쐐기 합(wedge sum) $S^1 \vee S^1$ 공간의 기본군($\pi_1$)과 호몰로지 군($H_1$)

문제 해결을 위한 일반 원칙

쐐기 합 공간 $X \vee Y$의 군을 계산할 때는 다음 두 가지 원칙을 기억하면 모든 문제를 풀 수 있습니다.

1. 기본군($\pi_1$)은 자유곱($\ast$)으로 계산한다 :

• 이는 각 공간의 모든 경로 정보를 손실 없이 그대로 합치는 개념입니다.
• 공식 : $\pi_1(X \vee Y) \cong \pi_1(X) \ast \pi_1(Y)$
• 계산법 : 각 그룹의 생성원(generator)과 관계식(relator)을 단순히 모두 합칩니다.

2. 호몰로지 군($H_1$)은 직접합($\oplus$)으로 계산한다 :

• 이는 각 공간의 아벨화된(abelianized) 정보를 합치는 개념입니다.
• 공식 : $H_1(X \vee Y) \cong H_1(X) \oplus H_1(Y)$
• 계산법 : 각 공간의 $H_1$ 그룹을 계산한 뒤, 이들을 나란히 더합니다.

문제: $S^1 \vee S^1$의 기본군과 호몰로지 군을 구하시오.

1단계: 기본 재료 준비하기

먼저, 쐐기 합을 구성하는 기본 공간인 원($S^1$) 의 군들을 알아야 합니다.

• $S^1$의 기본군 : $\pi_1(S^1)$은 생성원이 하나이고 관계식이 없는 그룹입니다. 생성원을 $a$라고 하면 다음과 같습니다.
• $\pi_1(S^1) \cong \langle a \rangle \cong \mathbb{Z}$
• 생성원 집합 : ${a}$
• 관계식 집합 : $\emptyset$ (없음)
• $S^1$의 호몰로지 군 : $\pi_1(S^1)$은 이미 아벨 군이므로, 아벨화해도 변하지 않습니다.
• $H_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$

2단계: 기본군($\pi_1$) 계산 (자유곱 적용)

이제 일반 원칙 1번을 적용하여 $S^1 \vee S^1$의 기본군을 계산합니다.

1. 두 공간 준비 : 쐐기 합을 이루는 두 개의 $S^1$을 각각 $S^1_a$, $S^1_b$라고 부르겠습니다.

• $\pi_1(S^1_a) = \langle a \rangle$
• $\pi_1(S^1_b) = \langle b \rangle$ (서로 다른 생성원으로 이름 붙임)

2. 생성원 합치기 : 두 그룹의 생성원 집합 ${a}$와 ${b}$를 합칩니다.

• 새로운 생성원 집합 : ${a, b}$

3. 관계식 합치기 : 두 그룹의 관계식 집합 $\emptyset$와 $\emptyset$를 합칩니다.

• 새로운 관계식 집합 : $\emptyset$ (여전히 없음)

4. 결론 :
   $S^1 \vee S^1$의 기본군은 생성원이 $a, b$ 두 개이고 관계식이 없는 그룹입니다. 이는 랭크 2인 자유 군(free group) 이라고 하며 $F_2$로 표기합니다.

$$
\pi_1(S^1 \vee S^1) \cong \langle a, b \rangle = F_2
$$

이 그룹에서는 $ab \neq ba$이므로 비아벨 군 입니다.

3단계: 호몰로지 군($H_1$) 계산 (직접합 적용)

이제 일반 원칙 2번을 적용하여 $S^1 \vee S^1$의 호몰로지 군을 계산합니다.

1. 두 공간 준비 : 1단계에서 준비한 각 공간의 $H_1$을 가져옵니다.

• $H_1(S^1_a) \cong \mathbb{Z}$
• $H_1(S^1_b) \cong \mathbb{Z}$

2. 직접합으로 합치기 : 두 아벨 군을 직접합($\oplus$) 기호로 연결합니다.

$$
H_1(S^1 \vee S^1) \cong H_1(S^1_a) \oplus H_1(S^1_b)
$$

$$
H_1(S^1 \vee S^1) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}
$$

3. 결론 :
   $S^1 \vee S^1$의 첫 번째 호몰로지 군은 $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ 입니다. 이는 랭크 2인 자유 아벨 군 이며, $\mathbb{Z}^2$로 표기하기도 합니다.