확률을 잘 아시나요? 교과서에 나오는 발생빈도주의적 확률로 보았을 때 확률은 전 사건의 경우의 수 분의 해당사건이 일어날 경우의 수로 정의합니다. 이를 확장해서 기하학적 확률을 정의할 수 있는데 기하학적 확률은 전 영역의 크기 분의 특정 영역의 크기로 정의합니다. 그렇다면 원에 내접하는 정삼각형, 그리고 임의의 현을 그릴 때, 현의 길이가 원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률을 구할 수 있을까요? 이 문제를 해결하는 3가지 방법에 대해 소개하겠습니다. 첫번째는 Random Endpoint 해법입니다. 현의 시작점을 삼각형의 한 꼭짓점으로 두면 현이 삼각형의 한변 보다 길어지기 위해서는 시작점의 반대쪽에 있는 변을 지나야 합니다. 따라서 현을 정의할 수 있는 각도인 180도 중 정삼각형의 한..

https://youtu.be/RENA733tcgY 평면에서의 삼각형의 내각의 합은 180도이지만 곡면에서의 삼각형의 내각의 합은 180이 아닐 수 있습니다. 리만 기하학은 19세기에 베른하르트 리만에 의해 시작되었습니다. 이는 유클리드 기하학 및 비유클리드 기하학의 대표적인 두 형태(구면기하학과 쌍곡기하학)를 포함하는 일반적인 이론입니다. 1853년, 가우스는 제자인 리만에게 기하학의 기초에 대한 이론에 대하여 논문을 쓰는 것이 어떻겠느냐고 제안하였습니다. 리만은 임의의 차원에서의 굽은 공간에 대한 이론을 개발하였고, 이를 주제로 1854년에 [기하학의 기초를 이루는 가정들에 대하여]라는 제목의 강연을 개최하였습니다. 이는 리만 기하학의 시초로 여겨집니다. 리만의 사후에 데데킨트에 의해 논문이 출판되면..

youtu.be/wplSi-_McwI 넓이(Area)는 이차원 공간 영역의 크기를 표현하는 물리량입니다 임의의 크기를 넓이를 잴 때는 길이를 잴 때는 넓이가 1인 정사각형의 몇 배인가를 비교하면 됩니다. 정사각형의 넓이, 즉 가로X세로가 기준이므로 이동거리가 아닌 수직하는 두 벡터방향으로 얼마만큼 이동하였지 관찰해야합니다.

youtu.be/ht-RWZiZFwE 칸토어 집합(Cantor set)은 0과 1 사이의 실수로 이루어진 집합으로, [0,1]부터 시작하여 각 구간을 3등분하여 가운데 구간을 반복적으로 제외하는 방식으로 만들어집니다. 칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 빠지는 구간의 길이의 총합이 0이므로 칸토어 집합은 르벡 측도가 0입니다. 칸토어 집합은 조밀한 곳이 없는 집합이며, 완전 집합입니다. 칸토어 집합에서 남아 있는 선들의 개수는 무한하며 ℵ_1 보다 작을수있는 비가산 기수의 집합을 보여줍니다.

youtu.be/nnzXWVjZY4c 소수는 무한합니다. 이 명제를 유클리드의 정리라고 하며 가장 오래된 증명(이 영상의 증명법)은 그리스 수학자 유클리드의 《유클리드 원론》(제 9권, 정리 20)에서 볼 수 있습니다.

youtu.be/_VxU1wRgkJs 러셀의 역설 버트런드 러셀은 거짓말쟁이의 역설을 집합론의 관점에서 체계적으로 정리하였습니다. 러셀의 역설로 알려진 이 역설을 1901년에 발견하였고, 이 역설은 자신을 원소로 가지지 않는 모든 집합을 원소로 포함하는 집합에 자기 자신도 원소로 포함되는지 여부를 고려할 때 발생합니다. 만약 이 집합에 자신을 원소로 포함한다면, 집합의 정의에 따라 자신은 원소가 되지 않아야 하고 반대로 만약 자신을 원소로 포함하지 않는다면, 역시 집합의 정의에 따라 자신도 원소가 되어야 합니다. 이에 관련된 자세한 영상은 다음에 정리하도록 하겠습니다.