소수 3, 5, 7은 2씩 차이나는 등차수열입니다. 이처럼 3개의 소수로 이루어진 등차수열을 길이가 3인 소수 등차수열이라 합니다. 그렇다면 길이가 4인 것도 존재할까요? 5부터 6씩 더한다면 가능합니다. 심지어 6을 한 번 더 더한다면 길이가 5인 것까지 가능하죠. 하지만 6을 한 번 더 더한다고 길이가 6인 소수 등차수열이 되지는 않습니다. 그렇다면 길이가 6인 소수 등차수열은 없을까요? 나아가 길이가 몇이든 소수로만 이루어진 등차수열은 반드시 존재할까요? 그린과 타오의 증명에는 세 가지 주요 요소가 있다. 1. 세메레디 정리(양의 밀도를 갖는 정수 부분집합이 임의로 긴 길이의 등차수열을 포함한다.) 2. 상대적인 세메레디 정리로 전이한다. 3. Goldston and Yıldırım의 아이디어를 활..
여기 2보다 큰 아무 짝수 하나를 가져옵니다. 예를들어 8을 가져오면 8은 3+5이므로 두 소수의 합으로 나타낼 수 있습니다. 20을 가져오면 20은 3+17 또는 7+13 처럼 두 소수의 합으로 나타낼 수 있습니다. 11580같이 큰 짝수도 6569+5011과 같이 두 소수의 합으로 나타낼 수 있습니다. 골드바흐의 추측(Goldbach's conjecture)은 오래전부터 알려진 수론의 미해결 문제로, 1742년 수학자 골드바흐는 2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 소수(Prime number)의 합으로 표시할 수 있다는 것을발견했다. 이때 하나의 소수를 두 번 사용하는 것은 허용한다. 또 어렵게 말해 미안하다. 쉽게 생각을 해보자. 예를 들어 짝수인 수 38이 있다고 하자. 38은 두 소수의 합으로 표현..
모든 소수 곱은 짝수일까요? 아니면 홀수일까요? 가장 작은 소수는 2이고 그 외의 소수는 모두 홀수이므로 짝수 * 홀수 * 홀수 * ...이므로 짝수라고 생각할 수 있습니다. 하지만 소수의 개수는 무한하므로 모든 소수의 곱은 수로 나타낼 수 없습니다. 따라서 모든 소수의 곱은 존재하지 않으므로 문제 자체가 성립되지 않습니다. 하지만 굳이 답한다면 둘다 아니라고 해야하겠죠. 그런데 수학자들이 정말 모든 소수의 곱에 대해 찾아보지 않았을까요? 모든 소수의 곱을 알아보기 위해 소수에 대해 가장 많은 정보를 갖고 있는 리만제타함수를 가져오도록 하겠습니다. 모든 소수의 곱을 찾기 위해 리만제타함수에 로그를 취하고 테일러 급수로 식을 정리해주면 다음과 같습니다. 이 함수열은 평등수렴하므로 서메이션과 미분을 교환해도..
youtu.be/nnzXWVjZY4c 소수는 무한합니다. 이 명제를 유클리드의 정리라고 하며 가장 오래된 증명(이 영상의 증명법)은 그리스 수학자 유클리드의 《유클리드 원론》(제 9권, 정리 20)에서 볼 수 있습니다.
이 세상에 완벽한 숫자가 있을까요? 완전수, 영어로 Perfect number란 자기자신을 제외한 양의 약수들의 합이 다시 자기 자신이 되는 수입니다. 수학적으로는 σ(n)=2n라고 표현합니다. 조금 간단하게 설명해보자면 6의 약수는 1,2,3,6인데 이 중에서 자기자신인 6을 제외한 1,2,3을 더하면 6이 나옵니다. 왜 이러한 수를 완벽한 수라고 하는 것일까요? 완전수들을 알아보면6=1+2+328=1+2+4+7+14496=1+2+4+8+16+31+62+124+248등이 있습니다. 이 숫자들은 약수들의 합이 자기 자신이 되기도 하며6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 30..