페르마의 밀실에서는 증명했었는데.. | 골드바흐의 추측

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여기 2보다 큰 아무 짝수 하나를 가져옵니다.

 

예를들어 8을 가져오면

8은 3+5이므로 두 소수의 합으로 나타낼 수 있습니다.

20을 가져오면

20은 3+17 또는 7+13 처럼 두 소수의 합으로 나타낼 수 있습니다.

11580같이 큰 짝수도 6569+5011과 같이 두 소수의 합으로 나타낼 수 있습니다.

 

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골드바흐의 추측(Goldbach's conjecture)은 오래전부터 알려진 수론의 미해결 문제로,

1742년 수학자 골드바흐는 2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 소수(Prime number)의 합으로 표시할 수 있다는 것을발견했다. 이때 하나의 소수를 두 번 사용하는 것은 허용한다.

 

또 어렵게 말해 미안하다.

쉽게 생각을 해보자.

예를 들어 짝수인 수 38이 있다고 하자.

38은 두 소수의 합으로 표현할 수 있을까?

38=7+31 또는 19+19로 나타낼 수 있다.

38만 될 수도 있으니까 다른 수를 보자.

5062이란 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있을까?

두 소수를 1301과 3761로 두면 1301+3761로 나타낼 수 있다.

혹시 내가 사기치고 있는게 아닌가 생각되면

소수가 맞는지 확인해보길 바란다.

이처럼 많은 수학자들은 자신이 본 모든 짝수들을 두 소수의 합으로 나타냈고,

IBM에서 컴퓨터를 활용해 4부터 400경까지 해보았을 때도 모두 성립했기때문에

앞으로 볼 모든 짝수들도 이렇게 두 소수의 합으로 표현 가능하다는 것이 

골드바흐의 추측이다.

 

이 골드바흐의 추측은 페르마의 밀실의 주요 소재로 씌였는데

스포아닌 스포를 하자면 영화에선 골드바흐의 정리가 증명되었다.

[발표되지 못했다는게 함정.]

 

골드바흐 정리에 대한 최근 성과를 보자면

1930년 러시아 수학자 레프 겐리호비치 시니렐만/Lev Schnirelmann은

4보다 큰 모든 짝수는 20개 이하의 소수의 합으로 표현가능함을 증명했으며

수학자들은 최소 소수의 개수를 계속 줄여나가며

1995년 프랑스 수학자 올리버 라마레/Olivier Ramaré는 6까지 줄이는 것을 성공했다.
 

그리고 골드바흐의 정리가 맞다면

[5보다 큰 홀수는 2보다 큰 짝수와 3의 합이기 때문에]

자명하게 증명되는 골드바흐의 약한 추측이 있는데

이는 컴퓨터를 이용하여 증명되었다.

 

1975년 미국 수학자 휴 몽고메리 (Hugh Montgomery)와

영국 수학자 로버트 찰스 본(Robert Charles Vaughan)은

두 소수의 합으로 표현가능한 짝수와 그렇지 않은 짝수의 비율을 계산하면

극한값이 0으로 수렴함을 밝혔냄으로써

"대부분"의 짝수는 두 소수의 합으로 표현가능을 알아냈다.

 

2014년에는 '폴리매스 프로젝트 8'을 통해

일반화된 앨리엇-핼버스탬 추측이 참이면

쌍둥이 소수 추측 혹은 오차가 포함된 골드바흐 추측 중

적어도 하나는 참이라는 것을 증명하였다.

여러분이 골드바흐 추측을 증명하는데 어렵다면

차라리 앨리엇-핼버스탬 추측을 증명하는 편도 괜찮긴 하다.

여기서 쌍둥이 소수 추측이 나오는데

쌍둥이 소수 추측은 소수와 그 수에 2를 더하면 소수가 되는

예를들면 3과 5, 11과 13과 같은 소수쌍들이

무한히 존재한다는 가설이다.

이도 아직 미해결 문제로 남아있는데

골드바흐의 추측과 구조적 유사성이 있기에

두 추측은 같이 다루어져 왔으며

지금까지 검증된 수치적 자료들도 이 두 추측의 유사성을 뒷받침한다.

 

 

지금까지 리만가설과 골드바흐의 추측에 대해 알아보았다.

소수는 가장 기본적인 숫자 단위임에도 불구하고

아직 많은 미해결 문제들이 남아있다.

내가 죽기 전에 이 문제들이 해결될지는 모르겠지만

많은 수학자들이 풀기위해 노력하고 있으므로

언젠간 증명이 나올 것이라 믿는다