호몰로지 군 $H_n(X)$

첫 번째 호몰로지 군 $H_1(X)$를 기본군 $\pi_1(X, x_0)$의 아벨화(abelianization)로 정의하는 것은 사실 후레비치 정리(Hurewicz theorem)의 결과다. 대수적 위상수학에서 호몰로지 군의 표준적인 정의는 특이 호몰로지(Singular Homology) 를 통해 이루어진다. 이 외에도 계산의 편의성을 위해 단체 호몰로지(Simplicial Homology) 라는 정의도 사용된다.

특이 호몰로지 (Singular Homology)

특이 호몰로지는 임의의 위상 공간 $X$에 대해 호몰로지 군 $H_n(X)$를 정의할 수 있는 가장 일반적이고 강력한 방법이다.

정의

1. 표준 $n$-단체(Standard $n$-simplex)
   $\mathbb{R}^{n+1}$의 아핀 독립인 점들 $e_0, e_1, \dots, e_n$을 꼭짓점으로 하는 볼록 폐포(convex hull)를 표준 $n$-단체라 하고 $\Delta^n$으로 표기한다.

$$
\Delta^n = \left\{  \sum_{i=0}^{n} t_i e_i \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \sum_{i=0}^{n} t_i = 1, t_i \ge 0 \right\}
$$

• $\Delta^0$: 점
• $\Delta^1$: 선분
• $\Delta^2$: 삼각형
• $\Delta^3$: 사면체

2. 특이 $n$-단체(Singular $n$-simplex)
   위상 공간 $X$로 들어오는 연속 함수 $\sigma: \Delta^n \to X$를 $X$에서의 특이 $n$-단체라고 한다. 여기서 '특이(singular)'라는 말은 함수 $\sigma$가 단사일 필요가 없으며, $\Delta^n$의 상이 $X$ 안에서 겹치거나 퇴화될 수 있음을 의미한다.
3. $n$차 사슬 군($C_n(X)$)
   모든 특이 $n$-단체들의 집합을 기저(basis)로 갖는 자유 아벨 군(free abelian group)을 $n$차 사슬 군이라 하고, $C_n(X)$로 표기한다. $C_n(X)$의 원소는 $n$차 사슬(n-chain) 이라 하며, 다음과 같은 형식적 합으로 나타낸다.

$$
\sum_i n_i \sigma_i \quad (n_i \in \mathbb{Z})
$$

4. 경계 연산자($\partial_n$)
   경계 연산자 $\partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}(X)$는 특이 $n$-단체 $\sigma$를 그 경계에 해당하는 $(n-1)$-사슬로 보내는 군 준동형사상이다. $\sigma$에 대한 작용은 다음과 같이 정의된다.

$$
\partial_n(\sigma) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \sigma \circ \iota_i
$$

여기서 $\iota_i: \Delta^{n-1} \to \Delta^n$는 $i$번째 꼭짓점을 제외하고 나머지 꼭짓점들을 순서대로 유지하여 만들어지는 $(n-1)$차원 면(face)으로의 포함 사상(inclusion map)이다.

• 핵심 성질 : 모든 $n \ge 1$에 대해 $\partial_{n-1} \circ \partial_n = 0$ 이다. 이는 "경계의 경계는 없다"는 기하학적 직관을 대수적으로 표현한 것이다.

5. $n$차 순환 군($Z_n(X)$)과 $n$차 경계 군($B_n(X)$)

• $n$차 순환 군($Z_n(X)$) : 경계가 0인 $n$-사슬들의 군으로, 경계 연산자 $\partial_n$의 핵(kernel)이다.

$$
Z_n(X) = \ker(\partial_n) = \{c \in C_n(X) \mid \partial_n(c) = 0\}
$$

$Z_1(X)$의 원소는 닫힌 고리들의 형식적 합으로 생각할 수 있다.

• $n$차 경계 군($B_n(X)$) : $(n+1)$-사슬의 경계가 되는 $n$-사슬들의 군으로, 경계 연산자 $\partial_{n+1}$의 상(image)이다.

$$
B_n(X) = \text{im}(\partial_{n+1}) = \{c \in C_n(X) \mid \exists d \in C_{n+1}(X), c = \partial_{n+1}(d)\}
$$

$B_1(X)$의 원소는 속이 채워진 면(2-단체)의 경계가 되는 고리들의 형식적 합이다.

6. $n$차 호몰로지 군($H_n(X)$)
   $n$차 호몰로지 군은 $n$차 순환 군을 $n$차 경계 군으로 나눈 몫군(quotient group)으로 정의된다.

$$
H_n(X) = Z_n(X) / B_n(X)
$$

$H_1(X)$는 "속이 채워지지 않은 1차원 구멍", 즉 2차원 면으로 둘러싸이지 않는 닫힌 고리들의 동치류를 나타낸다.

단체 호몰로지 (Simplicial Homology)

단체 호몰로지는 공간 $X$가 삼각화(triangulation) 가능할 때, 즉 단체 복합체(simplicial complex) $K$와 위상동형일 때 정의할 수 있다. 이는 특이 호몰로지보다 더 구체적이고 계산이 용이하다.

정의

1. 방향이 있는 $k$-단체(Oriented $k$-simplex)
   단체 복합체 $K$의 $k$-단체는 꼭짓점들의 순서를 정하여 방향을 부여할 수 있다. 예를 들어, $[v_0, v_1]$과 $[v_1, v_0]$는 서로 반대 방향이다. $[v_1, v_0] = -[v_0, v_1]$로 정의한다.
2. $k$차 사슬 군($C_k(K)$)
   $K$에 있는 방향이 있는 $k$-단체들의 형식적인 정수 계수 선형 결합으로 이루어진 군이다.
3. 경계 연산자($\partial_k$)
   방향이 있는 $k$-단체 $\sigma = [v_0, v_1, \dots, v_k]$에 대한 경계 연산은 다음과 같다.

$$
\partial_k(\sigma) = \sum_{i=0}^{k} (-1)^i [v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_k]
$$

여기서 $\hat{v_i}$는 $v_i$ 꼭짓점을 제외한다는 의미이다.

4. 호몰로지 군($H_k(K)$)
   특이 호몰로지와 마찬가지로 순환 군 $Z_k(K) = \ker(\partial_k)$와 경계 군 $B_k(K) = \text{im}(\partial_{k+1})$을 정의하고, 그 몫군으로 호몰로지 군을 정의한다.

$$
H_k(K) = Z_k(K) / B_k(K)
$$

공간 $X$가 단체 복합체 $K$와 위상동형이면, $H_k(X)$를 $H_k(K)$로 정의한다. 중요한 사실은 $X$를 어떻게 삼각화하더라도 결과적인 호몰로지 군은 동형이라는 것이다.

정의 비교: 효율성, 편의성, 유용성

항목	기본군 $\pi_1$의 아벨화	단체 호몰로지	특이 호몰로지
적용 범위	경로 연결 공간	삼각화 가능한 공간 (예: 다면체)	모든 위상 공간
개념적 직관	매우 높음 . 공간의 '고리(loop)'와 그 변형을 직접 다루므로 기하학적 직관이 명확하다.	높음 . 공간을 삼각형, 사면체 등 간단한 조각으로 나누어 조합적으로 분석한다.	낮음 . 모든 연속 함수를 다루므로 추상적이고 사슬 군이 매우 크다.
계산 효율성	반 캄펀 정리(Van Kampen's theorem) 등으로 계산할 수 있으나, 일반적으로 $\pi_1$ 계산은 어렵다. 특히 비가환 군인 경우가 많아 다루기 복잡하다.	유한 단체 복합체의 경우, 경계 연산자는 행렬로 표현되며 선형대수를 통해 기계적으로 계산 가능 하다.	정의에 따른 직접 계산은 거의 불가능 하다. 마이어-비토리스 열(Mayer-Vietoris sequence) 등 강력한 이론적 도구를 이용해 간접적으로 계산한다.
이론적 유용성	공간의 더 정밀한 정보(비가환 구조)를 담고 있다. 피복 공간(covering space) 이론과 직결된다.	구체적인 계산을 위한 다리 역할을 한다. 특이 호몰로지 계산의 기초가 되기도 한다.	가장 강력함 . 호모토피 불변량이고, 모든 $n \ge 0$에 대해 $H_n(X)$이 정의되며, 군들이 모두 아벨 군이라 다루기 편하다. 대수적 위상수학의 핵심적인 이론 전개에 사용된다.

요약 및 결론

• 가장 이론적으로 유용하고 일반적인 정의는 특이 호몰로지다. 모든 공간에 적용 가능하며, 호몰로지 이론의 기초를 이룬다. 다른 정의들은 특이 호몰로지와 동형임이 증명되어 그 정당성을 얻는다.
• 실제 계산에 가장 효율적인 것은 단체 호몰로지다. 공간을 삼각화할 수만 있다면, 컴퓨터를 이용한 알고리즘으로 호몰로지 군을 계산할 수 있다.
• 기본군의 아벨화($\pi_1(X)^{ab}$)로서의 정의는 호모토피 군과 호몰로지 군 사이의 깊은 관계를 보여준다는 점에서 중요하다. 후레비치 정리는 $n=1$일 때 두 이론이 어떻게 연결되는지를 명확히 설명해준다. $H_1(X)$는 $\pi_1(X)$의 정보 중 교환법칙이 성립하는 부분만을 추출한 것이라고 이해할 수 있다.