벡터의 외적, 신발끈 공식 | 느슨해진 수능 기하에 긴장감을 주는 공식

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삼각형의 넓이를 구하는 방법 중에는 두 벡터의 외적을 응용하는 방법이 있습니다. 3차원 공간에서 i,j,k를 각각 단위벡터라 할 때, 삼각형의 두 변을 벡터로 표현한 후 외적공식을 사용하면 (a.k.a. 신발끈) 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다. 이 공식을 이용하면 공간상에서 이면각을 구할 때 넓이를 이용해 편하게 구할 수도 있습니다.

 

2022학년도 9월 평가원 기하 29번 문제

 

벡터의 외적 계산 방법

벡터의 외적은 3차원 벡터의 행렬식 값으로 정의할 수 있습니다. 다른말로 신발끈 공식과 유사하게 구할 수 있습니다. i, j가 있는 열벡터를 한 번 더 적고 사선으로 곱한 값들의 합과 차를 통해 계산하는 모습을 관찰해보면 도움이 됩니다. 한 점이 0이라면 계산이 배우 쉬워지는 것을 응용하는 것도 좋은 방법입니다.

 

공식의 유도와 3차원 도형이 궁금하다면 눌러주세요.

벡터곱 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)

외적 - 나무위키 (namu.wiki)

위 도형을 보고싶다면?

 

혼자 9월 평가원 29번을 풀 때, 넓이를 이용해 이면각을 구하는 방법이 좋을 것이라 판단하고 문제를 접근했습니다.(학교에 기하 선택자가 없어 손 놓은지도 오래되었고, 풀이 방법이 앵커링 되어버려 다른 풀이를 생각할 여력이 없었습니다. T_T) 넓이를 구하는 방법은 여러가지가 있지만 점 C를 원점으로 두고 다른 점의 좌표를 설정한다면 외적공식이 보다 빠르게 넓이를 구할 수 있다고 생각했습니다. 세 점의 좌표를 알고 있으니 두 벡터의 내적을 이용해 끼인각을 계산해 넓이를 구할 수도 있지만, 이 공식이 장점을 알고 있는 입장에서 굳이 그 선택지를 선택할 이유는 없었습니다.

 

좌표를 설정하는 과정에서 고등학교 교육과정에서 사용되는 삼수선의 정리를 올바로 사용하고, 넓이를 통해 이면각을 구한다는 개념까지 왔다면 위 방법으로 넓이를 구해도 학생에게 평가하고 싶은 내용은 충분히 평가하지 않았나란 생각도 듭니다. 물론 공식의 참 의미를 이해하지 않고 기계적으로 사용하는 것에 대해 우려를 하실 수 있을 것이라 생각합니다.

 

하지만 제 채널이 추구하는 바가 '애들아 이런 것도 있어. 신기하지?'로 흥미를 유발하고자 하며 지극히 개인적인 의견으로 어떻게보면 공공연하게 쓰는 공식을(신발끈, 로피탈 등) 학생 스스로 더 공부해서 문제를 해결한다면 도와주고 싶은 마음이 있어 한 번 영상을 제작해 보았고 관련자료를 정리해보았습니다. 제가 미흡하여 혹시 미처 생각하지 못하는 점이나 개인적인 의견이 있으시다면 조언해주시면 정말 감사드리겠습니다.