임의의 두 자연수가 서로소일 확률
2021. 5. 31. 11:08ㆍRay 수학
임의의 고른 두 자연수가 서로소일 확률을 구할 수 있을까요?
두 자연수가 서로소일 확률을 p라 하겠습니다.
두 자연수 a,b의 최대공약수를 d라 하면
a/d와 b/d는 자연수이며 서로소입니다.
이때 a, b가 최대공약수를 가질 확률을 p(d)라 두면
어떤 자연수가 d의 배수일 확률은 1/d이므로,
P(d)=1/d * 1/d * P = P/d^2 라 할 수 있습니다.
두 자연수는 항상 최대공약수를 가지므로
확률p(d)의 총합은 1이며 따라서 p는 1/d^2의 합의 역수가 됩니다.
sum1/d^2 = pi^2/6이므로
임의의 두 자연수가 서로소일 확률은 6/pi^2 입니다.
참 쉽죠?
같은 방법으로 세 자연수 또는 그 이상의 자연수들이 서로소일 확률도 구할 수 있습니다.
a, b가 d를 최대공약수로 가질 확률 = 두 수(a/d, b/d)가 서로소일 확률 * a가 d의 배수일 확률 * b가 d의 배수일 확률 시간이 부족하여 설명이 짧았던 것 같습니다. 더 잘 설명할 수 있도록 노력하겠습니다. 사실 이거 보여주고 싶어서 저번주 리만제타함수 영상 만들었습니다. ㅎㅎ 임의의 세 자연수가 서로소일 확률은 아페리 상수의 역수입니다.
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