https://youtu.be/1jE9g3WG9pI 재밌는 사실 하나 보여드리겠습니다. 숫자를 하나 가져옵니다. 이 수의 모든 약수를 적습니다. 이 약수보다 작거나 같은 서로소들을 모두 적습니다. 이때 서로소인 수들의 개수는 항상 처음 가져온 수와 같습니다. 12 1 - 1 2 - 1 3 - 1, 2 4 - 1, 3 6 - 1, 5 12 - 1, 5, 7, 11 안 믿으실까봐 다른 숫자들도 가져오면 모든 숫자가 다 됩니다. 9 1 - 1 3 - 1, 2 9 - 1, 2, 4, 5, 7 7 1 - 1 7 - 1, 2, 3, 4, 5, 6 신기하죠? 정수론에서 오일러 피 함수(Euler’s phi(totient) function)는 정수환의 몫환의 가역원을 세는 함수입니다. 즉, n이 양의 정수일 때, ϕ(..
https://youtu.be/U_TwBiZfXqM 임의의 고른 두 자연수가 서로소일 확률을 구할 수 있을까요? 두 자연수가 서로소일 확률을 p라 하겠습니다. 두 자연수 a,b의 최대공약수를 d라 하면 a/d와 b/d는 자연수이며 서로소입니다. 이때 a, b가 최대공약수를 가질 확률을 p(d)라 두면 어떤 자연수가 d의 배수일 확률은 1/d이므로, P(d)=1/d * 1/d * P = P/d^2 라 할 수 있습니다. 두 자연수는 항상 최대공약수를 가지므로 확률p(d)의 총합은 1이며 따라서 p는 1/d^2의 합의 역수가 됩니다. sum1/d^2 = pi^2/6이므로 임의의 두 자연수가 서로소일 확률은 6/pi^2 입니다. 참 쉽죠? 같은 방법으로 세 자연수 또는 그 이상의 자연수들이 서로소일 확률도 구할..
https://youtu.be/uSdBJON0RwE 지금부터 i와 1이 같다는 것을 보이겠습니다. I는 i의 1제곱이라 적을 수 있습니다. 1은 4/4이므로 i=i의 4/4제곱과 같습니다. 지수법칙을 이용해 다음과 같이 식을 풀면 i^4=1이므로 1^(1/4)이 됩니다. 그런데 네제곱근 1은 1이므로 i=1입니다. 참 쉽죠? 우선 중등교육과정에서(고등학교까지) 지수가 유리수일 때 지수 법칙이 성립하려면 밑이 0보다 큰 실수여야 하는데 i는 복소수이며 대소 비교도 되지 않아 지수 법칙이 성립하지 않습니다. 하지만 복소해석학에서는 실제로 밑을 복소수로 확장해도 지수 법칙을 사용할 수 있습니다. 그래도 이 식이 틀린 이유는 1^(1/4)는 네제곱근 1이 아닌 1의 네제곱근이라 해석해야 함에 있습니다. 즉, x..
https://youtu.be/RbfJpjbTRm8 Sum a_n이 수렴하면 일반항 판정법에 의해 a_n은 0으로 수렴합니다. 그렇다면 비슷하게 적분을 만들어 식을 만들어도 성립할까요? 언뜻보면 더해지는 넓이가 0으로 수렴해야 적분값이 수렴하므로 자명하게 맞아보이지만 F(x)=cos(x^2)/x라 두면 적분값은 cos(x^2)/x는 -cos1로 수렴하지만 F를 미분한 f=-2sin(x^2)-cos(x^2)/x^2는 발산합니다. 따라서 이 명제는 틀렸습니다. 여러분은 틀렸다는 것을 바로 아셨나요? 저는 이런걸 너무 많이 당해서 항상 반례부터 찾으려 합니다 T_T 급수가 궁금하다면? 급수의 판정법 - https://youtu.be/mUhWoTMYVQ 일반항 판정법 - https://ko.wikipedia.o..
https://youtu.be/hVVVh7jgcjs 여기 이차식이 있습니다. X^2-xy+y^2=1 X^2의 계수와 y^2의 계수가 같으므로 원이라고 생각했는데 계산기에 쳐보니 타원이 나옵니다. 왜 그런지 보니 이식은 행렬로 나타내면 다음과 같고 이 행렬의 고윳값을 계산하면 람다는 1/2과 3/2가 나오므로 타원을 회전시켜서 얻은 그래프가 나옵니다. 1/2 x^2 + 3/2 y^2 = 1 내친김에 얼마나 회전했는지 알아보면 회전각을 세타라 할 때 Cot2세타=(a-c)/B=0이므로 pi/4만큼 회전했다는 것도 알아낼 수 있습니다. 참 쉽죠? 선생님들은 대학가서 이런거 배웠습니다. 더 알아보면 X^2-xy+y^2=1은 타원 X^2-2xy+y^2=1은 평행선 X^2-3xy+y^2=1 쌍곡선 conic sec..
https://youtu.be/jqddLLakYPg i의 i제곱근은 존재할까요? i의 i제곱근을 계산하기 위해 다음과 같이 지수형태로 고치고 계산하기 편하게 s라 두겠습니다. 지수를 없애고 허수를 실수로 바꾸기위해 양변에 2i제곱을 곱하게 되면 s^2i은 -1이 됩니다. 그리고 -1을 이항하면 s^2i+1=0이 됩니다. 그런데 이 식은 세상에서 제일 아름다운 공식과 꼴이 같으므로 s^2은 e^pi가 됩니다. 이제 양변에 루트를 하면 s= e^pi/2이 됩니다. i의 i의 제곱근은 실수이자 초월수 인거죠. 세상에서 가장 아름다운 공식을 이용하면 i 의 i 제곱근을 쉽게 구할 수 있습니다. 오일러 공식(Euler's formula)은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 세계에서 가장 아름다운 ..