피보나치 수열(Fibonacci sequence) 완전정복!

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ..

이런 수의 나열은 어떠한 규칙을 갖고 있을까요?

 

이 수의 나열은 앞의 두 수를 더하면 다음 수가 나온다는 규칙을 갖고 있습니다. 우리는 이를 피보나치 수열이라고 부릅니다. 피보나치 수열은 피보나치에 의해 1202년 씌여진 <산반서>라는 책에서 언급되어서 우리는 피보나치 수열이라고 부릅니다. 그런데 구독자분들이라면 이미 예전영상에서 기원전 450년 인도의 수학자 핑갈라가 쓴 책에서최초로 이 패턴이 언급되었다는 것을 알 것입니다. 도대체 이 수의 나열은 어떤 의미가 있기에 저오래전부터 알려져 있었을까요?

 

레오나르도 피보나치는 토끼수의 증가에 대해 이야기하면서 이 수에 대해 언급했습니다. 토끼 한 쌍이 있을 때 두 달 이상이 된 토끼는 번식 가능하다고 합시다. 번식 가능한 토끼 한 쌍은 매달 새끼 한 쌍을 낳는다할때, 토끼가 죽지않는다면 매달 토끼의 수는 어떻게 변할까요? 첫 달에는 새끼를 낳을 수 없으므로 그대로 한쌍, 두번째 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍을포함해서 총 두쌍, 세번째 달에는 부모 토끼는 계속 새끼를 낳지만 자식은 그럴 수 없으니 총 세쌍, 네 번째 달부터는 자식 토끼 한 쌍이 새끼를 낳게 되어 총 5쌍이 됩니다. 이처럼 번식과 같은 자연환경에서는 앞에 있던 두 수의 합이 다음 수가 되는 경우가 생깁니다. 예를들면 나뭇가지의 수, 꽃잎의 수, 솔방을의 비늘 조각등에서 이러한 패턴이 있습니다. 그 이유에 대해 잠시만 과학쌤으로 빙의해서 설명해보면 두 개로 분열될 때 영양분이 균등하게 분배하는 것보다 한쪽에 더몰아주는게 생존에 유리하므로 한 부분이 다른 부분보다 더 많이 성장하게 됩니다. 이러한 패턴이 반복되면 다음과 같이 분열하게 되는데 이 결과를 세보면 피보나치 수열이 만들어 집니다. 빛을 잘 받기 위해 교차되기 위해서도 피보나치 수열이 최적이라는 연구결과도 있는데 제가 생물전공이 아니므로 넘어가도록하겠습니다.

 

다시 수학으로 돌아와서 그렇다면 이 수열이 갖는 수학적의미는 무엇일까요? 가장 유명한것은 아무래도 황금비일 것입니다. 피보나치 수열에서 이 웃한 두수의 비율에 극한을 보내면 2분의 1+sqrt5에 수렴합니다. 이는 황금비라고 불리는 값인데 기원전 300년경 수학자 유클리가 원론에 선분을 나눌 때 길이의 비율이 항상 일정하게 나오도록 나누는 방법에 대해비례식을 세우다 찾은 비율이 황금비의 시작입니다. 인간이 보았을 때 가장 안정적이고 이상적이라고 하는데 여러분들은 어떻게 생각하시나요? 저는 잘 모르겠습니다.

 

 

중요한 것은 피보나치 수열이 이 황금비와 굉장히 관련이 깊다는 것입니다. 고등학생 때 피보나치 수열을 본다면 보통 수열의 귀납적 정의 (a.k.a 점화식)로 피보나치 수열의 정의하게 되는데 앞의 두 수의 합이 다음 수이므로 F_n+2 = F_n + F_n+1 로 나타냅니다. 수열의 귀납적 정의로는 피보나치 수열을 쉽게 나타낼 수 있지만 고등학교 교육과정에서는 일반항을 구할 수는 없습니다. 하지만 이산수학에서 특성방정식을 배운다면 다음과 같이 피보나치 수열의 일반항을 찾을 수 있습니다. 이 식을 자세히 관찰해보면 황금비를 찾을 수 있습니다. 심지어 이 수의 역수를 유리화하면 (1-sqrt5)/2가 나오는데 그 수마저 여기 딱 있습니다. 그렇기에 이제 피보나치 수열이 황금비랑 연관이 있어서 가장 중요한 수열인것 처럼 생각하지면 안됩니다. 황금비를 만드는 수는 특성방정식을 풀 때 나오는 식의 해이므로 이 방정식과 관련있는 것들에서는 반드시 나오는 수입니다. 예를들면 정오각형의 한변의 길이와 대각선의 길이의 비율도 황금비입니다. 그렇다고 정오각형이 엄청 중요하게 다루어지지는 않습니다.

 

주제랑 잠깐 떨어져서 한가지만 첨언하자면 수열의 귀납적 정의로 나타내어진 식을 굳이일반항을 찾으려고할 필요는 없습니다. 귀납적 정의와 일반항 모두 수열을 표현하는 방법입니다. 고등학교 과정에서 배우는 등차수열과 등비수열은 일반항을 이용하면 원하는 항의 값을 바로 찾을 수 있어 효과적이라 생각할 수도 있지만 피보나치 수열은 일반항이 극도로 복잡하기 때문에 원하는 항의 값을 찾기 힘듭니다. 따라서 수열을 보실 때 일반항을 찾아서 문제를 해결해야 한다는 생각보다는 수열이 어떤 성질이 있는지 관찰하는 것에 더 초점을 맞추시길 바랍니다.

 

여기까지는 피보나치 수열에 대한 일반적은 내용이었다면 조금 현실적으로 보도록 하겠습니다. 피보나치 수열은 수능 시험에 나왔을까요? 언뜻보면 경우의 수 문제로 보이겠지만사실 이 문제는 피보나치 수열 문제입니다. 어떻게 이 문제를 보고 피보나치 수열 문제인지판단했는지 알려드리겠습니다. 이 문제를 경우의 수로 문제로 접근하면 4분음표의 개수를기준으로 5가지 케이스를 분류해서 문제를 풀 수 있습니다. 하지만 수능 경우의 수 문제에일반적인 케이스가 4개 이하로 분류된다는 것을 생각하면 더 빠른 풀이가 있지 않을까 고민하게 됩니다.

 

마디에 구애받지 않고 n/8박자를 채우는 경우의 수를 a_n이라 두겠습니다. 이때 (n+2)/8박자를 채우는 경우의 수는 a_n+2라고 할 수 있습니다. (n+2)/8박자를 채우는 방법은 처음에8분음표를 하나 넣는 경우와 4분음표를 하나 넣는 경우로 나눌 수 있는데, 8분음표를 넣으면 남은 박자를 채우는 경우의 수는 a_(n+1)이고, 4분음표를 넣으면 남은 박자를채우는 경우의수는 a_n이므로 a_(n+2)=a_(n+1)+a_n이란 식이 성립합니다. 따라서 경우의 수 a_n은피보나치 수열을 만족하므로 4/4박자는 a_8 즉 34개인 것 을 알 수 있습니다.

 

피보나치 수열은 처음에도 말했지만 분열과 관련이 있습니다. 4분음표가 8분음표 2개로 분열할 수 있다는 것에  초점을 맞추면 처음부터 수열의 귀납적 정의로 문제를 접근할 수 있죠. 저 문제와 비슷한 계단문제 같은 것도 수열의 귀납적 정의를 이용하는게 정석입니다. 

 

피보나치 수열 중에서 또 수능에 나올만 한 것들을 한 번 정리해 보았습니다. 증명하지 않고 결과값만 보기 바랍니다.

 

피보나치 수열의 합은 말항 다다음항에서 1을 뺀 값과 같습니다.

피보나치 수열의 홀수항의 합은 그 다음 짝수항의 수와 같으며

같은 방법으로 짝수항의 합은 그 다음 홀수항에서 1을 뺀 값과 같습니다.

피보나치 수열의 각 수를 제곱해 더하면 맨마지막수와 그다음수를 곱한 값과 같다.

피보나치 수열에서 양 두값의 곱과 가운데 수의 제곱의 차는 반드시 1또는 -1이다.

피보나치 수열의 연속된  세 수는 다음과 같이 부분분수로 나타낼 수 있다.

 

심심할 때 한번씩 보고 있다가 나중에 수능이나 시험에 나오면 써먹고 속으로 소리한번 지르다음 꼭 정답을 맞추시길 바라며

오늘 수업은 여기까지

 

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html