조르겐프라이 평면 (Sorgenfrey Plane)과 $T_4$ 공간

로버트 소겐프라이 (Robert Sorgenfrey)

로버트 헨리 소겐프라이(Robert Henry Sorgenfrey, 1915-1995) 는 미국의 수학자이다. 그는 캘리포니아 대학교 로스앤젤레스(UCLA)에서 수학과 명예교수로 재직했으며, 일반위상수학(General Topology) 분야에 기여했다. 그의 이름은 위상공간의 중요한 반례(counterexample)로 사용되는 조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line) 과 조르겐프라이 평면(Sorgenfrey plane) 에 남아 있다.

조르겐프라이 직선 (Sorgenfrey Line)과 $T_4$ 공간

조르겐프라이 직선(Sorgenfrey Line), 또는 하한 위상(lower limit topology)은 실수 집합 $\mathbb{R}$에 기저(basis)로 반열린구간(half-open intervals) $[a, b)$를 부여하여 정의된 위상공간이다. 이 위상공간은 $T_4$ 공간이다.

정의 (Definitions)

1. $T_4$ 공간 (T4 space) : 위상공간 $X$가 $T_1$ 공간이고, 임의의 서로소인 닫힌 집합(disjoint closed sets) $A, B \subset X$에 대하여, $A \subset U$이고 $B \subset V$인 서로소인 열린 집합(disjoint open sets) $U, V$가 존재할 때, $X$를 $T_4$ 공간 또는 정규 공간(Normal space) 이라 한다.
2. $T_5$ 공간 (T5 space) : 위상공간 $X$가 $T_1$ 공간이고, 임의의 분리된 집합(separated sets) $A, B \subset X$ (즉, $\overline{A} \cap B = A \cap \overline{B} = \emptyset$)에 대하여, $A \subset U$이고 $B \subset V$인 서로소인 열린 집합 $U, V$가 존재할 때, $X$를 $T_5$ 공간 또는 완전 정규 공간(Completely normal space) 이라 한다.

조르겐프라이 직선이 $T_4$ 공간인 이유

조르겐프라이 직선은 완전 정규 공간(completely normal space) 이다. 모든 $T_5$ 공간은 $T_4$ 공간의 성질을 만족하므로, 완전 정규 공간은 정규 공간이다. 따라서 조르겐프라이 직선은 정규 공간이며, 이는 $T_4$ 공간임을 의미한다.

증명 개요는 다음과 같다:
$X$를 조르겐프라이 직선이라 하고, $A, B$를 $X$의 서로소인 닫힌 집합이라 하자.
각 점 $a \in A$에 대하여, $a \notin \overline{B}$이므로 $a$를 포함하고 $B$와 만나지 않는 기저원소 $[a, x_a)$를 선택할 수 있다. 마찬가지로 각 $b \in B$에 대하여 $b$를 포함하고 $A$와 만나지 않는 기저원소 $[b, y_b)$를 선택할 수 있다.
$U = \bigcup_{a \in A} [a, x_a)$ 와 $V = \bigcup_{b \in B} [b, y_b)$ 로 두면, $U$와 $V$는 $A$와 $B$를 각각 포함하는 열린 집합이다. $U \cap V = \emptyset$ 임을 보일 수 있으므로, 조르겐프라이 직선은 $T_4$의 조건을 만족한다.

조르겐프라이 평면 (Sorgenfrey Plane)과 $T_4$ 공간

조르겐프라이 평면(Sorgenfrey plane)은 조르겐프라이 직선 $\mathbb{R}_l$을 두 번 곱한 곱공간(product space) $\mathbb{R}_l \times \mathbb{R}_l$이다. 조르겐프라이 직선이 정규 공간(따라서 $T_4$)임에도 불구하고, 조르겐프라이 평면은 정규 공간이 아니므로(not normal), $T_4$ 공간이 아니다.

조르겐프라이 평면이 $T_4$ 공간이 아닌 이유

조르겐프라이 평면이 $T_4$ 공간이 아님을 보이기 위해, 이 공간에서 분리될 수 없는 서로소인 닫힌 집합의 존재를 보이면 충분하다.

• 제1 범주와 제2 범주 집합 (First and Second Category Sets)

1. 조밀한 곳이 없는 집합 (Nowhere Dense Set) : 위상 공간 $X$의 부분집합 $A$의 폐포(closure) $\overline{A}$의 내부(interior)가 공집합일 때, 즉 $\text{int}(\overline{A}) = \emptyset$일 때, $A$를 조밀한 곳이 없는 집합이라 한다.
2. 제1 범주 집합 (Meager Set) : 조밀한 곳이 없는 집합들의 가산 합집합(countable union)으로 표현될 수 있는 집합이다.
3. 제2 범주 집합 (Second Category Set) : 제1 범주 집합이 아닌 집합이다.

• 베르의 범주 정리 (Baire Category Theorem)
• 완비 거리 공간(complete metric space)은 제2 범주 공간이다. 실수 집합 $\mathbb{R}$은 보통의 거리(usual metric)에 대해 완비 거리 공간이므로, $\mathbb{R}$은 제2 범주 공간이다.

귀류법을 사용하기 위해, 조르겐프라이 평면이 정규 공간($T_4$)이라고 가정한다.

조르겐프라이 평면의 부분집합인 반대각선(anti-diagonal) $L = {(x, -x) \mid x \in \mathbb{R}}$을 생각하자. $L$의 유도 위상은 이산 위상(discrete topology)이므로 $L$은 닫힌 집합이다.

$L$을 다음과 같이 두 개의 서로소인 부분집합으로 나눈다.

• $K = \{(x, -x) \in L \mid x \text{ is rational}\}$ (유리수 좌표를 갖는 점들의 집합)
• $L-K = \{(x, -x) \in L \mid x \text{ is irrational}\}$ (무리수 좌표를 갖는 점들의 집합)

$L$이 이산 공간이므로, $K$와 $L-K$는 모두 $L$에서 닫혀있고, 따라서 조르겐프라이 평면 전체에서도 닫힌 집합 이다.

정규 공간이라는 가정에 따라, 서로소인 닫힌 집합 $K$와 $L-K$를 분리하는 서로소인 열린 집합 $U$와 $V$가 존재 해야 한다. 즉, $K \subset U$이고 $L-K \subset V$이며 $U \cap V = \emptyset$이다.

$U$는 열린 집합이므로, $K$에 속하는 각 점 $q = (x, -x)$ (여기서 $x$는 유리수)에 대하여, $q$를 포함하는 기저원소 $B_q$가 $U$에 포함되어야 한다. 이 기저원소는 다음과 같은 형태를 가진다.
$$B_q = [x, x+\epsilon_q) \times [-x, -x+\epsilon_q) \subset U$$
여기서 $\epsilon_q$는 $q$에 따라 달라지는 양수이다.

각 자연수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대하여 실수의 부분집합인 유리수 집합 $Q_n$을 다음과 같이 정의한다.
$$Q_n = \{x \in \mathbb{Q} \mid \epsilon_x > 1/n\}$$
(여기서 $\epsilon_x$는 점 $(x, -x)$에 대응하는 반지름이다.)

모든 유리수 $x$에 대해 $\epsilon_x$는 양수이므로, 모든 유리수는 어떤 $Q_n$에 속하게 된다. 따라서,
$$\mathbb{Q} = \bigcup_{n=1}^\infty Q_n$$

실수 집합 $\mathbb{R}$은 완비 거리 공간이므로 제2 범주 공간이다. 만약 모든 $\overline{Q_n}$이 $\mathbb{R}$에서 조밀한 곳이 없는 집합이라면, 그들의 가산 합집합인 $\bigcup \overline{Q_n}$은 제1 범주 집합이 된다. 그러나 $\bigcup \overline{Q_n}$은 $\mathbb{Q}$를 포함하고 $\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$이므로, 이는 $\mathbb{R}$이 제1 범주 집합이라는 결론으로 이어져 모순이다.

따라서, 어떤 자연수 $n_0$에 대하여, $\overline{Q_{n_0}}$는 조밀한 곳이 없는 집합이 될 수 없다. 즉, $\overline{Q_{n_0}}$의 내부는 공집합이 아니며, 어떤 열린 구간 $(a, b)$를 포함 해야 한다.

$\overline{Q_{n_0}}$가 $(a, b)$를 포함한다는 것은 $Q_{n_0}$가 구간 $(a, b)$에서 조밀(dense) 하다는 것을 의미한다.

이제 $L-K$에 속하는, 즉 무리수 좌표를 갖는 임의의 점 $p = (y, -y)$를 생각하자. 단, $y \in (a, b)$이다. $p$는 $L-K$에 속하므로, 열린 집합 $V$는 $p$를 포함해야 한다. 따라서 $p$를 포함하고 $V$에 속하는 기저원소 $B_p = [y, y+\delta) \times [-y, -y+\delta)$ 가 존재한다 (어떤 $\delta > 0$에 대해).

$Q_{n_0}$가 $(a, b)$에서 조밀하므로, 우리는 $y$에 매우 가까운 유리수 $x$를 $Q_{n_0} \cap (a, b)$에서 찾을 수 있다. 구체적으로, $y < x < y+\delta$를 만족하는 $x \in Q_{n_0}$를 선택할 수 있다.

$x \in Q_{n_0}$이므로, 정의에 의해 $\epsilon_x > 1/n_0$이다. 점 $q = (x, -x)$를 포함하는 $U$의 기저원소는 $B_q = [x, x+\epsilon_x) \times [-x, -x+\epsilon_x)$ 이다.

두 기저원소 $B_p$와 $B_q$는 반드시 만난다. $y$에 충분히 가까운 $x$ (예: $x-y < \min(\delta, 1/n_0)$)를 선택하면, 점 $(x, -y)$는 두 기저원소의 교집합에 속한다.

• 첫 번째 좌표: $x \in [y, y+\delta)$ 이고 $x \in [x, x+\epsilon_x)$ 이다.
• 두 번째 좌표: $-y \in [-y, -y+\delta)$ 이다. $x-y > 0$ 이므로 $-x < -y$ 이다. $x-y < \epsilon_x$가 되도록 $x$를 선택했으므로, $-y < -x + \epsilon_x$ 이다. 따라서 $-y \in [-x, -x+\epsilon_x)$ 이다.

점 $(x,-y)$는 $B_p$와 $B_q$ 모두에 속한다. 이는 $U \cap V \neq \emptyset$임을 의미하며, 1단계에서 $U$와 $V$가 서로소인 집합이라는 가정에 모순 이다.

모순이 발생했으므로, 최초의 가정, 즉 "조르겐프라이 평면은 정규 공간이다"는 거짓이다. 따라서 조르겐프라이 평면은 $T_4$ 공간이 아니다.

결론적으로, 조르겐프라이 평면에는 서로소인 닫힌 집합 $K$와 $L-K$가 존재하지만, 이들을 포함하는 서로소인 열린 집합은 존재하지 않는다. 이는 $T_4$ 공간의 정의를 만족하지 않음을 의미한다. 따라서 조르겐프라이 평면은 $T_4$ 공간이 아니다.

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다른 예시: 삭제된 티호노프 판자 (Deleted Tychonoff Plank)

1. 공간의 정의

• 티호노프 판자 (Tychonoff Plank) : 최초의 무한 순서수 $\omega$와 최초의 비가산 순서수 $\Omega$를 생각하자. 순서수 공간 $[0, \omega]$와 $[0, \Omega]$는 각각의 순서 위상(order topology)을 갖는다. 티호노프 판자 $T$는 곱공간 $[0, \Omega] \times [0, \omega]$이다.
• 삭제된 티호노프 판자 (Deleted Tychonoff Plank) : 티호노프 판자 $T$에서 점 $(\Omega, \omega)$ 하나를 제거한 공간을 삭제된 티호노프 판자 $T_\omega$라 한다. 즉,

$$
T_\omega = T - {(\Omega, \omega)}
$$

2. 삭제된 티호노프 판자가 $T_4$ 공간이 아닌 이유

$T_\omega$가 정규 공간(Normal Space)이 아님을 보인다.

1. 서로소인 닫힌 집합의 구성 :
   $T_\omega$ 안에서 다음 두 부분집합을 정의한다.

• $A = \{(\Omega, n) \mid n \in [0, \omega)\} = {\Omega} \times [0, \omega)$
• $B = \{(\alpha, \omega) \mid \alpha \in [0, \Omega)\} = [0, \Omega) \times {\omega}$

$A$는 $T_\omega$의 "오른쪽 세로선"(꼭대기 점 제외)이고, $B$는 "위쪽 가로선"(오른쪽 끝 점 제외)이다. $T_\omega$의 위상에서 $A$와 $B$는 서로소인 닫힌 집합이다.

2. 분리의 불가능성 (모순 유도) :
   귀류법을 위해 $A$와 $B$를 분리하는 서로소인 열린 집합 $U, V$가 존재한다고 가정하자 ($A \subset U$, $B \subset V$, $U \cap V = \emptyset$).

• $U$는 $A$를 포함하는 열린 집합이다. 따라서 $A$의 각 점 $(\Omega, n)$에 대하여, 이 점을 포함하는 $U$의 기저원소가 존재한다. 이 기저원소는 $(\alpha_n, \Omega] \times (n-1, n+1)$ 과 같은 형태를 취한다 (단, $n$에 의존하는 어떤 가산 순서수 $\alpha_n < \Omega$ 에 대하여).
• 이제 순서수들의 집합 ${\alpha_n \mid n \in [0, \omega)}$을 생각하자. 이 집합은 가산 개의 가산 순서수들의 집합이다. 순서수의 성질에 의해, 가산 개의 가산 순서수들의 합집합은 여전히 가산 순서수이다. 따라서 이들의 상한(supremum)인 $\beta = \sup{\alpha_n}$ 역시 $\Omega$보다 작은 가산 순서수이다.
• 이는 열린 집합 $U$가 "띠" 형태의 집합 $(\beta, \Omega] \times [0, \omega)$를 반드시 포함함을 의미한다.
• 이제 $B$에 속하는 점 $(\beta+1, \omega)$를 생각하자. 이 점은 $V$에 속해야 한다. 그러나 $(\beta+1, \omega)$는 집합 $(\beta, \Omega] \times [0, \omega)$의 폐포(closure)에 속하는 점이다. 따라서 $(\beta+1, \omega)$의 임의의 근방(neighborhood)은 $(\beta, \Omega] \times [0, \omega)$와 만나야 하고, 따라서 $U$와 만나야 한다.
• 이는 $V$가 $U$와 만나야 함을 의미하므로, $U \cap V \neq \emptyset$ 이라는 결론에 도달한다. 이는 $U$와 $V$가 서로소라는 가정에 모순 이다.

따라서 삭제된 티호노프 판자 $T_\omega$는 정규 공간이 아니며, $T_4$ 공간이 아니다.