세상에서 가장 완벽한 숫자 | 완전수 (feat. 메르센 소수)

이 세상에 완벽한 숫자가 있을까요? 완전수, 영어로 Perfect number란 자기자신을 제외한 양의 약수들의 합이 다시 자기 자신이 되는 수입니다. 수학적으로는 σ(n)=2n라고 표현합니다. 조금 간단하게 설명해보자면 6의 약수는 1,2,3,6인데 이 중에서 자기자신인 6을 제외한 1,2,3을 더하면 6이 나옵니다. 왜 이러한 수를 완벽한 수라고 하는 것일까요?   완전수들을 알아보면

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

등이 있습니다.

 

이 숫자들은 약수들의 합이 자기 자신이 되기도 하며

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 30 + 31처럼

연속된 자연수의 합으로 표현할 수도 있습니다.

이러한 특별한 성질을 만족하는 숫자가 별로 없기에 고대사람들은 이 수들이 특별하다고 생각했습니다. 히브리 신학자 알리산드리의 필로는 지구가 6일만에 창조되었고 달이 28일마다 지구를 공전함을 예로들며 완전수에 의미를 부여했습니다.

 

완전수에 관한 수학적인 연구는 2300년 전부터 시작되었습니다.

기원전 300년, 유클리드는 p가 소수일때, 2^(p-1) · (2^p − 1)에 알맞은 수를 대입해 완전수를 구할 수 있다는 사실을 발견했습니다.

 

예를들면

p = 2 일 때:   2^1 · (2^2 − 1) = 6

p = 3 일 때:   2^2 · (2^3 − 1) = 28

p = 5 일 때:   2^4 · (2^5 − 1) = 496

처럼 말이죠. 이와 같이 그리스의 수학자 니코마쿠스는 8128(=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064)이완전수임을 밝혀냈고, 증명없이 모든 완전수는 2^(p-1) · (2^p − 1)꼴이라고 주장했습니다. 고대 그리스인들은 6, 28, 496, 8128처럼 4개밖에 알지 못했지만 12세기 이집트의 수학자 Ismail ibn Fallus는 5번째(33550336), 6번째(8589869056), 7번째(137438691328) 완전수를 계산해냅니다. 유럽에서는 15세기가 되어서야 5번째 완전수에 대한 존재에 대해 알게되었고,(1456년에서 1461년 사이에 알려지지 않은 작가가 쓴 원고가 남아있다.) 1588년 이탈리아의 수학자 Pietro Cataldi에 의해 6번째와 7번째 완전수가 확인되었습니다. 또한 Pietro Cataldi는 유클리드 공식으로 얻은모든 완전수가 6또는 8로 끝난다는 것을 증명했습니다.

 

18세기에 와서 오일러는 모든 짝수 완전수는 2^(p-1)가 소수인 유클리드 공식[2^(p-1) · (2^p − 1)]을 만족한다는 것을 증명합니다. (이때, σ(n)은 약수함수(divisor function)가 처음 등장합니다.) 아시다시피 2^p-1이 반드시 소수는 아닙니다. 2^p-1이 소수이면 메르센 소수라고 부르죠. 그런데 2^(p-1) · (2^p − 1)=(Mn(Mn+1))/2이므로 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응이 됩니다. 따라서 메르센 소수와 짝수 완전수의 개수(농도)는 같게됩니다. 메르센 소수의 개수가 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않기에 아직 짝수 완전수의 수가 무한한지도 알려져 있지 않습니다. 

 

유클리드와 오일러의 정리에 의해 짝수인 완전수는 어느정도 마무리 되었지만 홀수인 완전수가 없다는 것은 알아내지못했습니다. 그래서 수학자들은 홀수인 완전수를 찾기 위해 지금도 노력하고 있으며 만약 홀수인 완전수가 존재한다면 몇가지 성질을 만족한다는 것을 찾아냅니다. 홀수인 완전수가 존재한다면 찾을 때 유용하게 사용할 수 있겠지만 수학자 제임스 실베스터의 말을 빌리자면 모든 방향에서 빈틈없이 감싸는 복잡한 조건들의 그물을 모두 헤치고 홀수 완전수가 존재할 수 있다면 그것은 기적이라고 했습니다. 다른말로 없을 것 같다는건데 그렇다면 이건 뻘짓인거죠.

 

 

그래서 수학자들은 좀 색다른 연구하기 시작합니다. spoof odd perfect number라는 홀수 완전수를 닮았지만 모든 요건을충족시키지 못한 정수를 찾아내어 성질을 연구하고 이러한 숫자들은 연구함을 통해 홀수 완전수는 없다는 것을 증명하려 합니다. 예를들어 1638년 르네 데카르트는 1985,8557,6189가 유클리드-오일러 공식을 만족한다고 찾았습니다. σ(198585576189)=σ(3^2)σ(7^2)σ(11^2)σ(13^2)σ(22021) =(1+3+3^2)(1+7+7^2)(1+11+11^2)(1+13+13^2)(1+22021)=397171152378=2⋅198585576189 얼핏보면 틀린게 없어보이는데 안타깝게도 22021은 소수가 아니었습니다.(19로 나누어 떨어집니다.) 그래서 σ(22021)=22022가 아니라 23622였고 결과적으로 저 숫자도 완전수가 아닌 것이밝혀졌습니다. 현재는 슈퍼컴퓨터를 이용해 아까말한 수와 같은 21개의 spoof odd perfect number를 찾아냈고 이러한 수들의 공통점과 소수의 규칙을 이용해 홀수 완전수가 없다는 것을 증명하기 위해 노력하고 있습니다.

이 세상에 완벽한 숫자가 있을까요? 완전수, 영어로 Perfect number란 자기자신을 제외한양의 약수들의 합이 다시 자기 자신이 되는 수입니다. 수학적으로는 σ(n)=2n라고 표현합니다. 조금 간단하게 설명해보자면 6의 약수는 1,2,3,6인데 이 중에서 자기자신인 6을 제외한 1,2,3을 더하면 6이 나옵니다. 왜 이러한 수를 완벽한 수라고 하는 것일까요?   완전수들을 알아보면

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

등이 있습니다.

 

이 숫자들은 약수들의 합이 자기 자신이 되기도 하며

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 30 + 31처럼

연속된 자연수의 합으로 표현할 수도 있습니다.

이러한 특별한 성질을 만족하는 숫자가 별로 없기에 고대사람들은 이 수들이 특별하다고생각했습니다. 히브리 신학자 알리산드리의 필로는 지구가 6일만에 창조되었고 달이 28일마다 지구를 공전함을 예로들며 완전수에 의미를 부여했습니다.

 

완전수에 관한 수학적인 연구는 2300년 전부터 시작되었습니다.

기원전 300년, 유클리드는 p가 소수일때, 2p-1 · (2p − 1)에 알맞은 수를 대입해 완전수를 구할 수 있다는 사실을 발견했습니다.

 

예를들면

p = 2 일 때:   21 · (22 − 1) = 6

p = 3 일 때:   22 · (23 − 1) = 28

p = 5 일 때:   24 · (25 − 1) = 496

처럼 말이죠. 이와 같이 그리스의 수학자 니코마쿠스는8128(=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064)이 완전수임을 밝혀냈고, 증명없이 모든 완전수는 2p-1 · (2p − 1)꼴이라고 주장했습니다. 고대 그리스인들은 6, 28, 496, 8128처럼 4개밖에 알지 못했지만 12세기 이집트의 수학자 Ismail ibn Fallus는 5번째(33550336), 6번째(8589869056), 7번째(137438691328) 완전수를 계산해냅니다. 유럽에서는 15세기가 되어서야 5번째 완전수에 대한 존재에 대해 알게되었고,(1456년에서 1461년사이에 알려지지 않은 작가가 쓴 원고가 남아있다.) 1588년 이탈리아의 수학자 Pietro Cataldi에 의해 6번째와 7번째 완전수가 확인되었습니다. 또한 Pietro Cataldi는 유클리드공식으로 얻은 모든 완전수가 6또는 8로 끝난다는 것을 증명했습니다.

 

18세기에 와서 오일러는 모든 짝수 완전수는 2^p-1가 소수인 유클리드 공식[2p-1 · (2p −1)]을 만족한다는 것을 증명합니다. (이때, σ(n)은 약수함수(divisor function)가 처음 등장합니다.) 아시다시피 2^p-1이 반드시 소수는 아닙니다. 2^p-1이 소수이면 메르센 소수라고부르죠. 그런데 2p-1 · (2p − 1)=(Mn(Mn+1))/2이므로 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응이 됩니다. 따라서 메르센 소수와 짝수 완전수의 개수(농도)는 같게됩니다. 메르센 소수의 개수가 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않기에 아직 짝수 완전수의 수가 무한한지도 알려져 있지 않습니다. 

 

유클리드와 오일러의 정리에 의해 짝수인 완전수는 어느정도 마무리 되었지만 홀수인 완전수가 없다는 것은 알아내지 못했습니다. 그래서 수학자들은 홀수인 완전수를 찾기 위해지금도 노력하고 있으며 만약 홀수인 완전수가 존재한다면 몇가지 성질을 만족한다는 것을 찾아냅니다. 홀수인 완전수가 존재한다면 찾을 때 유용하게 사용할 수 있겠지만 수학자제임스 실베스터의 말을 빌리자면 모든 방향에서 빈틈없이 감싸는 복잡한 조건들의 그물을 모두 헤치고 홀수 완전수가 존재할 수 있다면 그것은 기적이라고 했습니다. 다른말로없을 것 같다는건데 그렇다면 이건 뻘짓인거죠.

 

 

그래서 수학자들은 좀 색다른 연구하기 시작합니다. spoof odd perfect number라는 홀수 완전수를 닮았지만 모든 요건을 충족시키지 못한 정수를 찾아내어 성질을 연구하고 이러한숫자들은 연구함을 통해 홀수 완전수는 없다는 것을 증명하려 합니다. 예를들어 1638년 르네 데카르트는 1985,8557,6189가 유클리드-오일러 공식을 만족한다고 찾았습니다. σ(198585576189)=σ(3^2)σ(7^2)σ(11^2)σ(13^2)σ(22021) =(1+3+3^2)(1+7+7^2)(1+11+11^2)(1+13+13^2)(1+22021)=397171152378=2⋅198585576189 얼핏보면 틀린게 없어보이는데안타깝게도 22021은 소수가 아니었습니다.(19로 나누어 떨어집니다.) 그래서σ(22021)=22022가 아니라 23622였고 결과적으로 저 숫자도 완전수가 아닌 것이 밝혀졌습니다. 현재는 슈퍼컴퓨터를 이용해 아까말한 수와 같은 21개의 spoof odd perfect number를찾아냈고 이러한 수들의 공통점과 소수의 규칙을 이용해 홀수 완전수가 없다는 것을 증명하기 위해 노력하고 있습니다.

 

완전수에 대해 잘 알아보셨나요? 학부에서는 오일러의 약수 함수를 이용하여 관련된 성질에 대해 자세히 배우면서 위에서 다루는 성질들이 더 신기하게 느껴지기도 하는데요. 이는나중에 정리해보도록 하겠습니다. 그럼 오늘 수업은 여기까지