중학교때 배운 도형의 성질을 다 기억하고 계신가요? 도형의 성질과 관련된 내용을 꾸준히 복습하지 않는다면 시험에 나왔을 때 문제가 풀리지 않아 당황하게 됩니다. 중학교때 배운 내용이라 다시 보면 기억이 되살아 나기에 고등학교 문제풀이에 많이 응용되는 내용을 중심으로 직관적으로 성질들을 정리해보도록 하겠습니다.(필요한 내용이 있다면 챕터를 건너뛰면서 보시기 바랍니다.) 각과 비율 평행선과 다른 한 직선이 만나서 생기는 교각 중 한 직선에서 보아 같은 위치에 있는 두 개의 각을 ‘동위각’,서로 반대쪽에서 상대하는 각을 ‘엇각’, 서로 이웃하지 않는 것은 ‘맞꼭지각’이라 하며 이때 이 각의 크기는 항상 같습니다. 평행선과 만나는 서로 다른 두 직선이 만드는 길이들은 서로 일정한 비율을 유지합니다. 평행선 안에..

You know what’s cooler than magic? Math. 스파이더맨 보셨나요? 저는 거미 광팬이라 거의 울다시피하면서 봤는데요. 영화를 보던 중 기하학을 이용하여 닥스와 투닥이는 장면을 보며 여러분들 조금 궁금해하실 수도 있어 수학적으로 자세히 설명해 드리고자 합니다. 영화를 보면 미러디멘션에서 스파이더맨이 아르키메데스의 나선을 보며 반지름을 계산해 닥스를 묶는 장면이 나옵니다. 아르키메데스의 나선이 뭐길래 스파이더맨은 눈을 반짝였을까요? 아르키메데스의 나선은 중심으로부터의 거리가 회전각에 비례하여 커지는 나선을 의미합니다. 기원전 3세기의 수학자인 아르키메데스의 이름을 딴 나선이죠. 이렇게 설명하면 이해가 안되기에 그림을 통해 차근차근 보도록하겠습니다. 아르키메데스의 나선은 다음 그림처..

삼각형의 넓이를 구하는 방법 중에는 두 벡터의 외적을 응용하는 방법이 있습니다. 3차원 공간에서 i,j,k를 각각 단위벡터라 할 때, 삼각형의 두 변을 벡터로 표현한 후 외적공식을 사용하면 (a.k.a. 신발끈) 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다. 이 공식을 이용하면 공간상에서 이면각을 구할 때 넓이를 이용해 편하게 구할 수도 있습니다. 벡터의 외적은 3차원 벡터의 행렬식 값으로 정의할 수 있습니다. 다른말로 신발끈 공식과 유사하게 구할 수 있습니다. i, j가 있는 열벡터를 한 번 더 적고 사선으로 곱한 값들의 합과 차를 통해 계산하는 모습을 관찰해보면 도움이 됩니다. 한 점이 0이라면 계산이 배우 쉬워지는 것을 응용하는 것도 좋은 방법입니다. 공식의 유도와 3차원 도형이 궁금하다면 눌러주세요. 벡터곱..

반 힐 부부는 학생들이 기하를 배울때 나타나는 학습 수준의 비약적 상승에 주목하여 반 힐 모델을 제시했습니다. 레벨 0은 시각적 인식 수준으로 모양이 비슷한 것 끼리 묶어 도형의 이름을 말하는 수준입니다. 이것들은 삼각형, 이것들은 사각형으로 말이죠. 레벨 1은 분석적 수준으로 도형을 성질에 주목하여 분류하는 수준입니다. (예를들어 내각의 합이 180도이면 삼각형, 360도이면 사각형인 것으로 말이죠.) 레벨2는 추상적 수준으로 도형사이의 관계를 파악하고 개념의 성질에 대한 필요조건과 충분조건을 구별하는 수준입니다. (어떤 성질을 만족해야 정사각형이 만들어지는지 아는 것 처럼 말이죠.) 레벨3는 연역적 수준으로 공리, 정의, 정리를 이해하고 단순한 증명을 할 수 있는 수준입니다. (우리가 흔히 유클리드 ..