기하를 배워도 못 그리는 그래프

https://youtu.be/hVVVh7jgcjs

여기 이차식이 있습니다.

X^2-xy+y^2=1

X^2의 계수와 y^2의 계수가 같으므로 원이라고 생각했는데

계산기에 쳐보니 타원이 나옵니다.

왜 그런지 보니

이식은 행렬로 나타내면 다음과 같고

이 행렬의 고윳값을 계산하면 람다는 1/2과 3/2가 나오므로

타원을 회전시켜서 얻은 그래프가 나옵니다.

1/2 x^2 + 3/2 y^2 = 1

내친김에 얼마나 회전했는지 알아보면

회전각을 세타라 할 때 Cot2세타=(a-c)/B=0이므로

pi/4만큼 회전했다는 것도 알아낼 수 있습니다.

 

참 쉽죠?

 

선생님들은 대학가서 이런거 배웠습니다.

 

더 알아보면

X^2-xy+y^2=1은 타원

X^2-2xy+y^2=1은 평행선

X^2-3xy+y^2=1 쌍곡선

 

conic section · 圓錐曲線 원뿔곡선(이차곡선)은 위 아래로 연장된 직원뿔을 평면으로 잘랐을 때 나오는 곡선을 의미하며 종류로는 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 있습니다. 그리스 수학자 아폴로니우스(Apollonius of Perga)에 의해 연구되었으며 해석 기하학의 발전으로 이 곡선들이 정확히 x와 y에 대한 일반적인 이차곡선, 즉, Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 꼴로 표현됨이 증명되었고, 원뿔곡선과 이차곡선이 구분없이 쓰이게 되었습니다.