답은 다 알지만 어떻게 푸는지 모르는 문제

 

혹시 루트2를 소수로 표현해보신 적 있으신가요?

루트2는 제곱하면 2가 되는 수인 것은 알지만 한번도 계산해보신 적은 없으실 것입니다. 물론 계산기에 쳐보면 우리가 이미 알고있는 1.414가 바로 나오긴 하지만

연필과 종이만 있을 때 루트2를 찾으려면 어떻게 해야할까요?

가장 먼저 떠오르는 방법은 1.4^2=1.96이고 1.5^2=2.25이므로

1.45^2=2.1025을 계산하면서 2에 근접하는 숫자를 계속 찾는 것입니다.

그런데 이는 추측하고 계산하고 확인하는 작업을 계속 반복해야해서 복잡합니다.

그렇다면 어떻게 해야 빠르게 근삿값을 찾을 수 있을까요?

 

뜬금 없긴 하지만 다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열을 하나 가져오겠습니다.

A_(n+1)=(1/2)(a_n+s/a_n), a=1

이 수열은 수렴할까요?

이 수열은 a_n에 대해 정리하여 판별식을 사용하면 항상 루트s보다보다 큽니다.

그리고 이웃하는 두 항 중 이전항의 크기가 항상 더 크므로 감소합니다.

그러므로 하한이 있는데 계속 감소하므로 수렴한다고 볼 수 있습니다.

이제 수렴값을 알파라 두면 양변에 극한을 취해

수열이 루트s에 수렴하는 것을 알 수 있습니다.

 

따라서 루트2를 구하려면 s에 2를 넣고 초항인 1을 대입하고 계산하면 수열이 루트2에 수렴하면서 루트2의 근삿값을 찾을 수 있게됩니다.

그리고 이 과정을 단 4번만 진행해도 루트2와 소숫점 아래 11자리 까지 같은 것을 알 수 있습니다. (초항에 1대신 루트a에 더 가까운 수를 대입할 수록 더 빠르게 근사합니다.)

이 방법은 바빌로니아(메소포타미아 남부) 법(The Babylonian Method)이라 불리며

기원전 1500년경 에서 사용했습니다.

이 수열을 이용하면 원하는 수준의 정확도로 루트 2를 계산할 수 있으며

비슷한 방법으로 수열을 만들면 세제곱근이나 네제곱근도 계산할 수 있습니다.

 

이외에도 연분수를 이용하여 제곱근을 근사하거나

함수를 이용하여 근을 찾는 뉴턴 메소드도 있는데

이는 다음에 자세히 다뤄보도록 하겠습니다.