로피탈의 정리 (개념, 실사용, 응용, 학교에서 가르치지 않는 이유)

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로피탈의 개념

로피탈의 정리

로피탈의 정리 실사용

로피탈의 정리 응용 1 (기초 - 인문/자연)

로피탈의 정리 응용 2 (심화 - 자연)

로피탈을 학교에서 가르치지 않는 이유

​

극한을 배우게 되면 나루토의 금지된 술법처럼 로피탈이란 스킬이 종종 입에 오르내린다. 학원 다니는 친구들은 알게모르게 쓰고 있고

쓰고 싶어도 뭔지 몰라서 못 쓰는 학생들을 위해

이 영상을 통해 로피탈에 대해 알아보도록 하겠다.

우선 영상을 멈추고 펜과 종이를 가져오자.

 

 

 

 

로피탈의 개념

 

로피탈은 이름이 어려워서 그렇지 그렇게 어려운 개념은 아니다.

여기 두 물체가 있다. A라는 물체는 0부터 1까지 움직일 때,

B는 0부터 3까지 움직였다고 하자.

자 그러면 두 길이의 비는 얼마인가? 너무나 쉽게 B가 A보다 3배 길다.

그런데 이 결과 값을 찾기 위해서는 물체를 끝까지 보내봐야한다

이게 너무 귀찮은 수학자들은 생각을 해보았다

B는 A보다 얼마나 빠를까?

당연히 B가 A보다 3배 빠를거라는 생각을 할 것이다.

다른말로 B의 속력이 A의 속력보다 3배 빠르다.

그런데 속력이라는 것은 길이의 변화량 즉 미분 값이다.

그래서 수학자들은 이제 두 값을 비교할 때

그 결과 값을 관찰하지 않고 그 변화량의 비율만 가지고

즉 물체가 움직이기 시작하자마자 두 물체를 비교하여

답을 찾고자 했다. 그렇게 나온게 로피탈이다.

 

 

 

로피탈의 법칙

 

로피탈의 개념을 알았다면 언제 이 로피탈을 쓸 수 있는지 알아야 한다.

고등학생 기준으로 로피탈의 법칙을 유도해보도록 하겠다.

 

 

주의.

학부생이라면 이 유도과정이 틀렸다는 것은 바로 알 수 있지만

고등학생 수준에서 일단 써먹게 하는게 목적이므로

너그러운 마음으로 이해해주시기 바랍니다.

고등학생분들도 이 증명은 틀린거지만

고등학교 과정에서 큰 지장이 없다는 것을 알아주시고

그래도 찜찜한 분들은 맨 마지막

로피탈을 학교에서 가르치지 않는 이유를 참고해주세요.

 

 

여기 미분가능한 함수 f(x), g(x)가 있다.

이때 리미트 x가 a로 갈때, f(x)와 g(x)가 둘다 0으로 즉 g(x)분의 f(x)가 0/0 꼴이라 하자.

그러면 리미트 x가 a로 갈때 g(x)분의 f(x)는

분모 분자에서 각각 0을 뺴줘도 값이 같으므로

리미트 g(x)-g(a)분의 f(x)-f(a)와 같다.

이제 분모분자를 x-a로 나누어주면 식이 이렇게 정리된다.

자 이렇게 보면 분모 분자가 각각 미분의 정의이므로

g'(c)분의 f'(c)라고 할 수 있다.

 

이것을 정리해보면

g(x)분의 f(x)의 극한 값은

분모 분자를 각각 미분한 후 극한을 보내는 값과 같아진다는 것을 알 수 있다.

따라서 지금까지 찾기 힘들었던 극한 값을

분모 분자를 각각 미분하여 극한을 보내면

빠르게 답을 찾을 수 있다.

 

그런데 이런 로피탈은 양날의 검과 같아서 함부로 쓰면 안된다.

다시 앞에 유도과정을 보면서 언제 쓸 수 있는지 보자.

먼저 위의 로피탈의 법칙을 유도할 떄 처음 가정했던 것은

0/0 꼴 즉 부정형이었다.

따라서 로피탈은 부정형이 아니면 쓸 수 없다.

다음으로 만약 각각 미분을 했는데 극한 값이 존재 하지 않으면 답이 없다.

따라서 두번째로 미분한 극한 값이 존재해야한다.

마지막으로 당연히 분모가 0이 되면 안될 것이다..

이를 정리하면

위 세가지 조건을 만족할때 로피탈의 법칙을 쓸 수 있다.

그리고 부정형은 0/0 뿐만 아니라 무한대분의 무한대꼴도 있는데

무한대 분의 무한대 꼴에서도 성립한다는게 알려져 있는 사실이다.

그리고 저기 조건 중에서 2번에서 만약 저 값이 부정형이면 다시 로피탈을 써서 답을 찾을 수 있다. 그 예시는 조금 뒤에 보도록 하자.

 

 

 

로피탈의 법칙의 실사용

이런 로피탈의 법칙을 배우면 뭐하나

일단 써먹어야할 거 아니겠는가

그래서 로피탈을 한 번 써먹어 보도록하겠다.

 

자 첫번째 문제이다.

(10초)

자 이문제에 로피탈의 법칙을 적용하면 분모 분자를 각각 미분하고

극한을 보내면 답이 이렇게 나온다.

이렇게 문제를 풀면 틀리게 된다.

극한문제를 풀 떄 가장 처음할 것은 극한을 보내는 것이다.

극한을 보냈을 떄 0/0 꼴이 나오지 않고 즉 부정형이 아니기 떄문에

이 문제는 로피탈을 쓰지 못하는 문제고

극한을 취했을 때 나온 값이 답이 된다.

학교 선생님들은 이런식으로 로피탈을 쓰는 학생들을 잡아내니

꼭 로피탈을 쓰기 전에 부정형인지 확인하기 바란다.

 

로피탈의 법칙이 가장 강력하게 작용하는 문제는

미정계수 판별 문제이다.

자 다음 문제를 풀어보길 바란다.

(10초)

먼저 정석으로 풀어보도록하겠다.

분모가 0으로 수렴하는데 극한값이 존재하므로 당연하게 분자도 0으로 수렴한다.

따라서 인수분해를 해서 극한 값을 찾으면 다음과 같다.

자 그런데 0/0 꼴이므로 부정형이고 따라서 로피탈의 법칙을 적용하면

다음과 같이 답을 바로 찾을 수 있다.

어떤 풀이가 더 빠를지는 생각해보길 바란다.

 

다음 문제도 한 번 풀어보자.

(10초)

분모분자가 모두 0으로 수렴하므로 즉 0/0꼴이므로 로피탈을 써서 풀어보도록하자.

분모 분자를 각각 미분하고 다시 극한값을 찾아보니 다시 0/0꼴이다.

자 이럴떄는 당황하지말고 다시 한번 로피탈을 써주길 바란다.

다시 한번 로피탈을하면 다음과 같이 답을 찾을 수 있다.

 

자 여기까지 왔다면 기본적인 로피탈의 사용법을 배웠으므로

로피탈을 조금 응용해보도록하자.

 

 

로피탈의 법칙 응용 (기초-인문/자연)

로피탈의 법칙은 개념설명에서도 했지만 사실 속도비교가 하고싶어서 만든 개념이다.

여기 차수가 같은 두 함수의 극한 값을 찾아보자.

로피탈의 법칙을 사용하면 다음과 같은데 또 부정형이다.

따라서 이를 n번 실시하면 다음과 같이 정리되고 n!을 각각 약분하면

다음과 같이 정리된다.

이 결과로 우리는 무한대 분의 무한대 꼴일때 분모, 분자의 차수가 같으면 계수만 가지고 답을 찾을 수 있다는 사실을 유도할 수 있다.

같은 방법으로 분모 분자의 차수가 다르다면 다음과 같이 로피탈의 법칙을 써서

분자의 차수가 분모의 차수보다 크면 무한대로 발산

분모의 차수가 분자의 차수보다 크면 0으로 수렴한다는 것을 얻어낼 수 있다.

여기서 하나만 더 알아보자.

x가 0으로 수렴한다면 저 식은 0분의 0꼴의 부정형이다.

이때 로피탈의 법칙을 적용하면 다음과 같이 상수항만 남게된다.

여기서 얻어낼 수 있는 사실은 무한대분의 무한대 꼴이면 최고차항을 보지만

0/0꼴이면 최저차항의 계수로 답을 바로 구하면 된다는 사실을 얻어낸다.

보통학생들이 무한대분의 무한대꼴은 바로바로 극한 값을 찾아내는 반면

0/0꼴에서는 당황하는 모습을 보이는데 그러지 말자.

관련된 문제를 한 번 풀어보자.

(10초)

 

x가 한 없이 커질 때, x세제곱분의 f(x)가 0으로 수렴하므로

f(x)의 최고차항의 차수가 3보다 작다는 사실을 알 수 있으며

x가 0으로 갈 때, x분의 f(x)가 5로 수렴하므로

f(x)의 최저차항의 차수가 1이라는 사실을 알 수 있다.

따라서 f(x)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

문제에서 f(2)가 2라고 했으므로 대입하면

a의 값을 찾을 수 있고,

따라서 f(1)의 값은 3이 나오게 된다.

물론 로피탈이 없어도 f(x)가 이렇게 될 것이라는 사실을 아는 학생들도 있지만

로피탈을 응용하면 저 성질이 좀 더 마음에 와닿을 것이라 생각한다.

 

 

 

 

 

 

로피탈의 법칙 응용 (심화-자연)

이과생이 아니라면 이 부분은 넘기고 맨 마지막

학교에서 가르치지 않는 이유를 보길 바란다.

로피탈의 정리의 의미는 계속말하고 있지만 속도비교이다.

로피탈의 정리가 정말 강력하게 작용하는 것은

다음과 같은 예시이다.

저 극한 값은 몇일까?

처음보는 학생들은 답을 내기는 어렵지만 로피탈의 정리를 적용해보자.

다항함수는 로피탈의 법칙을 여러번 적용하다보면 상수로 바뀌지만

지수함수는 계속 살아남으므로 무한대로 발산하게 된다.

다른말로 바꿔말하면 x가 한 없이 커질때

지수함수는 다항함수보다 반드시 빠르다.

반대로 x가 한 없이 커질때

다항함수는 로그함수보다 빠르다 라는 사실을 도출해낼 수 있다.

관련된 문제를 한 번 풀어보자.

(10초)

 

x를 t분의 1이라 치환하면

리미트 t가 한 없이 커질 때, t분의 1 곱하기 ln t분의 1이다.

이를 정리하면 t분의 -lnt가 된다.

방금 전에 다항함수가 로그함수 보다 빠르다는 성질을 알았으므로

극한 값은 0이 된다.

 

마지막으로 이 성질을 좀 응용해보면

리미트 x가 0으로 갈 때 xlnx가 0으로 수렴하므로

로그의 성질을 이용하여 x를 지수로 올리게 되면

0의 0제곱은 정의되지 않지만

0의 0의 극한 값은 1이란 사실을 도출해낼 수 있다.

 

 

 

로피탈을 학교에서 가르치지 않는 이유

수학문제를 쉽게 풀 수 있는데 왜 로피탈은 정규교육과정에서 가르치지 않을까?

실제 로피탈의 유도과정이 고등학교 과정을 넘어가서 로피탈을 가르치지 않는 것도 이유가 되겠지만 어차피 고등학교에서 배우는 미적분 증명은 다 잘못된 것인데 이는 가르치지 않을 이유가 되지 못한다고 본다.

 

로피탈은 지금까지 보았듯이 너무나 강력한 스킬이다.

그런데 이 강력함 때문에 오히려 학교에서는 가르치지 않는다고 본다.

학생들이 로피탈을 배우게되면

미적분에 대한 큰 고민없이 로피탈의 정리로 문제를 해결하는 모습을 보게된다.

미적분을 배우는 이유는 변화량에 대해 깊게 고민하는 것이 목적인데

계산만 하는 기계가 되어버리는 것이다.

그렇게 되면 어려운 미적분문제나

미적분의 정의를 물어보는 문제가 나오게 되면

손도 못대는 경우가 생긴다.

 

그리고 내신시험이나 수능에서는

다양한 방법으로 학생들을 걸러낸다.

아까 말했던 부정형이 안되는 문제를 내기도 하고

부정형은 맞지면 미분한 함수의 극한값이 존재 하지 않는 예시도 있으며

다음과 같이 로피탈을 써도 계속 부정형만 나오는 경우

로피탈을 쓰면 오히려 극한이 더 복잡해 지는 경우 등

학생들을 멘붕에 빠뜨린다.

 

그래서 로피탈은 내가 미적분에 대해 잘 알고 있는 상태에서

어떤 경우에 쓰는지 명확하게알고 쓰는 것이 효과적이다.

이렇게 말해도 결국엔 아무생각 없이 로피탈을 써서 안타깝긴하지만

누구는 학원다녀서 풀고 누구는 안다녀서 못푸는 것 보다는

일단 다 까놓고 쓰는게 낫다고 생각해서 영상을 만들었다.

마지막으로 꼭 로피탈은 보조수단으로 쓰길 바라며

 

오늘 수업은 여기까지