세상을 바꾼 방정식 4. 만유인력의 법칙

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케플러의 세번째 법칙

$$\begin{array}
{|c|c|c|} \hline
\text{구분} & A & B \\ \hline
1 & 6.655 \times 10^{10} & 87.6 \\ \hline
2 & 1.089 \times 10^{11} & 226.3 \\ \hline
3 & 1.496 \times 10^{11} & 365.25 \\ \hline
4 & 2.279 \times 10^{11} & 687.0 \\ \hline
5 & 7.784 \times 10^{11} & 4332.59 \\ \hline
6 & 1.419 \times 10^{12} & 10759.22 \\ \hline
\end{array}$$

 

여러분은 이 데이터들만 보고 숫자들 사이의 관계를 찾을 수 있나요? 사실 숫자들만 보고 규칙을 찾는 것은 거의 불가능에 가깝습니다. 이 숫자들은 인터넷에서 흔히 보는 그런 간단한 수열 문제가 아니죠. 그래서 힌트를 하나 드리겠습니다. 이 표는 태양계의 행성의 궤도 반경과 공전 주기를 나타낸 표입니다.

 

$$\begin{array}
{|c|c|c|} \hline
\text{행성} & \text{궤도 반경 (m)} & \text{공전 주기 (일)} \\ \hline
\text{수성} & 6.655 \times 10^{10} & 87.6 \\ \hline
\text{금성} & 1.089 \times 10^{11} & 226.3 \\ \hline
\text{지구} & 1.496 \times 10^{11} & 365.25 \\ \hline
\text{화성} & 2.279 \times 10^{11} & 687.0 \\ \hline
\text{목성} & 7.784 \times 10^{11} & 4332.59 \\ \hline
\text{토성} & 1.419 \times 10^{12} & 10759.22 \\ \hline
\end{array}$$

 

그렇다면 이제 규칙을 찾을 수 있나요? 숫자가 너무 크기에 규칙이 보이지 않을 수 있습니다. 그래서 지구를 기준으로 이 값들을 정리해보겠습니다. 흔히 지구와 태양 사이의 평균 거리를 Astronomical Unit (AU)나타냅니다. 1 AU는 약 1억 4960만km죠.

 

$$\begin{array}
{|c|c|c|} \hline
\text{행성} & \text{궤도 반경 (AU)} & \text{공전 주기 (년)} \\ \hline
\text{수성} & 0.39 & 0.24 \\ \hline
\text{금성} & 0.72 & 0.62 \\ \hline
\text{지구} & 1.00 & 1.00 \\ \hline
\text{화성} & 1.52 & 1.88 \\ \hline
\text{목성} & 5.20 & 11.86 \\ \hline
\text{토성} & 9.58 & 29.46 \\ \hline
\end{array}$$

 

이렇게 바꾸어 놓고 보면 이제 규칙이 보이시나요? 궤도 반경이 증가할 수록 공전 주기가 증가하는 것 정도는 알 수 있습니다. 두 값이 비례 한다는 것은 알겠는데 그렇다고 무작정 나누어 비율을 비교한다고 해도 규칙성이 있는 것 같지 않습니다. 천문학과 같은 큰 값들을 다루고 비율 사이의 관계를 잘 나타내기 위해서는 어떤 방법을 쓰는 것이 좋을까요?

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{행성} & \text{궤도 반경 (AU)} & \text{공전 주기 (년)} & \text{궤도 반경 ÷ 공전 주기} \\
\hline
\text{수성} & 0.39 & 0.24 & 1.625 \\
\hline
\text{금성} & 0.72 & 0.62 & 1.161 \\
\hline
\text{지구} & 1.00 & 1.00 & 1.000 \\
\hline
\text{화성} & 1.52 & 1.88 & 0.809 \\
\hline
\text{목성} & 5.20 & 11.86 & 0.438 \\
\hline
\text{토성} & 9.58 & 29.46 & 0.325 \\
\hline
\end{array}$$

 

바로 로그(logarithm) 입니다. 로그는 복잡한 수학적 관계를 단순화하고, 큰 숫자를 다루기 쉽게 만들어 줍니다. 궤도 반경과 공전 주기에 모두 로그를 취한 뒤 값을 나누어보면 일정한 비율이 반복된다는 사실을 발견할 수 있습니다. 약 $0.\dot6$ 바로 $2\over3$ 이죠.

두 번째 표는 행성의 궤도 반경과 공전 주기의 로그 값, 그리고 두 값의 비율을 나타냅니다.

 

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{행성} & \text{궤도 반경의 로그 (AU)} & \text{공전 주기의 로그 (년)} & \text{비율 (거리/주기)} \\
\hline
\text{수성} & -0.4089 & -0.6198 & 0.6598 \\
\hline
\text{금성} & -0.1427 & -0.2076 & 0.6872 \\
\hline
\text{지구} & 0.0000 & 0.0000 & \text{- (정의되지 않음)} \\
\hline
\text{화성} & 0.1818 & 0.2742 & 0.6633 \\
\hline
\text{목성} & 0.7160 & 1.0741 & 0.6666 \\
\hline
\text{토성} & 0.9814 & 1.4692 & 0.6679 \\
\hline
\end{array}$$

 

다른 말로 바꾸어 말해 $R$을 타원 궤도의 장반경, $T$ 는 행성의 궤도 주기라 할때, $2 \log T=3 \log R$입니다. 로그의 성질을 이용하여 계수를 지수로 바꾸어 원래 수식으로 돌아가면

 

$$T^2 \propto R^3$$

 

행성의 공전주기의 제곱은 태양으로부터 행성까지의 평균거리 즉 궤도 반경의 세제곱과 비례한다것을 알 수 있습니다. 케플러는 스승인 티코 브라헤의 천체 관측 데이터를 기반으로 행성의 궤도가 원형이 아닌 타원형임을 깨닫고 여러 행성의 공전 주기와 궤도 반경 데이터를 분석한 결과 케플러의 제 3법칙을 도출해냈습니다. 그러나 케플러 자신은 이 법칙의 원리나 이유를 수학적으로 증명하지는 못했습니다. 케플러의 법칙들이 수학적으로 증명되기 시작한 것은 약 50년 후, 뉴턴이 '프린키피아'에서 중력의 법칙을 소개하면서 부터죠.

 

갈릴레오의 자유낙하실험

중력의 법칙을 소개하기에 앞서 중력이 어떻게 작용하는지 알고 갈 필요가 있습니다. 갈릴레오의 자유낙하 실험을 보죠. 아리스토텔레스는 무거운 물체가 가벼운 물체보다 빠르게 떨어진다고 주장하였습니다. 갈릴레오는 이 주장에 의문을 가지게 되었고, 이를 검증하기 위한 사고실험을 시작하게 되었습니다.

두 개의 다른 무게의 공 $A$와 $B$가 있다고 해보겠습니다. $A$는 $B$보다 무겁다고 가정해죠. $A$와 $B$를 따로 떨어뜨릴 경우 아리스토텔레스의 주장대로라면 $A$는 $B$보다 빠르게 떨어져야 합니다. 이제 이 두 공을 하나의 줄로 연결해보죠. $A$와 $B$는 하나의 물체로 간주됩니다. 연결된 물체는 $A$의 무게와 $B$의 무게를 합한 것보다 무겁습니다. 아리스토텔레스의 주장대로라면 이 연결된 물체는 $A$나 $B$를 각각을 따로 떨어뜨렸을 때보다 더 빠르게 떨어져야 합니다. 하지만 여기서 모순이 발생합니다. $A$는 $B$보다 빠르게 떨어져야 하므로 $A$와 $B$가 연결되었을 때는 $B$ 때문에 $A$의 낙하 속도가 느려져야 합니다. 예를 들어 보죠. 중력이 아니라 달리기라 생각해보겠습니다. $A$가 $B$보다 빨리 달릴때, $A$가 $B$를 끌면서 더 빠른 속도로 앞으로 나아갈 수 있을까요? 불가능합니다. 따라서 모순이 발생하기에 초기 가정이 틀렸다는 사실로 부터 두 물체 중 어느 하나가 빠르게 떨어질 수는 없다는 것을 알 수 있습니다. 무게와 낙하 속도 사이에는 관계가 없다. 즉, 무거운 물체와 가벼운 물체는 동일한 가속도로 자유낙하한다는 것입니다.

갈릴레오의 발견은 뉴턴에게 중요한 영감을 주었습니다. 모든 물체가 동일한 가속도로 낙하한다는 것은 중력이 모든 물체에 동일하게 작용한다는 것을 의미하는 것이죠. 이 개념은 뉴턴에게 새로운 시각을 제공했습니다. 그는 중력이 단순히 지구와 그 주변 물체 사이에만 작용하는 것이 아니라, 우주 전체의 모든 물체 사이에도 작용한다는 아이디어에 도달했습니다. 단순히 물체의 낙하 속도에 대한 이론이 아니라, 중력이라는 보이지 않는 힘에 대한 근본적인 이해로 이어 우주의 동작 원리를 풀어내는 열쇠를 제공한거죠.

 

만유인력의 법칙

만유인력의 법칙은 질량을 가진 물체 사이의 중력 끌림을 기술하는 물리학 법칙입니다. 이 법칙에 따르면, 모든 점질량은 두 점을 가로지르는 선을 따라 다른 모든 점질량을 힘으로 끌어 당깁니다. 이 힘은 두 상호작용하는 점질량 사이의 질량의 곱에 비례하며, 두 점질량 사이의 거리에는 제곱에 반비례합니다.

$$F = \frac{G \times m_1 \times m_2}{r^2}$$

여기서:

• $F$ : 두 점질량 간의 중력의 크기
• $G$ : 중력 상수
• $m_1$ : 첫 번째 점질량의 질량
• $m_2$ : 두 번째 점질량의 질량
• $r$ : 두 점질량의 거리

뉴턴은 이 공식을 어떻게 발견하게 되었을까요?

 

왜 질량에 비례하는가?

우리는 일상에서 중력의 영향을 늘 느끼고 있습니다. 하지만 그 영향이 어떻게 작용하는지, 그리고 그것이 왜 그렇게 작용하는지에 대해서는 잘 모르는 경우가 많습니다. 여러분이 친구와 함께 있을 때, 서로가 서로를 끌어당기는 힘을 느낄 수 있을까요? 아마 대부분의 사람들은 그렇지 않다고 답할 것입니다. 왜냐하면 지구의 질량이 우리와 비교할 수 없을 정도로 매우 크기 때문에 그렇습니다. 우리의 질량은 무시하고 먼저, 지구의 중력만 생각해보겠습니다. 우리가 뛸 때나 높은 곳에서 물체를 떨어뜨릴 때, 그 물체는 항상 지구 쪽으로 떨어집니다. 이 떨어지는 힘을 $F$라 하고 뉴턴의 제 2법칙을 바탕으로 중력 가속도를 살펴보면, $a=\frac{F}{m}$이 됩니다. 갈릴레오의 실험에서 중력 가속도 $a$는 항상 일정하다는 것을 알 수 있습니다. 따라서, 질량이 $2$배 커지면 힘도 $2$배 커진다는 것을 알 수 있습니다.

$$G = 6.67430 \times 10^{-11} , \text{m}^3/\text{kg s}^2$$

이 때, 중력상수 $G$는 매우 작은 값입니다. 이 작은 값 때문에 일상에서 중력을 느끼지만 그 작용 원리를 정확히 알기는 어렵습니다. 그러므로 중력의 작용 원리를 보다 정확하게 파악하기 위해서는 비록 멀리 떨어져 있지만 질량이 매우 큰 물체들 다름 아닌 천체를 관찰하는 것이 효과적 입니다.

 

왜 거리 제곱에 반비례하는가?

그렇다면 중력의 크기는 같은 질량만 가진다면 거리에 상관없이 항상 같다고 할 수 있을까요? 비가 내리고 있다고 가정해보겠습니다. 이 빗방울들은 중력에 영향을 받아 지구 중심을 향해 쏟아집니다. 이제 지구를 둘러싼 가상의 구를 상상해보겠습니다. 이러한 구들은 이해하기 쉽게 각각 반지름이 지구 반지름의 $2$배, $3$배라고 하죠. 이 가상의 구에도 중력이 작용한다면 구의 표면에서 빗방울과 같이 중력이 지구의 중심을 향할 것입니다. 그리고 구가 커질 수록, 즉 지구로 부터 멀어질수록 구의 표면 면적이 커지기 때문에 빗방울들 즉 중력 벡터들의 개수는 증가할 것입니다.

그렇다면, 구가 커질수록 각 중력 벡터의 크기는 어떻게 변할까요? 답은 간단합니다. 구가 커질수록 각 중력 벡터의 크기는 줄어들어야 합니다. 수식으로 보죠. 구의 반지름이 두 배가 된다면, 표면적은 기존 $4\pi r^2$에서 $4\pi (2r)^2 = 16\pi r^2$로 $4$배, 반지름이 세 배가 된다면, $4 \pi(3r)^{2}=36\pi r^2$이므로 $9$배 늘어납니다. 따라서 중력 벡터의 개수도 $4$배, $9$배 많아지죠. 하지만 각 국에 대해 중력의 총량은 동일해야 하므로, 각 중력 벡터의 크기는 $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{9}$로 줄어들어야 합니다. 이렇게 되면 거리가 증가함에 따라 중력은 제곱에 비례해 감소하는 것을 알 수 있습니다. 이것이 흔히 역제곱의 법칙이라 불리는 원리입니다. 이러한 역제곱의 법칙은 만유인력의 법칙 뿐만 아니라 $3$차원 상의 균일한 공간을 퍼져나가는 현상을 설명하는 곳에 다양하게 적용할 수 있습니다.

쿨롱의 법칙(전기력)

$$ F = k \frac{{q_1 \times q_2}}{{r^2}}$$

• $F$ 전기력
• $k$ 쿨롱 상수
• $q_1,~ q_2$ 전하의 크기
• $r$ 전하 사이의 거리

광선의 강도

$$I = \frac{{P}}{{4\pi r^2}}$$

• $I$ 광선의 강도
• $P$ 광원의 전체 출력
• $r$ 광원으로부터의 거리

 

역제곱의 법칙[^4]

사실 역제곱의 법칙은 뉴턴 이전부터 알려져 있던 개념이었습니다. 훅은 1666년에 "On gravity"라는 강의를 통해 역제곱의 법칙을 소개했죠.[^1] 그래서 물리학자 로버트 훅은 뉴턴이 자신의 아이디어를 훔쳤다고 주장했습니다. 훅은 뉴턴에게 역제곱의 법칙과 행성의 운동에 대한 아이디어를 제안했고, 뉴턴은 이 제안이 행성 운동에 대한 연구를 촉발 했다고 인정했죠.[^2] 그러나 훅은 이론적인 부분에만 머물렀고, 그 이론을 증명하지도 천문학적 현상에 적용하는데도 실패했습니다. 반면에 뉴턴은 이 아이디어를 증명하기 위해 미적분이라는 완전히 새로운 수학을 개발했고, "프린키피아"에서 중력을 이용해 케플러의 법칙을 증명하고, 일반적인 운동이론까지 정립해내죠.[^3]

1. 케플러의 첫 번째 법칙 (타원 궤도의 법칙)

모든 행성은 태양을 한 개의 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 움직인다.

2. 케플러의 두 번째 법칙 (등면적의 법칙)

행성이 태양 주위를 돌 때, 태양과 행성을 잇는 선분이 같은 시간 동안 같은 면적을 덮는다. 즉, 행성이 태양에 가까워질 때 빠르게, 멀어질 때 느리게 움직인다는 것을 의미한다.

3. 케플러의 세 번째 법칙 (조화의 법칙)

행성의 궤도 주기의 제곱은 그 궤도의 장반경의 세제곱에 비례한다. $T^2 \propto a^3$

프린키피아를 보겠습니다. 프린키피아의 명제 11, 12, 13번은 각각 타원, 쌍곡선, 포물선 궤도를 도는 물체에서 구심렴이 초점을 향해 작용할때, 구심력이 만족하는 비례식을 구하는 문제입니다. 그 풀이는 비례식과 미적분의 아이디어를 이용해 모두 구심력은 거리의 제곱에 반비례함을 증명합니다. 그리고 이를 이용해 4장에서는 초점이 주어진 타원, 포물선, 쌍곡선의 궤도를 계산하는 방법을 소개하고, 5장에서는 초점이 주어지지 않았더라도 5개의 점을 지나는 원뿔 곡선을 작도하는 방법을 설명합니다.

나아가 6장에서는 주어진 궤적을 따라가는 물체의 운동을 설명합니다. 행성이 주어진 궤도를 따라갈때, 임의의 시간이나 특정 시간에서의 위치를 찾는 방법을 제시한거죠. 여기서 중요한 것은 구심력이 거리의 제곱에 반비례한다는 사실을 증명함에 있어, 역제곱의 법칙에 따라 힘이 작용하면 물체는 이차곡선을 따라 움직인다는 아이디어입니다.

• Prop. X. Prob. V.
  Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum Ellipseos $\cdots$ Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2BCq.×CAq. P C , id est (ob datum 2BCq. × CAq.) ut 1 P C , hoc est, directe ut distantia P C. Q. E. I.

물체가 타원에서 움직인다고 가정하면, 타원의 중심을 향한 구심력의 법칙을 찾아야 합니다. $\cdots$ 따라서 (Theorem V의 Corollary에 의해), 구심력은 $2BC^2 \times CA^2 / PC$에 반비례하며, 이는 $1/PC$에 반비례하므로, 거리 $PC$에 비례한다. Q.E.I.

이는 명제 10과 그 부가설명을 보면 나와 있습니다. 물체의 궤도 형태는 그 물체의 에너지에 의존합니다. 물체 타원 궤도를 따른다는 것은 물체가 중력장 내에서 어느 정도로 "묶여" 있다는 것을 의미하죠. 원이나 타원에서의 구심력은 중심을 향해 일정하게 작용합니다. 만약 물체가 중심으로 부터 멀어지면 중심을 향한 힘이 한 없이 작아지면서 물체는 포물선 궤도를 따라가게 된다는 거죠.

• Scholium.
  Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabolam, corpus movebitur in hac Parabola, & vis ad centrum infinite distans jam tendens, evadet æquabilis. Hoc est Theorema Galilei. Et si Conisectio Parabolica, inclinatione plani ad conum sectum mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam versa.

타원의 중심이 무한대로 멀어지면, 그 타원은 포물선이 됩니다. 물체는 이 포물선에서 움직이며, 중심으로부터의 힘이 무한대로 멀어지면 일정해집니다. 이것은 갈릴레오의 이론입니다. 포물선이 쌍곡선으로 변하면, 물체는 쌍곡선 주변에서 움직입니다. 중심으로부터 물체를 끌어당기는 힘이, 물체를 밀어내는 힘으로 바뀝니다.

이어 11장 서로 잡아당기는 물체의 이동에 명제 58의 부가 정리 1번을 통해 인력이 작용하는 두 물체가 서로의 무게중심을 공통으로하는 힘에 끌리게 되면서 타원 궤도를 따라 움직임을 밝힙니다.

• Corol. 1.
  Hinc corpora duo viribus distantiæ suæ proportionalibus se mutuo trahentia, describunt (per Prop. X.) & circum commune gravitatis centrum, & circum se mutuo, Ellipses concentricas: & vice versa, si tales figuræ describuntur, sunt vires distantiæ proportionales. Corol. 2. Et corpora duo viribus quadrato dist

따라서 두 물체가 서로를 향한 힘이 그들 사이의 거리에 비례한다면 (명제 10에 따라), 그 물체들은 공통의 중력 중심을 중심으로 하거나 서로를 중심으로 동심원의 타원을 따라 움직일 것입니다. 그리고 반대로, 만약 이러한 형태의 궤도를 따른다면, 그 힘은 거리에 비례하게 됩니다.

 

뉴턴보다 43년 전 먼저 발표된 프린키피아

데카르트는 1644년에 발표한 'Principia Philosophiae'에서 볼텍스(vortex) 이론을 제시했습니다. 데카르트 뿐만 아니라 그 당시 사람들은 물리적 현상은 반드시 '접촉'을 통해서만 전달되어야 한다고 믿었습니다. 그래서 우주는 에테르(aether) 라는 물리적으로 측정할 수 없는, 가상의 물질로 채워져 있다고 생각한거죠. 왜냐하면 천체가 공전이나 자전으로 움직이면서 에테르라는 물질에 볼텍스 즉, 난류의 회전을 일으키면 그 주변의 행성들은 그 난류에 휩싸여 움직이기 때문이죠. 볼텍스 이론은 복잡한 천체 운동을 단순한 회전 운동으로 설명했고, 천체가 하나의 큰 회전체의 일부로 움직인다는 것은 신의 창조를 설명하는 하나의 방법으로 볼 수 있어 당시의 사람들에게 쉽게 받아들여졌습니다.

하지만 볼텍스 이론은 수학적으로 정확한 모델을 제공하지 못했습니다. 단적으로 에테르가 힘을 전달하는 매개체로서 점성을 갖고 있다면 유체의 저항 때문에 에너지가 지속적으로 소멸해야 합니다. 언젠가는 멈춰야하죠. 그렇다면 먼 거리에서 이러한 유체의 소용돌이를 가로질러 오는 혜성의 존재를 설명할 수 없습니다. 또 실험적으로 검증되지 못했습니다. 만약 세숫대야 가운데에 원통을 넣고 돌린다고 해보겠습니다. 그렇다면 원통의 회전에 의해 그 주변의 물이 회전하고 물의 점성에 의해 그 주변으로 회전이 퍼져나갈 것입니다. 이 때 이 전달은 선형적으로 전달됩니다. 중심에서 멀어질 수록 느려지는 것이죠. 이는 케플러의 법칙과 언뜻보면 비슷해보입니다. 하지만 케플러의 법칙에서는 행성의 속도가 태양과의 거리에 따라 제곱근의 역비례로 변하는 반면 유체에서는 선형적으로 감소하기에 수학적으로 일치하지 않습니다.

반면 뉴턴은 중력을 이용해 천체 운동을 설명했습니다. 뉴턴은 중력이 원격으로 작용한다고 주장했고, 이는 데카르트의 '접촉해야 한다'는 주장을 정면으로 반박했습니다. 그 의미로 책 이름도 같은 이름인 프린키피아로 지었죠. 이 보편적인 중력 법칙이 천상과 지상, 심지어 왕과 귀족까지도 동일하게 적용된다고 주장했습니다. 이는 당시 사회 구조와도 깊은 연관이 있으며, 뉴턴은 이를 '보편 타당한 법칙'이라고 명명했습니다. 프린키피아의 제 3권의 가설들을 보겠습니다.[^5]

HYPOTHESES.
Hypoth. I. Causas rerum naturalium non plures admitti debere, qu'am quæ & vera sint & earum Phænomenis explicandis sufficiunt. Natura enim simplex est & rerum causis superfluis non luxuriat.
Hypoth. II. Ideoque effectuum naturalium ejusdem generis eædem sunt causæ. Uti respirationis in Homine & in Bestia; descensus lapidum in Europa & in America; Lucis in Igne culinari & in Sole; reflexionis lucis in Terra & in Planetis.
Hypoth. III. Corpus omne in alterius cujuscunque generis corpus transformari posse, & qualitatum gradus omnes intermedios sucessiv'e induere.

Hypoth. I. 자연 현상을 설명하는 원인은 참이면서 현상을 설명하기에 충분한 것만을 받아들여야 한다. 자연은 단순하며 불필요한 원인으로 화려하게 표현되지 않는다.
Hypoth. II. 따라서 같은 종류의 자연 현상의 원인은 동일하다. 인간과 동물의 호흡, 유럽과 아메리카의 돌의 하강, 주방 불과 태양에서의 빛, 지구와 행성에서의 빛의 반사에서도 똑같이 적용된다.
Hypoth. III. 도달할 수 있는 실험의 범위 내에서 모든 물체에 속하는 특성 중에서도, 그 정도가 증가하거나 감소할 수 없는 특성은, 모든 물체가 가지는 보편적인 특성으로 여겨져야 한다.

첫번째 가설은 '오컴의 면도날' 원칙을 따르고 있는 것처럼 보입니다. 불필요한 복잡성을 피하고, 가장 간단하면서도 설명력 있는 원인만을 고려해야 한다는 것이죠. 두번째 가설을 통해 일관성과 보편성의 원칙을 강조합니다. 세번째 가설은 물체의 특성이 실험을 통해서만 알 수 있으며, 실험을 통해 발견된 보편적인 특성은 모든 물체에 적용될 것이라는 뉴턴의 생각을 반영합니다. 다시 말해, 만약 어떤 특성이 실험을 통해 모든 물체에 공통적으로 발견되고, 그 특성의 정도가 증가하거나 감소할 수 없다면, 그 특성은 모든 물체에 보편적으로 존재한다고 볼 수 있습니다. 이어서 3권의 명제 4번을 보죠.

factis pendulorum experimentis & computo inde inito, demonstravit: & propterea vis qua Luna in orbe suo retinetur, illa ipsa est quam nos gravitatem dicere solemus. Nam si gravitas ab ea diversa est, corpora viribus utrisque conjunctis Terram petendo duplo velocius descendent, & spatio minuti unius secundi cadendo describent pedes Parisienses 301/6: omnino contra experientiam.

따라서 달이 그 궤도에 머무르게 하는 힘은 우리가 일반적으로 중력이라고 부르는 것과 같습니다. 만약 중력이 다르다면, 두 힘을 합친 결과로 물체는 지구를 향해 두 배 빠른 속도로 떨어지고, 1분의 1초 동안 떨어지면서 30 1/6 파리 피트를 이동할 것입니다. 이것은 전혀 경험과 맞지 않습니다.

뉴턴은 호이겐스의 진자 실험을 인용하여 중력의 힘을 측정하고, 그 결과를 달의 궤도 운동과 비교합니다. 만약 달의 궤도를 유지하는 힘이 중력이 아니라면, 지구에서의 물체의 떨어지는 속도도 달라져야 한다는 점을 지적하며 중력이 모든 곳에서 보편적으로 적용되는 원칙임을 강조합니다. 이는 이전에 가설들과 같이 비교해보면 뉴턴이 중력을 어떻게 바라보고 있는지 보여줍니다.

 

에필로그

여러분들도 프린키피아를 들어는 보셨지만 직접 보신분들은 많지 않을 것이라 생각합니다. 미분과 만유인력편을 제작하는게 아니었다면 저도 프린키피아를 처음부터 끝까지 정독할 기회가 없었을 것입니다. 프린키피아를 읽으면서 그 페이지들 사이에서 느껴진 소름은 이루 말할 수 없었습니다. 이 책을 통해, 제가 지금까지 배웠던 수학과 물리의 원리들이 어떤 엄청난 철학적 생각에서 비롯된 것임을 깨닫게 되었습니다. 영상 제작을 위해 일부 부분은 빠르게 넘겼지만, 나중에 시간이 허락한다면 자세히 정독하고 프린키피아만을 다룬 특별한 영상을 제작하고 싶은 생각이 듭니다. 이 책은 물리학에 관한 것처럼 보이지만, 실제로는 이름과 같이 자연 철학과 수학이 빚어낸 아름다운 조화입니다. 여러분들도 이 영상을 계기로 조금이나마 이런 경험을 함께 나누시는 시간이 되었다면 좋겠습니다.

 

 

[^1]: Thomas Birch, The History of the Royal Society of London, … (London, England: 1756), vol. 2, pages 68–73; see especially pages 70–72.
[^2]: Ofer Gal, Meanest Foundations and Nobler Superstructures: Hooke, Newton and "the Compounding of the Celestiall Motions of the Planetts"
[^3]: Hooke and Newton | The Engines of Our Ingenuity
[^4]: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. (latin)
[^5]: Newton's Principia : the mathematical principles of natural philosophy (english)