평면 $\mathbb{R}^2$이다. $\mathbb{R}^2$는 하우스도르프 공간이다.

2. 동치 관계 $\sim$: 두 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$에 대해, $y_1=y_2$ 이고 $x_1 - x_2$가 정수일 때 두 점이 동치라고 정의한다.
   $$(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \iff y_1 = y_2 \text{ and } x_1 - x_2 \in \mathbb{Z}$$
   이 관계는 y좌표가 같은 모든 점들에 대해 x축 방향으로 정수만큼 평행이동하면 겹쳐지는 점들을 하나의 동치류로 묶는 것이다.

3. 몫공간 $Y$: 몫사상 $q: \mathbb{R}^2 \to Y$에 의한 몫공간 $Y$는 무한한 높이의 원기둥($S^1 \times \mathbb{R}$)과 위상동형이다. 각 y좌표 레벨에서 x축($\mathbb{R}$)이 원($S^1$)으로 감기기 때문이다. 원기둥은 잘 알려진 하우스도르프 공간이다.

4. 조건 만족 확인:
   • 몫사상 $q$는 열린 사상이다: $\mathbb{R}^2$의 임의의 열린집합 $U$를 생각하자. $q(U)$가 $Y$에서 열린집합임을 보여야 한다. 몫위상의 정의에 따라, $q^{-1}(q(U))$가 $\mathbb{R}^2$에서 열린집합임을 보이면 된다. $q^{-1}(q(U))$는 $U$를 x축 방향으로 모든 정수만큼 평행이동한 집합들의 합집합($\bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (U + (n, 0))$)이다. 열린집합의 평행이동은 열린집합이고, 열린집합들의 합집합 또한 열린집합이므로 $q^{-1}(q(U))$는 열린집합이다. 따라서 $q$는 열린 사상이다.
   • 그래프 $R$은 닫힌집합이다: $R = {((x_1, y_1), (x_2, y_2)) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \mid y_1=y_2, x_1-x_2 \in \mathbb{Z}}$이다. $R$ 밖의 점 $((a,b), (c,d))$를 생각해보자. 이 점이 $R$에 속하지 않으므로 $b \neq d$ 이거나 $a-c$가 정수가 아니다.
     • 만약 $b \neq d$이면, $b$와 $d$의 작은 근방을 잡아 두 점을 분리할 수 있다.
     • 만약 $b=d$이지만 $a-c$가 정수가 아니면, $a-c$와 가장 가까운 정수 사이에 거리가 존재한다. 따라서 $a,c$의 작은 근방을 잡아 그 차이가 여전히 정수가 되지 않도록 할 수 있다.
       두 경우 모두 점 $((a,b), (c,d))$를 포함하고 $R$과 만나지 않는 열린 근방을 $X \times X$에서 찾을 수 있으므로 $R$의 여집합은 열린집합이다. 따라서 $R$은 닫힌집합이다.

두 조건을 모두 만족하므로, 몫공간인 원기둥 $S^1 \times \mathbb{R}$은 하우스도르프 공간임을 이 정리를 통해 확인할 수 있다.

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정리 2: 컴팩트 하우스도르프 공간

$X$가 컴팩트 하우스도르프 공간일 때, 몫공간 $Y$가 하우스도르프 공간일 필요충분조건은 몫사상 $q$가 닫힌 사상(closed map)인 것이다.
(참고: $X$가 컴팩트이고 $Y$가 하우스도르프이면, 연속사상 $q$는 자동으로 닫힌 사상이 된다.)

예시: 정사각형 $[0,1]^2$에서 토러스(원환면) $S^1 \times S^1$ 만들기

1. 공간 $X$: 보통위상이 주어진 닫힌 정사각형 $X = [0,1] \times [0,1]$이다. $X$는 유클리드 공간의 유계 닫힌부분집합이므로 컴팩트이고, 하우스도르프 공간이다.

2. 동치 관계 $\sim$: 정사각형의 마주보는 변을 동일시한다.

   • 모든 $y \in [0,1]$에 대해 $(0, y) \sim (1, y)$ (왼쪽 변과 오른쪽 변을 붙인다.)
   • 모든 $x \in [0,1]$에 대해 $(x, 0) \sim (x, 1)$ (아래쪽 변과 위쪽 변을 붙인다.)

3. 몫공간 $Y$: 이 몫공간은 토러스(원환면, $S^1 \times S^1$)이다. 토러스는 하우스도르프 공간이다.

4. 조건 만족 확인:
   • 원공간 $X$는 컴팩트 하우스도르프이다: 위에서 확인했듯이, $X=[0,1]^2$는 컴팩트 하우스도르프 공간이다.
   • 몫공간 $Y$는 하우스도르프이다: 토러스 위의 서로 다른 두 점을 생각해보자.
     • 두 점이 모두 정사각형의 내부에서 온 경우, 원래 정사각형이 하우스도르프이므로 쉽게 분리된다.
     • 한 점이 경계(붙여지는 부분)에 있고 다른 점이 내부에 있는 경우에도, 경계선과 거리가 있는 작은 근방을 잡아 분리할 수 있다.
     • 두 점이 모두 경계에서 온 경우에도, 예를 들어 한 점은 x=0, 다른 한 점은 y=0 경계선에서 왔다면, 이들을 분리하는 근방을 잡는 것이 가능하다.
       따라서 몫공간 $Y$는 하우스도르프이다.
   • 결론: 원공간 $X$가 컴팩트하고 몫공간 $Y$가 하우스도르프이므로, 정리 2의 결과에 따라 몫사상 $q: [0,1]^2 \to S^1 \times S^1$은 반드시 닫힌 사상이 된다.

이 예시는 컴팩트 하우스도르프 공간으로부터 만들어진 몫공간이 다시 하우스도르프 공간이 되는 대표적인 사례이다.

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요약

분리공리	몫공간이 공리를 만족하기 위한 조건
T1 (Fréchet)	모든 동치류가 원공간($X$)에서 닫힌집합이어야 한다.
T2 (Hausdorff)	몫사상이 열린 사상이고 동치관계의 그래프가 닫힌집합이거나, 원공간($X$)이 컴팩트 하우스도르프이고 몫사상이 닫힌 사상이어야 한다.
T3 (Regular)	원공간($X$)이 정규 공간이고, 몫사상이 닫힌 사상이며, 몫공간($Y$)이 T1이어야 한다.
T4 (Normal)	원공간($X$)이 정규 공간이고, 몫사상이 닫힌 사상이어야 한다.

결론적으로, 몫공간이 좋은 분리공리를 가지려면 단순히 동치류를 정의하는 것만으로는 부족하며, 동치류 자체가 위상적으로 '잘 행동'하거나(닫힌집합), 몫사상 자체가 강한 성질(열린/닫힌 사상)을 가져야 한다.