첫 번째 호몰로지 군 $H_1(X)$를 기본군 $\pi_1(X, x_0)$의 아벨화(abelianization)로 정의하는 것은 사실 후레비치 정리(Hurewicz theorem)의 결과다. 대수적 위상수학에서 호몰로지 군의 표준적인 정의는 특이 호몰로지(Singular Homology) 를 통해 이루어진다. 이 외에도 계산의 편의성을 위해 단체 호몰로지(Simplicial Homology) 라는 정의도 사용된다.특이 호몰로지 (Singular Homology)특이 호몰로지는 임의의 위상 공간 $X$에 대해 호몰로지 군 $H_n(X)$를 정의할 수 있는 가장 일반적이고 강력한 방법이다.정의표준 $n$-단체(Standard $n$-simplex)$\mathbb{R}^{n+1}$의 아핀 독립인 점들 $e_0..

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef draw_circle(ax, center, radius, num_points=600): t = np.linspace(0, 2*np.pi, num_points) x = center[0] + radius*np.cos(t) y = center[1] + radius*np.sin(t) ax.plot(x, y, linewidth=1.0)# Model A: Countable wedge of circles as nested circles tangent at the origin,# with radii increasing (so no entire circle lies in a small neighborhoo..

# Full code: Plot a vector field along a parallel of the unit sphere# where each vector in the tangent plane is oriented to point toward the north poleimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# Constantsphi = np.pi / 3 # colatitudetheta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 200)skip = 10# Parallel circle on spherex = np.sin(phi) * np.cos(theta)y = np.sin(phi..

1. 양립방정식의 필요성: 곡면은 아무렇게나 만들어지지 않는다우리가 임의로 6개의 함수 $E, F, G, e, f, g$를 정한다고 해서, 이들을 각각 제1 기본 형식과 제2 기본 형식의 계수로 갖는 실제 매끄러운 곡면이 3차원 공간 안에 항상 존재하는 것은 아닙니다. 그 이유는 실제 곡면은 찢어지거나 접히는 부분 없이 매끄러워야 하므로, 좌표 함수 $\mathbf{x}(u,v)$는 미분 순서에 결과가 무관하다는 수학의 기본 원리, 즉 $(\mathbf{x}{uu})_v = (\mathbf{x}{uv})_u$와 같은 조건을 만족해야 하기 때문입니다.즉, 곡면의 내재적 구조 (제1 기본 형식)와 외재적 구조 (제2 기본 형식)는 서로 모순 없이 양립(compatible) 해야만 실제 곡면을 이룰 수 있습니..

1. 우리가 분석하고 싶은 벡터: 가속도 벡터 $\mathbf{x}_{ij}$먼저 $\mathbf{x}_{ij}$가 무엇인지 다시 생각해보자.$\mathbf{x}(u^1, u^2)$: 곡면 위의 위치 벡터$\mathbf{x}_i = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^i}$: 곡면 위를 달리는 자동차의 속도 벡터 (이자 접평면의 기저벡터)$\mathbf{x}_{ij} = \frac{\partial \mathbf{x}_i}{\partial u^j}$: 그 자동차의 가속도 벡터자동차 운전을 생각해보자. 평평한 길 위에서는 가속페달을 밟으면 가속도 벡터가 도로면에 평행하다. 하지만 언덕 꼭대기를 넘는 순간을 생각해보자. 몸이 위로 살짝 뜨는 느낌이 든다. 이 순간의 가속도 벡터..

알겠습니다. 최소비가산 정렬집합(minimally uncountable well-ordered set), 종종 첫 번째 비가산 순서수 $\omega_1$ 또는 $\Omega$로 표시되는 집합에 대해 컴팩트성, 극한점 컴팩트성, 수열 컴팩트성을 판단해 보겠습니다.이 집합은 순서 위상(order topology)을 갖는다고 가정합니다.핵심 결론:컴팩트하지 않습니다.극한점 컴팩트합니다.수열 컴팩트합니다.상세 설명1. 컴팩트성 (Compactness)판단: 컴팩트하지 않다. ❌최소비가산 정렬집합은 컴팩트하지 않습니다. 이를 보이는 일반적인 방법은 다음과 같습니다.집합 $X = [0, \omega_1)$ (0을 포함하고 $\omega_1$ 이전의 모든 가산 순서수들의 집합)을 생각해보겠습니다.각 $\alpha 이..