1=2 | 리만 재배열 정리

저번에 1-1/2+1/3-1/4+1/5-…=ln2라는 급수에 대해 엄밀하게 증명했습니다. 사실 재미없는내용인데 꾹 참고 설명한 이유가 있습니다. 왜냐하면 저는 이 급수를 가지고

말도 안되는 2가지 일들을 보여드릴 것입니다.

 

먼저 급수의 일반항들을 3개의 파트로 나누어 써보겠습니다.

그 다음에 수들을 아래 파트 사이사이에 써 보겠습니다.

그렇다면 저는 순서만 바꾸었을 뿐 모든 숫자를 하나도 빠짐 없이 써서 같은 식을 만들었습니다.

이제 사이사이에 썼던 숫자들을 관찰하면 1/2, 1/6, 1/10이 됩니다.

따라서 식을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이 식은 처음에 식의 순서만 바꾸었을 뿐인데

처음의 썼던 식의 정확히 절반이 됩니다.

따라서 ln2=1/2ln2 이므로 1=2입니다.

 

아직 놀라시긴 이릅니다.

이 식을 이번엔 양수부분과 음수부분으로 나누어 보겠습니다.

(위 식과 아래식은 p-판정법과 비교판정법을 이용하면 모두 발산하는데 자세한 내용은 여기를 봐주세요.)

먼저 위 식에서 76개의 항을 더하면 3.147125...입니다.

여기서 아래식에 있는 1/2을 빼주면 2.647125 … 입니다.

다시 위 식에서 77번째부터 205번째항까지 더하면 3.143260...입니다.

다시 아래식에서 1/4을 빼주면 2.393260 입니다.

그리고 위 식에서 206번째부터 337번째항까지 더하면 3.141796...이 됩니다.

이를 반복하면 모든 항을 다 사용할 수 있으며

눈치채셨겠지만 급수는 π에 수렴하게 됩니다.

 

이제 뭔가 이상함을 느끼셨나요?

원래 있던 급수의 순서를 바꿔서 더하는 것을 재배열급수라고 합니다.

그리고 방금 보여드렸다시피 수렴하는 수열의 재배열급수는 원래 급수의 합과 같다고 할수 없습니다. 즉 순서를 바꾸면 수렴값이 달라집니다. 따라서 등호를 쓰면 안되는 거죠. 

 

심지어 재배열급수는 누군가 어떤 숫자를 원한다면 그 숫자로 정확하게 수렴시킬 수 있다는 것이 증명까지 되어있습니다.

따라서 급수를 다루실 때 함부로 결합법칙과 교환법칙을 사용하시면 안됩니다.

하지만 신기하게 아무리 재배열해도 수렴 값이 항상 같은 급수도 있습니다.

만약 모든 일반항에 절댓값을 취한 급수가 수렴하면(sum an인 급수에 있어서 sum |an|이 수렴하면 )절대수렴한다고 하는데 이렇게 절대수렴하는 급수는 재배열을 해도 수렴값이 변하지 않습니다.(이 급수는 교대급수라서 재배열하면 수렴값이 변함)

 

급수에 관련된 정의, 정리를 다 보여드리고 싶지만 수학과 학생들은 이미 아는 사실들이라여기서 마무리하도록 하겠습니다. 혹시나 궁금하시다면 수학과 진학에 대해 진지하게 고민해보시기 바라며 오늘 수업은 여기까지