2021. 12. 24. 22:58ㆍRay 수학
You know what’s cooler than magic? Math.
스파이더맨 보셨나요? 저는 거미 광팬이라 거의 울다시피하면서 봤는데요. 영화를 보던 중 기하학을 이용하여 닥스와 투닥이는 장면을 보며 여러분들 조금 궁금해하실 수도 있어 수학적으로 자세히 설명해 드리고자 합니다.
영화를 보면 미러디멘션에서 스파이더맨이 아르키메데스의 나선을 보며 반지름을 계산해 닥스를 묶는 장면이 나옵니다. 아르키메데스의 나선이 뭐길래 스파이더맨은 눈을 반짝였을까요? 아르키메데스의 나선은 중심으로부터의 거리가 회전각에 비례하여 커지는 나선을 의미합니다. 기원전 3세기의 수학자인 아르키메데스의 이름을 딴 나선이죠. 이렇게 설명하면 이해가 안되기에 그림을 통해 차근차근 보도록하겠습니다.
아르키메데스의 나선은 다음 그림처럼 중심으로부터 나아가며 다음과 같이 그려지는 도형입니다. 식으로 표현하면 극좌표를 이용해 r=a+bθ로 표현할 수 있죠. 여기서 세부적인 내용을 관찰해보겠습니다. a=0, b=1로 두면 다음과 같이 중심으로부터 움직이는 점까지 이르는 거리가 시초선으로부터 움직이는 점이 지나는 동경까지의 각의 크기를 라디안으로 표시한 값과 같은 것을 알 수 있습니다. 각이 변해감에 따라 중심으로부터 멀이지는 것이죠.
이 상태에서 a의 값은 초기값이므로 a의 값을 변화시키면 시작점이 변하며,
b의 값을변화시키면 각의 변화에 따른 중심으로부터의 거리의 비에 변화가 생기게 됩니다.
사실 이러한 수학적으로 표현할 수 있는 나선들은 아르키메데스의 나선뿐만 아니라 다양하게 존재합니다. 여러분들이 황금비에서 자주보는 피보나치 나선이나 페르마 나선처럼말이죠. 그런데 왜 스파이더맨에서는 아르키메데스의 나선이 나왔을까요?
혹시 실제로 거미줄을 보셨나요? 거미줄은 중심으로부터 방사형으로 줄을 내보낸 후 그사이를 연결하는 방식으로 거미줄을 만들게 됩니다. 같은 방법으로 아르키메데스의 나선의 중심으로부터 방사형의 선을 그러보면 어떻게 될까요? 저는 거미 다리가 8개니까 8개의 선을 그어보겠습니다. 방사형의 선을 그은 후 아르키메데스의 나선과 방사형으로 그은직선이 만나는 점들을 중심으로 부터 1, 2, 3 순서대로 번호를 매기게 되면 다음과 같이8n+k꼴의 수마다 같은 방향을 지나게 됩니다. 군수열 또는 모듈로 처럼 말이죠. 그리고 이점들을 이어보면 우리가 흔히 보는 거미줄 모양이 되게 됩니다.
거미의 입장에서 최소한의 코스트로 먹이를 잡기 위해 거미줄을 치는데요. 이때 먹이가 빠져나갈 수 없게 각 줄의 간격이 일정하게 유지하면서 거미줄을 치기 위해서는 아르키메데스의 나선의 형태를 띄어야 하는거죠. 그래서 스파이더맨이 아르키메데스의 나선을 보고좋아하며 닥스를 가운데 점에 두고 반경을 계산하여 거미줄을 쏘아대었던 것 같습니다.
실제로 모든 거미들이 같은 모양의 거미줄을 만드는 것이 아니기에 거미줄의 형태의 관한수학적 연구는 더 다양하게 존재합니다. 우선 간격을 좁게하면 먹이를 잘 잡을 수 있지만그만큼 실이 더 많이 필요하며 덩달아 바람에 대한 충격이나 먹이의 발버둥으로 인한 거미줄의 손실이 커지므로 이 모든 것을 종합적으로 고려해 최적의 간격을 찾기위한 연구도 있으며 실제로 각 격자점 사이는 직선이 아닌 곡선이므로 이 곡선 모양이 거미줄의 성분에따라 어떻게 변하는지 찾는 연구도 있죠. 이 모든 내용을 다루기엔 각 식에 대한 미분방적식도 봐야하므로 관련된 참고문헌은 아래 링크에 적어두겠습니다.
나중에 영화가 VOD로 나온다면 한 번 다시보면서 실제로 아르키메데스의 나선인지 확인해보시기 바라며 오늘 수업은 여기까지
아르키메데스 와선(아르키메데스 나선)은 기원전 3세기의 수학자인 아르키메데스의 이름을 딴 나선입니다. 이는 고정된 점을 중심으로 해서 일정한 속도로 멀어져 가며 각속도 또한 일정합니다. 극좌표에서는 다음의 등식으로 표현될 수 있습니다.
기원 전 250년경 아르키메데스는 한 나선을 연구하였는데, 그것은 좌표평면 위를 움직이는 점의 좌표를 r=a+bθ인 극좌표 형태로 정의되는 곡선으로 θ>0인 경우 자취를 갖습니다. 아르키메데스는 자와 컴퍼스만으로는 작도가 불가능한 기하학의 문제들, 예건대 각의 3등분 문제, 원의 넓이와 같은 정사각형을 찾는 문제등을 이러한 나선을 사용하여 쉽게 해결할 수 있음을 보였습니다.
The Perfect Shape, Spiral Stories, 2016 p.225-227
Uncovering changes in spider orb-web topology owing to aerodynamic effects(2014)
Ramón Zaera, Alejandro Soler, and Jaime Teus
'Ray 수학' 카테고리의 다른 글
| 무의식적으로 사용하는 인수분해 스킬 | 증명 (2) | 2022.01.08 |
|---|---|
| 메테인의 결합각을 정확히 구해보자 | 메탄은 가스가 어울리는데 메테인은 왠지 게에스라고 해야할 것 같아 (12) | 2022.01.01 |
| 수학자들도 모르는 경지가 있다 | 콜라츠 추측 (0) | 2021.12.17 |
| 이 동전 던지기의 과정은 공정하고 결과는 정의로울 것입니다. (1) | 2021.11.18 |
| 유리다리게임으로 보는 오징어게임 속 수학 | 이 사람이 수학 선생이 아닌 진짜 이유 (0) | 2021.11.14 |