테일러 급수, 공부를 많이 한 학생이나 수학에 관심이 많은 학생들이면 고등학생 때 몇번 들어봤을 내용이다. 대학교 1학년에만 가도 바로 배우는 개념인데 도대체 이게 뭐길래 가끔씩 언급되는지 알아보도록 하자. 테일러 급수의 개념 여기 여러번 미분 가능한 f(x)라는 함수가 있다. 이 함수의 식이 어떻게 생긴지 모르지만 다른 g(x)라는 다항함수가 있어서, 함숫값도 같고, 미분계수도 같다면 두 함수를 같다고 할 수 있을까? 아마 같은지는 몰라도 상당히 비슷하다고 생각할 수는 있을 것이다. 수학자들은 이렇게 잘 모르는 함수를 우리가 알고있는 다항함수꼴로 바꾸는 연구를 하게 되는데 그 결과물이 테일러 급수이다. 테일러 급수의 개념은 최초로 스코틀랜드의 수학자 제임스 그레고리가 발견했지만 1715년에 영국의 수학..

다변수 함수란 둘 이상의 독립 변수를 갖는 함수이다. 쉽게 말하면 함수 f에 x와 y가 같이 들어간 다음과 같은 함수들이다. 미적분에서 이 문제만 나오면 한 문자만 있는 것도 미분하기 힘든데 갑자기 변수가 2개가 나오면서 겁먹고 문제를 포기하게된다. 다음과 같은 문제를 해결하는 서로 다른 3가지 방법에 대해 소개하겠다. 이 중에서 한 방법만 알아도 문제 푸는데 지장은 없긴 하지만 각각의 풀이 방법이 갖는 의미들이 있으므로 찬찬히 비교해보길 바란다. [문제 풀이 속도는 1

소인수분해와 암호화 몇 십년 전까지만 해도 숫자 이론, 다른말로 소수, 소인수 분해 그리고 정수를 다루는 수론은 실생활에 적용하기에는 너무나 먼 순수 수학의 영역이었다. 수학이 세상에서 가장 중요하다고 생각하는 수학자들 마저도 수론은 실생활이랑 상관 없다고 여겼는데 라마누잔의 멘토로 잘 알려진 영국의 수학자 G.H.Hardy는 자신은 유익한 일을 해본 적이 없다고 하며 나의 어떤 발견도 좋든 나쁘든 세상의 안락함에 직간접적으로 큰 차이를 만들지 못할 것이라고 보았다. 하지만 현실은 그렇게 되지 않았다. 오늘날 숫자 이론은 디지털 경제의 핵심이 되었다. 특히, 정수의 소인수 분해와 다른 수론과의 관련 기술들은 현대 암호화의 열쇠이다. 이것은 우리가 전자 상거래 사이트에서 물건을 구입하거나 극장 좌석을 예약..

로피탈의 개념 로피탈의 정리 로피탈의 정리 실사용 로피탈의 정리 응용 1 (기초 - 인문/자연) 로피탈의 정리 응용 2 (심화 - 자연) 로피탈을 학교에서 가르치지 않는 이유 ​ 극한을 배우게 되면 나루토의 금지된 술법처럼 로피탈이란 스킬이 종종 입에 오르내린다. 학원 다니는 친구들은 알게모르게 쓰고 있고 쓰고 싶어도 뭔지 몰라서 못 쓰는 학생들을 위해 이 영상을 통해 로피탈에 대해 알아보도록 하겠다. 우선 영상을 멈추고 펜과 종이를 가져오자. 로피탈의 개념 로피탈은 이름이 어려워서 그렇지 그렇게 어려운 개념은 아니다. 여기 두 물체가 있다. A라는 물체는 0부터 1까지 움직일 때, B는 0부터 3까지 움직였다고 하자. 자 그러면 두 길이의 비는 얼마인가? 너무나 쉽게 B가 A보다 3배 길다. 그런데 이..

최근 수십년간 컴퓨터에 의한 수학 이론의 발견과 증명에 학자들 뿐만 아니라 일반인까지도 많은 관심을 가졌다. 컴퓨터가 증명한 수학문제들을 먼저 알아보고 이러한 컴퓨터의 발전이 현대 수학에 미치는 영향에 대해 생각해보자 . 컴퓨터에 의한 증명 컴퓨터에 의한 증명 중 제일 유명한 것은 4색문제일 것 같다. 1852년 영국의 수학자 프랜시스 구트리에는 영국 지도를 색칠하다 한 가지 물음을 갖게 된다. 임의의 구획으로 나뉜 지도를 색칠할 때 인접한 구획을 같은 색으로 칠하지 않으려면 최소한 몇 가지의 색이 필요할까? 실제로 색을 칠해보니 영국의 지도는 네 가지 색이면 충분하게 색칠 되었다. 그런데 그는 왜 그렇게 되는지 알 수는 없었다. 이 문제는 '4색 문제'라고 불리며 수수께끼로 남았고 100년이 넘는 시간..

다중우주(multiverse)에 대한 논쟁이 커지면서 현대 물리학과 우주론에 대한 주요 결함들이 드러났다 일부 연구자들은 다중우주가 논증을 피할 수 없다고 보며 또 다른 연구자들은 이제 경험적 과학을 포기해야할 때라고 생각한다. 양자역학, 인플레이션 빅뱅 우주론, 끈 이론, 초대칭 이론 그리고 현대 과학 실험과 수학 이론 등 전 영역에 걸쳐 이 논쟁이 진행되고있는데 다중우주론은 무엇이며 정말 존재하는 걸까? 양자 역학의 "많은 세계 해석" 1930년 수학적 방법으로 물리학자들이 양자역학을 만들어 냈고 이 이론은 원자 아원자 현상의 세계를 매우 정밀하게 설명해냈다. 수학적으로 양자역학은 많은 가능성의 상태가 중첩되어 있으며 측정이 이루어 질 때 하나의 상태를 선택하는 개념이다. 많은 물리학자들이 "닥치고 ..