지름길은 얼마나 빠를까?

가끔 모바일로 카트라이더를 즐기는데요. 어렸을 때는 아무생각 없이 즐겼는데 요새는 죽기살기로 게임을 하다보니까 맵을 다 외워서 지름길을 타야만 게임을 이길 수 있었습니다. 그렇게 지름길을 타면서 게임을 하던 중 이런 지름길이 얼마나 시간을 줄여줄 수 있을까생각하다가 전공자답게 계산해보기로 했습니다.

 

지름길이란 멀리 돌지 않고 가깝게 질러 통하는 길로 가장 빠른 길이라고 생각할 수 있습니다. 그렇다면 지름길을 통해 가게되면 얼마나 빠르게 도착할 수 있을까요? 같은 속도로움직일 때 걸리는 시간을 구하기 위해서는 우선 거리를 정확하게 정의해야합니다. 평면에임의의 두 점이 주어졌을 때 거리는 두 점을 잇는 최단직선으로 정의하므로 피타고라스의정리에 의해 다음과 같이 정의합니다. 그런데 실생활에서는 가로질러서 가는 경우가 거의없습니다. 예를들면 빌딩숲에서 우리가 한 점에서 다른 점으로 이동하기 위해서는 직교좌표계처럼 돌아서 가야하죠. 이런 거리를 보고 택시거리라고 부릅니다. 19세기의 수학자 헤르만 민코프스키가 고안한 개념으로, 유클리드 기하학의 거리공간을 좌표에 표시된 두 점사이의 거리(절댓값)의 차이에 따른 새로운 거리공간으로 만든 것입니다. 조금 더 설명할수 있긴 하지만 이 영상내용이 위상수학과 미분기하학까지 다루진 않을 것이기에 여기까지만 하고 다시 돌아가겠습니다.

 

간략하게 본다면 한 점에서 다른 점으로 이동할 때 보통은 돌아서 가지만 만약 직선으로가로질러 간다면 지름길이라고 할 수 있는데 얼마나 빠르게 이동할 수 있을까요? 

두점에 직교 좌표위에 올려서 가로의 길이를 a라고 하고 세로의 길이를 b라하면 대각선의길이는 sqrt(a^2+b^2)이라 할 수 있습니다.

초등학교에서 배우는 삼각형의 결정조건, 어려운말로 삼각부등식을 이용하면 가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다 작으므로 우회하는 거리는 지름길보다 길다는 것을 알 수 있습니다. 그렇다면 이런 지름길은 얼마나 빠르게 목표지점에 도착하게 해줄까요? a,b 중 특정 한 변의 길이가 더 길게되면 대각선의 길이가 한 변의 길이와 점점 같아지므로 지름길과 우회하는 길과 차이가 별로 생기지 않게됩니다. 즉, 지름길이 의미가 없게됩니다. 그렇다면 지름길의 길이가 우회하는 길과의 차이가 극대화 되기 위해서는 어떻게해야할까요? a+b=c라 고정한 후 a+b와 sqrt(a^2+b^2)의 비율을 보면 분모가 고정되어 있으므로 분자가 작으면 작을 수록 지름길이 더 짧아진다는 것을 알 수 있습니다. 그렇다면 분자의 최솟값을 찾으면 되는데요. 고등학교때 배우는 산술기하평균을 이용하면sqrt(a^2+b^2)>sqrt(2ab)이며 등호가 성립할 때는 a=b라는 사실을 알 수 있습니다. 그래서 아까 식에 b를 a로 바꾸게 되면 1/sqrt2 약 0.7071 정도의 비율이 나오게 됩니다. 이는 지름길이 가장 극대화 되어있을 때 원래 길보다 30% 더 빠르게 목표지점에 도달할 수 있다는 것을 알려줍니다. 예를들어 1시간만에 가는 우회로를 직선으로 가로지르면 42분만에 도착할수 있는 거죠.

 

만약 두 점을 잇는 점을 원형으로 우회한다면 어떨까요? 좌표계는 크게 직교좌표계와 극좌표계로 나뉘고 카트맵에서도 원형으로 도는 길을 직진으로 뚫는 경우도 많으니까 알아보는게 의미가 있어보입니다. 이는 이전보다 쉽게 구할 수 있습니다. 원의 지름을 2r이라하면 반원의 길이는 πr이므로 2r/πr는 약 0.6366 36%임을 알 수 있죠. 물론 곡률이 더 작아질수록 지름길은 의미가 없어지고 곡률이 커질수록 더욱 극적인 효과가 있지만 대게 30%언저리 정도라는 것은 비슷합니다. 실제로 전체지도가 있다면 바닥이 평면이 아닌 휘어있는즉 가우스 곡률이 0이 아닌 경우까지 다루며 정확한 최단거리도 구할 수 있지만 거기까지궁금해하진 않으실것 같아서 여기서 마무리 하겠습니다.