적분은 외워서 푸세요... 제발

sin 함수의 넓이.pdf

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시험을 볼 때 삼각함수 적분은 복잡하다보니 계산하다가 틀리는 경우가 많이 있습니다. 그런데 sin 함수에 성질을 조금만 안다면 절반 가량의 문제는 암산으로 풀 수 있다는 걸 아시나요? 오늘은 sin 함수의 대칭성을 이용해 적분을 빠르게 하는 방법을 알아보도록 하겠습니다.

 

과학시간에 파동을 배우면 이러한 모양의 sin파는 (하나, 둘, 셋, 넷) 4개로 구분된다는 것을아실 것입니다. 여러분이 보시기에 이 네 부분은 모양이 서로 달라보이시나요? 이 네부분은 대칭이동과 평형이동을 하면 같은 모양을 가진다는 것을 직관적으로 알 수 있습니다. 그렇다면 x축과의 사이에서 생기는 넓이는 어떻게 될까요? 자명하게 같게 됩니다. 따라서우리는 이 한 부분의 넓이를 알고 있으면 굳이 적분 하지 않고도 sin함수의 넓이를 빠르게구할 수 있습니다. 정적분을 이용하면 이 부분의 넓이가 1인 것은 너무나 쉽게 구하실 수있습니다. 그렇기에 이 넓이를 이용하면 다양한 문제들을 암산으로 풀어낼 수 있습니다. 그런데 이는 너무 간단해서 조금 응용해 보도록 하겠습니다.

 

Y=2sinx를 0부터 π/2까지 적분 하면 어떻게 될까요?

그래프를 관찰해보면 원래 sin그래프를 y축 방향으로 2배 확대했기 때문에 넓이도 2배가됩니다. 따라서 답은 2입니다.

같은 방법으로 y=sin2x 그래프를 0부터 π/4까지 적분하면 어떻게 될까요?

그래프를 관찰해보면 원래 sin그래프를 x축 방향으로 2배 축소했기 때문에 넓이는 절반이됩니다. 따라서 답은 1/2 입니다.

 

이렇게 그래프의 확대, 축소를 통해 직관적으로 넓이를 관찰하면 빠르고 정확하게 넓이를구할 수 있습니다. 나아가 cos함수는 sin함수를 평행 이동한 함수이므로 같은 방법으로 넓이를 구할 수 있습니다. 하지만 시험에서는 간단한 sin함수만 나오지 않습니다. 조금 복잡하게 제곱이나 세제곱이 되어있으면 어떻게 될까요? 우선 그래프를 관찰하면 제곱이나 세제곱을 해도 각 부분의 넓이는 직관적으로 같다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 앞에서 했던 방법처럼 한 부분의 넓이만 알면 빠르게 넓이를 구할 수 있습니다.

 

그런데 애초에 이렇게 구할 거였으면 시작도 안했습니다. 여러분은 이 넓이 값을 실전에서사용해야하기 때문에 계산이 아니라 외우고 계셔야 합니다. 그래서 잠깐 제가 트릭을 사용해보겠습니다. 다음과 같이 sin의 n제곱을 적분한 함수를 In이라 두겠습니다. 부분적분을사용하면 In은 다음과 같이 적분이 됩니다. 이때 sin의 n-2제곱은 I_n-2라 할 수 있으므로 수열의 귀납적 정의와 비슷한 꼴의 식이 생깁니다. 이를 응용하면 우린 다음과 같이 더 고차삼각함수의 적분 값을 적분하지 않고도 구해낼 수 있습니다.

 

저는 학부때나 임용볼 때 5차까지는 외우고 시험장에 들어갔었는데, 수능을 대비하고 계시는 분들이라면 삼차까지는 외우고 계셔야합니다. 제곱 부분은 신기하게도 사분원의 넓이와 같고 1,2,3,4가 들어가 있구나라고 외우신다음 시험을 보시면 생각보다 문제를 빠르게 해결하실 수 있습니다.