📝함수에 x와 y가 같이 있을 때, 고등학교 과정에서 응용해보는 다변수 함수 풀이법 3가지! (feat. 편미분)

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다변수 함수란 둘 이상의 독립 변수를 갖는 함수이다.

쉽게 말하면 함수 f에 x와 y가 같이 들어간 다음과 같은 함수들이다.

미적분에서 이 문제만 나오면 한 문자만 있는 것도 미분하기 힘든데

갑자기 변수가 2개가 나오면서 겁먹고 문제를 포기하게된다.

다음과 같은 문제를 해결하는 서로 다른 3가지 방법에 대해 소개하겠다.

이 중에서 한 방법만 알아도 문제 푸는데 지장은 없긴 하지만

각각의 풀이 방법이 갖는 의미들이 있으므로 찬찬히 비교해보길 바란다.

[문제 풀이 속도는 1<2<3 순서로 빠르게 문제를 해결할 수 있습니다.]

 

 

 

첫번째 풀이 방법 (미분의 정의)

먼저 가장 정석적인 교과서 풀이를 소개하겠다.

먼저 이런 난생 처음보는 함수를 만나면 우리 모두는 아무생각없이 하는 작업이 있다.

바로 대입이다. 일단 몇가지 숫자를 넣어 이 함수가 어떤 함수인지 알려고 노력할 것이다. 그래서 첫번째 팁이다.

이런 함수를 만나면 먼저 x와 y에 각각 0을 대입해보자.

그렇다면 f(0+0)=f(0)+f(0)이므로 f(0)=0이란 값을 얻어냈다.

갑자기 저런 값을 왜 대입하냐 하겠지만 식을 정리해보면 이유를 알게된다.

 

함수의 성질을 얻어내기 위해서는 미분을 해보는게 가장 좋다.

사실 이 문제가 나오든 단원이 미분이기에 미분을 이용해야겠다 생각할 수도 있지만

쨋든 미분은 변화량을 관찰해야하므로 함수들의 차이를 관찰하기 위해

우변의 f(x)를 이항하도록 하겠다.

이렇게 두고 보면

 

좌변의 함수들의 변수들의 차가 y이므로

미분의 정의를 사용하기 위해 양변을 y로 나누어줘야한다고 생각할 수 있다.

 

자 여기서 우변을 보면 미분계수의 정의를 쓰기에 뭔가 부족해 보이는데

아까 앞에서 구했던 f(0)=0을 이용해서 분모분자에 각각 0을 빼면 미분계수의 정의를 사용할 수 있다.

따라서 y를 0으로 보내면 미분의 정의에 의해

좌변은 f'(x)가되며 우변은 f'(0)+2x가 된다.

 

그렇게 두면 따라서 양변을 y로 약분하면 식이 다음과 같이 정리된다.

우변을 도함수식으로 바꿔주기 위해 양변에 y를 0으로 수렴시키면

미분의 정의에 의해 우변은 f'(x)가 되며 좌변은 f'(0)+2x가 된다.

 

문제에서 f'(1)이 2라고 했으므로 x에 1을 대입하면 f'(0)=0임을 알 수 있고

따라서 f'(3)=6이라는 답을 얻을 수 있다.

 

 

 

문제를 풀어보면 알겠지만 미분의 정의에 대해 잘 알고 있지 않다면

손도 못대는 문제라는 것을 알 것이다.

처음에 미분의 정의를 배울 때 학원에서 다항함수 미분법 배웠다고

그냥 넘어가는 학생들이 많은데 꼭 자세히 알고 문제를 접근하길 바란다.

 

 

 

두번째 풀이 방법 (편미분)

 

아까 전 풀이를 본다면 함수의 성질을 알아보기 위해 미분을 했다.

그렇다면 굳이 식을 정리하지 말고 바로 미분하면 어떻게 될까?

사실은 이 문제를 푸는 기계적인 스킬이 있다. 편미분이라는 스킬인데

공대나 수학과 벡터미적분학시간에 배우는 내용을

고등학교 과정에 맞게 살짝 수정한 것이다.

 

일단 저 2가지를 기억해두면 바로 문제를 해결할 수 있다.

첫번째는 일단 y에 대해 양변을 미분한다.

다른말로 x는 상수라고 생각하면 미분하자

x를 상수라고 보면 f(x) 상수이므로 미분하면 없어진다.

따라서 f'(x+y)=f'(y)+2x가 된다.

 

두번째는 양변에 y에 0을 대입하면 f'(x)=f'(0)+2x가 된다.

아까 풀이에서 어렵게 찾았던 그 식이 한 줄만에 나오게 된다.

 

이 방법은 변수와 상수에 대해 명확하게 알지 못한 학생이거나

합성함수의 미분을 배우지 않았을 때 약간 찝찝한 느낌이 있을 수 있지만

사실 수학적으로 이미 증명까지 된 내용이므로 자유롭게 사용하더라고

절대 문제를 틀리지 않는다.

저 2번째는 문제 특성에 따라 0말고 다른 값을 넣어야할 때가 있지만

시중 문제집에 있는 문제들은 대게 0을 넣으면 95%이상 풀린다.

 

 

 

세번째 풀이 방법 (식의 의미)

예전에 영상에서도 한번 말한 적이 있지만 수학은 직관이 매우 중요하다.

저 함수를 한번 다시 쳐다보자.

함수에 x+y를 넣었더니 함수에 x를 넣은 값과 y를 넣은 값이 나오고

거기에 2xy가 더해져 있다. 다시 한번 2xy가 더해져있다. 부산물이 더 있다.

저 2xy 어디서 많이 본것 같지 않은가?

아직도 생각이 잘 안든다면 x,y 대신 a, b라 해보겠다.

a+b의 f는 a의 f 더하기 b의 f 더하기 2ab

이제 좀 주입식 교육의 향기가 느껴 지는가?

f는 뭘까? 맞다. 제곱이다. f(x)는 이차함수라고 두자.

따라서 f(x)=ax^2이라 두고 문제를 풀면

f'(1)을 이용해서 a가 1이라는 것을 알 수 있고

따라서 f'(3)=6이라는 답이 나오게 된다.

 

아니 이게 무슨 수학이냐고 할 수 있겠지만

예상을 하고 실제로 확인해보니 맞다면 그게 답이다.

초등학교 6학년때 우린 수학을 그렇게 배웠다.

그리고 지금 이 방법이 공대적 접근법이다.

현상을 관찰하고 적당한 식을 세워서 맞는지 확인하는 것

이게 자유자재로 가능하다면 공대가서 밥벌어먹고 사는데 전혀 지장이 없을 것이다.

 

 

자 이렇게 3가지 풀이법을 알아보았는데

배운 것과 써먹는 것은 다르다. 그래서 아래 링크에 수능과 사관학교에서 나왔던 6문제와 풀이를 올려 놓았으니 꼭 연습해보길 바란다.

 

오늘 수업은 여기까지