어려운함수를 다항함수 꼴로 나타낼 수 있다면?? 테일러 급수 깔끔 정리!😘

테일러 정리.pdf

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테일러 급수, 공부를 많이 한 학생이나 수학에 관심이 많은 학생들이면

고등학생 때 몇번 들어봤을 내용이다.

대학교 1학년에만 가도 바로 배우는 개념인데

도대체 이게 뭐길래 가끔씩 언급되는지 알아보도록 하자.

 

 

 

테일러 급수의 개념

 

여기 여러번 미분 가능한 f(x)라는 함수가 있다.

이 함수의 식이 어떻게 생긴지 모르지만

다른 g(x)라는 다항함수가 있어서, 함숫값도 같고, 미분계수도 같다면

두 함수를 같다고 할 수 있을까?

아마 같은지는 몰라도 상당히 비슷하다고 생각할 수는 있을 것이다.

수학자들은 이렇게 잘 모르는 함수를

우리가 알고있는 다항함수꼴로 바꾸는 연구를 하게 되는데

그 결과물이 테일러 급수이다.

테일러 급수의 개념은 최초로 스코틀랜드의 수학자 제임스 그레고리가 발견했지만

1715년에 영국의 수학자 브룩 테일러(영어: Brook Taylor)가 공식적으로 발표하면서 테일러 급수라고 불린다.

 

미분가능한 함수 f가 주어졌을 때 a라는 점에서 f의 테일러급수는 다음과 같은 멱급수 꼴로 나타낸다. 어렵게 말하는 것 같지만 이렇게 한번 보자.

양변에 a를 넣으면 좌변과 우변의 값이 같아진다.

다음으로 양변을 미분한 후 a를 넣으면 좌변은 f'(a)이고 우변은 f'(a)만 남고 나머지는 0으로 바뀌면서 좌변과 우변이 같아진다. 이런식으로 여러번 미분한 후 값을 비교해도 항상 같은 값이 나오게 된다. 쉽게 말하자면 그냥 두 함수가 같아지도록 적당히 식을 만들어 본 것이다. 이렇게 바꾸어 놓으면 우리가 함수가 정확히 어떤지 몰라도 다항함수로 모양을 바꿔볼 수 있기 때문에 함수의 성질에 대해 직관적으로 알아볼 수 있다.

특히 저 식에서 a에 0을 대입하면 식을 좀 더 간단히 정리 할 수 있는데

x=0에서 테일러 전개를 한 식을 보고 매클로린 급수라고 부른다.

테일러 급수의 특별한 경우를 광범위하게 사용되도록 만든

콜린 매클로린(영어: Colin Maclaurin)의 이름에서 유래됐다.

일반적으로 x=0에서 테일러 전개를 하면 식이 간단히 정리되므로

고등학교 수준의 함수들은 매클로린 급수로 정리된 식을 주로 보게 된다.

 

 

 

근사는 왜 시키는 것일까?

 

이 테일러 급수의 가장 큰 장점은 다루기 힘든 함수들을

다항함수꼴로 나타낼 수 있다는 것이다.

예를들어 sinx를 x=0에서 테일러 급수 즉, 매클로린 급수를 구해보자.

sin0=0

sin'(0)=cos(0)=1

이런식으로 식을 전개하다보면

sin(x)의 테일러급수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

그렇다면 이러한 식은 왜 만드는 것일까?

우리는 두 함수가 같다는 사실을 알고 있으므로

sin1처럼 특수각이 아닌 값에서의 사인값도 이 식에 대입하여 값을 찾아낼 수 있고,

로피탈을 응용하면 x가 0으로 수렴할 때 x분의 sinx가 1인 것도 알 수 있으며

모두 홀수차수로 이루어져있기 때문에 홀함수 즉 원점대칭이라는 것도

그래프를 보지않고 식을 통해 자명하게 유도해낼 수 있다.

또한 양변을 미분하면 cosx의 테일러 전개식이 나오는 것도 확인할 수 있다.

이런 테일러 전개를 이용하여 고등학교때 주로 사용하는 함수들을 나타내면

다음과 같다.

고등학생이라면 아래 링크에 PDF로 정리되어 있으니 교과서 앞에 넣어두고 가끔씩 문제를 풀 때 응용해보길 바란다.

 

 

 

테일러 급수는 정말 원래 함수에 완벽하게 근사할까?

 

아까도 보았지만 테일러 급수는 원래 함수와 함숫값부터 미분계수 나아가 이계도함숫값 이상의 값들도 일치하기 때문에 두 함수가 다를 것이 별로 없어보인다. 그래서 수학자들도 이제 완벽하다고 생각했는데 예상외의 복병이 등장한다.

예를들면 f(x)=e^(-1/x^2)과 같은 함수이다.

f(x)의 그래프는 다음과 같은데 이 함수의 테일러 급수는

항등적으로 0이다. 따라서 원래 함수와 테일러급수가 같지 않다.

그래서 수학자들은 이런 애들을 제외하고 테일러 급수가 원래 함수와 같아지는

sinx와 같은 함수들을 보고 해석함수라고 이름 붙였다.

혹시나 오다가다 해석적이다라는 말을 들었다면

특정한 값에서 테일러 급수를 구할 때 원래함수가 같은 함수구나 생각하면된다.

 

[여기서는 학부내용입니다.]

지금과 같은 테일러 급수들은 실수에서만 다루는데 이를 복소수까지 확장 시킨 것을 보고 로랑급수라고 부르며 일반적으로 복소 함수의 경우 미분이 가능(정칙)하면 반드시 테일러 급수가 원래 함수와 같아진다는 것이 알려져있다.

그리고 아까와 같은 e^(-1/x)와 같은 함수들은 테일러급수로는 나타낼 수 없지만 로랑급수로 나타내면 음의 차수까지 확장할 수 있으므로 다음과 같이 나타내 수 있다.