어떤 수를 $0$으로 나누는 것은 가능할까요? 왜 인지 명확하게 설명은 하지 못하더라도 아마 초등학교 때 나눗셈을 배웠을 때부터 꾸준히 암기했기 때문에 안된다는 사실은 알고 계실 것입니다. 그렇다면 왜 $0$으로 나누는 것은 안되는걸까요? 1. 나눗셈의 개념 우리가 $0$으로 나누는 방법을 알아보기 위해서는 먼저 나눗셈에 대해 알아야 합니다. 처음 나누기에 대해 배울 때, 주로 공유나 나눔의 맥락에서 배웁니다. 예를 들어, 제가 엿을 10개 가지고 있다고 해보겠습니다. 그리고 여러분 중 다섯명에게 공평하게 엿을 나누어 드린다고 하겠습니다. 그러면 각 사람은 2개의 엿을 받게 됩니다. 즉, $10\div 5=2$입니다. 이처럼 나눗셈은 공유나 나눔의 개념으로서 가지고 있는 것을 몇 명에게 몇 개씩 나누어줄..

로그의 밑 우리가 로그를 처음 배울 때 로그의 밑은 10진법의 상용로그를 주로 사용합니다. 하지만 심화 미적분에서 자연상수 $e$를 도입하면서 부터는 로그는 자연로그 $\ln x$를 주로 사용하게 됩니다. 처음 배울때는 생소한 개념인 자연상수 $e$때문에 괜히 미적분을 선택했나 후회하게 되는데요. 그런데 혹시 로그의 밑은 10보다 $e$가 합리적이란 사실을 알고 계셨나요? 로그의 치명적 한계 로그함수를 비율을 나타내는 수로 매우 크거나 작은 수를 근사치로 빠르게 계산하기 위해 만들어졌습니다. 그런데 로그함수는 태생적으로 같은 차이를 가지는 두 수의 로그 값이 그 차이가 클 수록 더 크게 나타난다는 치명적인 한계가 있습니다. 예를 들어, 두 수 $2$와 $3$의 차이는 $1$입니다. 이 두 수의 상용로그 ..

소리 강도와 데시벨 소리의 강도 I는 소리의 에너지 E를 전달하는 시간 t와 면적 A에 의해 결정됩니다. 이 관계는 다음과 같은 수식으로 표현될 수 있습니다: $$ I = {E \over t \cdot A} $$ 데시벨은 소리의 강도를 로그 스케일로 표현한 것입니다. 데시벨의 정의는 다음과 같습니다: $$ dB = 10 \cdot \log_{10} \left( {I \over I_0} \right) $$ 그런데 왜 소리의 크기를 나타내는 데시벨은 로그로 나타내는 걸까요? 사람의 귀 소리의 강도가 선형적으로 증가하더라도, 우리가 그 증가를 지각하는 방식은 로그 척도로 바꿔 인식합니다. 이러한 이유로, 소리의 강도를 측정할 때는 보통 데시벨(decibel, dB)이라는 로그 척도를 사용하죠. 사람의 청각은 ..

이차방정식과 삼차 방정식 먼저 이차방정식의 일반적인 형태는 \( ax^2 + bx + c = 0 \)입니다. 이를 풀기 위한 공식은 아마도 대부분의 여러분이 알고 있을 것입니다. 바로 다음과 같은 공식입니다. \[ \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] 이 공식을 보면 복잡해 보이지만, 사실 이 안에는 '대칭성'이라는 아름다운 개념이 숨어 있습니다. 이 대칭성 덕분에 이차방정식은 쉽게 풀 수 있습니다. 대칭성이란, 간단히 말해 어떤 것이 반대쪽과 균형을 이루는 성질을 말합니다. 이 공식에서도 분자와 분모, 더하기와 빼기 등 여러 요소가 대칭을 이루고 있죠. 그렇다면 삼차방정식은 어떨까요? 삼차방정식의 일반적인 형태는 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)입니다..

초월수의 미스터리 초월수가 존재해야 할 이유는 처음에는 명확하지 않았습니다. 더구나, 어떤 수가 초월수인지 증명하는 것은 굉장히 어려운 일입니다. 왜냐하면 이것은 부정적인 것, 즉 그 수가 정수 계수를 가진 다항식의 루트가 아니라는 것을 증명해야 하기 때문입니다. 1844년, Joseph Liouville은 이 문제에 간접적인 방법으로 접근하여 첫 번째 초월수를 발견했습니다. 그는 무리수 중 대수적인 수는 유리수로 잘 근사할 수 없다는 것을 발견했습니다. 그래서 그는 분모가 작은 분수로 잘 근사할 수 있는 수를 찾을 수 있다면, 그것은 다른 무언가, 즉 초월수일 것이라고 판단했습니다. 그리고 그는 그러한 수를 구성했습니다. Liouville이 만든 수 \( L \)은 다음과 같습니다. \[ L = 0.1..

알렉산드리아의 유클리드(Euclid)는 약 322-275 BC에 그리스와 이집트에서 활동했습니다. 그는 알렉산드리아 대학의 수학 학교를 지도했으며, 그 외에 그의 생약에 대해서는 별로 알려져 있지 않습니다. 그러나 그는 여러 중요한 수학적 업적을 이루었습니다. 먼저, 그는 소수가 무한하다는 것을 처음으로 증명했습니다. 이는 수학에서 아주 기본적인, 그러나 중요한 개념을 확립한 것입니다. 또한 그는 '유일인수분해정리(Unique Factorization Theorem)' 또는 '산술의 기본정리(Fundamental Theorem of Arithmetic)'에 대한 불완전한 증명을 제시했습니다. 이 정리는 어떤 자연수도 소수의 곱으로 유일하게 표현될 수 있다는 것을 의미합니다. 그리고 그는 유클리드 알고리즘..