이항정리자연수 $n$에 대하여 $(a+b)^n$의 전개식을 조합의 수를 이용하여 나타낸 식을 이항정리라고 합니다.$$(a+b)^n = {}_nC_0a^n + {}_nC_1a^{n-1}b^1 + \cdots + {}_nC_ra^{n-r}b^r + \cdots + {}_nC_nb^n$$$(a+b)^n$의 전개식에서 각 항의 계수 ${}_nC_0, {}_nC_1, \cdots, {}_nC_r, \cdots, {}_nC_n$을 이항계수라고 하며, 일반항은 다음과 같습니다.$${}_nC_r a^{n-r}b^r$$$a^0 = 1$, $b^0 = 1$로 정의합니다. ($a \neq 0$, $b \neq 0$)${}nC_r = {}_nC{n-r}$이므로, $(a+b)^n$의 전개식에서 $a^{n-r}b^r$의 계수와 ..

순열서로 다른 $n$개에서 $r$ ($0 순열이라고 하며, 이 순열의 수를 기호로 ${}_n P_r$와 같이 나타냅니다.${}_n P_n = n!$, ${}_n P_0 = 1$, $0! = 1$일반적으로 ${}_n P_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$ (단, $0 \leq r \leq n$)조합서로 다른 $n$개에서 순서를 생각하지 않고 $r$ ($0 조합이라고 합니다. 조합의 수는 기호로 ${}_n C_r$로 나타냅니다.${}_n C_n = 1, \quad {}_n C_0 = 1$${}_n C_r = \frac{{}_n P_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \quad (\text{단, } 0 \leq r \leq n)$${}n C_r = {}_n C{n-r} \quad (\t..

직관적이고 심지어 당연해 보였다. 그러나 틀렸다. 수학의 많은 부분은 직관에 의해 움직입니다. 어떤 것이 사실일 것이라는 깊은 믿음에서 시작되죠. 하지만 때로는 이러한 본능이 수학자를 잘못된 길로 이끌기도 합니다. 초기 증거가 전체 그림을 대변하지 않을 수도 있고, 겉보기에 분명해 보이는 명제가 숨겨진 복잡성에 의해 반박될 수도 있습니다.최근, 세 명의 수학자가 확률론의 잘 알려진 가설 중 하나인 ’2층 침대 추측(bunkbed conjecture)’이 이러한 범주에 속한다는 것을 밝혀냈습니다. 이 추측은 2층 침대처럼 쌓아 올린 그래프라는 수학적 미로를 탐색하는 방법에 대한 것입니다. 이 추측은 자연스럽고, 심지어 자명하게 보였습니다. 프린스턴 대학교의 그래프 이론 학자 마리아 추드노브스키(Maria..

On Non-Computable Functions 이 논문에서 제시하는 계산 불가능한 함수의 구성은 유한하고 비어 있지 않은 음이 아닌 정수 집합에는 가장 큰 원소가 존재한다는 원칙에 기초하고 있다. 또한 이 원칙은 현재 기준으로 매우 명확하게 정의된 집합에 대해서만 사용된다. 계산 가능한 함수의 나열을 사용하지 않으므로, 이 구성에서 대각선화 방법(diagonal process)을 사용하지 않는다. 따라서 모든 수학 분야에서 자명하게 여겨지는 원칙이 비구성적 존재를 도출해낸다는 사실이 흥미롭다. I. 서론이 논문의 목적은 몇 가지 매우 간단한 계산 불가능한 함수의 예를 제시하는 것이다. 이러한 예들은 단순함을 넘어서 중요한 점을 조명해준다. 함수 $f(x)$가 계산 불가능한 함수의 예로 사용되기 위해서..

How the Slowest Computer Programs Illuminate Math’s Fundamental Limits | Quanta Magazine How the Slowest Computer Programs Illuminate Math’s Fundamental LimitsThe goal of the “busy beaver” game is to find the longest-running computer program. Its pursuit has surprising connections to some of the most profound questions and concepts in mathematics.www.quantamagazine.org "바쁜 비버" 게임의 목표는 가장 오래 실행되는..