해외에서 논란 중인 문제

https://youtu.be/uSdBJON0RwE

 

지금부터 i와 1이 같다는 것을 보이겠습니다.

 

I는 i의 1제곱이라 적을 수 있습니다.

1은 4/4이므로 i=i의 4/4제곱과 같습니다.

지수법칙을 이용해 다음과 같이 식을 풀면

i^4=1이므로 1^(1/4)이 됩니다.

그런데 네제곱근 1은 1이므로

i=1입니다.

 

참 쉽죠?

 

 

우선 중등교육과정에서(고등학교까지) 지수가 유리수일 때 지수 법칙이 성립하려면 밑이 0보다 큰 실수여야 하는데 i는 복소수이며 대소 비교도 되지 않아 지수 법칙이 성립하지 않습니다. 하지만 복소해석학에서는 실제로 밑을 복소수로 확장해도 지수 법칙을 사용할 수 있습니다. 그래도 이 식이 틀린 이유는 1^(1/4)는 네제곱근 1이 아닌 1의 네제곱근이라 해석해야 함에 있습니다. 즉, x^4-1의 근을 의미합니다. x^4-1의 근은 복소수체 안에서 총 4개의 근 1, -1, i, -i을 갖습니다. 이는 (x-1)(x-2)=0이 두 근 1과 2를 갖는다고 해서 두 근이 같다고 할 수 없듯이 함수가 여러 근을 갖는다고 근이 같다고 할 수는 없습니다. 조금만 수학적으로 이야기해보면 y=z^(1/4) 함수는 복소수 상에서 정의역 z에 두 개 이상의 값을 대응시키는 다가 함수로 여러개의 대응하는 값이 생깁니다. 보통은 범위를 제한해 한개의 값만 선택하나 범위를 확장시키면 여러개의 근이 생기면서 이러한 모순적인 상황이 유도되는 것 처럼 보입니다. 가끔 댓글에 수학과나 물리학과 출신 분들이 말씀하시는 branch cut이 범위를 제한하여 주요한 값 1개만 선택하는 방법의 이름이라 생각하시면 됩니다. 동기 4명이 모여서 생각한 답안인데 추가적인 설명과 틀린 부분이 있다면 댓글 부탁드립니다. 꾸벅 ( _ _ )