e는 오일러 상수가 아니다! 당신이 잘못알고 있는 오일러 상수 | 오일러-마스케로니 상수 감마 γ, 감마함수 Γ(z)

 

이과생들이라면 너무나도 친숙한 상수 e, 오일러의 이름을 따서 오일러 상수라고 알고 있는 이 값은 사실 오일러가 발견한 수가 아닙니다.

 

흔히 우리가 쓰는 자연상수가 계산된 최초의 기록은 1618년 존 네이피어에 의해 발간된 로그표에 나와있습니다. 그러나 네이피어는 로그 계산의 과정에서 나온 결과 값만을 간단히 다루었을 뿐 e를 상수로 취급하지는 않았습니다. e가 특정한 상수임을 발견한 사람은 야코프 베르누이입니다. 그는 복리 이자의 계산이( lim(1+x)^(1/x) )다음과 같은 극한을 취할 수 있다는 것을 발견하였습니다. 베르누이는 또한 이 식이 수렴한다는 것과 그것이 특정한 값이 된다는 것을 발견하였습니다. 다들 아시다시피 그 값은 2.718… 입니다. 수렴한는 것은 예전에 증명해놓은 영상이 있으니 궁금하신분들은 한번 보시기 바랍니다. 

 

베르누이가 정리한 위의 급수를 처음으로 상수로서 표현한 사람은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠입니다. 라이프니츠는 1690년에서 1691년 사이에 크리스티안 하위헌스에게 쓴 편지에서 이 급수를 “b”로 표현하였습니다. 한편, 오일러는 1727년에서 1728년 사이에 이 상수를 e로 표현하여 사용하기 시작하였습니다. e 라는 표기가 정식 출판물에 처음 등장한 것은 1736년 출판된 오일러의 《메카니카》입니다. 그 이전에는 수학자 마다 여러 알파벳을 사용하여 이 상수를 표기하였으나 《메카니카》의 출판이후 e 로 표기하는 것이 관례가 되었습니다. 그래서 이 수는 보통 오일러 수라고 부릅니다. 오일러 상수가 아닙니다. Euler constant가 아니라 euler's number입니다. 솔직히 오일러 입장에서는 숟가락 제대로 얹은 듯한 느낌이 있습니다. 자기가처음 발견한 것도 아닌데 동시대에서 가장 유명한 수학자라서 상수에 자기 이름 붙여줬으니 말입니다.

 

그렇다면 오일러 상수는 있을까요? 수학에서 일반적으로 오일러 상수 즉 오일러 콘스탄트 라고 부르는 수는 다른 수입니다. 그 수는 오일러-마스케로니 상수라고 부르는 감마입니다. 조화급수를 자연 로그로 근사한 경우의 오차를 나타내는 수학 상수로 감마 함수 Γ와 깊은 관계를 가집니다. 그래서 소문자 감마를 사용합니다.근데 이 기호 또한 오일러나 마스케로니의 저서에는 등장하지 않습니다. 그렇다면 이 수는 도대체 뭐길래 오일러-마스케로니상수라고 부르는 것일까요?

 

이 값은 오일러가 1734년에 〈조화급수에 대한 고찰〉 이란 책에서 처음 정의 한 값입니다. 이 값을 정의하기위해서는 구분구적법에 대한 이해가 필요합니다. 먼저 f(x)=1/x일때 x값을 1씩 잘라서 사각형을 만들어 보겠습니다. 그렇다면 그 사각형의 넓이 S=1+1/2+1/3+1/4 입니다. 이 사각형의 넓이의 합은 얼마일까요? (고등학교때 공부를 열심히 했다면 질문 자체가 틀렸다는 것을 알 수 있습니다.) 이 급수를 처음보게 된다면 0으로 수렴하는 아주 작은 숫자를 계속 더해가므로 수렴한다고 생각하는 사람도 있을 것이고 아무리 작은 숫자라도 계속 더하니까 발산한다고 생각하는 사람도 있을 것입니다. 한번 빠르게 알아보겠습니다. 이 숫자의 합은 아래식보다 더 큽니다. 3분의 1은 4분의 1보다, 5분의 1, 6분의 1, 7분의 1은 각각 8분의 1보다 큰 수이기 때문이죠. 그런데 저 아래식은 4분의 1을 2개 더하면 2분의 1이고 8분의 1을 4개 더해도 2분의 1이므로 1에 계속 0.5씩 더해진다. 그렇다면 느리긴하지만 계속 0.5씩 더해지는 수이므로 수렴하지않고 발산하게됩니다. 그런데 우리가 구하고자하는 조화급수는 발산하는 식보다 더 크므로 발산한다는 것을 알 수 있습니다. 이 증명법은 14세기에 니콜 오렘에 의해처음 제시되었는데 300년간 잊혀져 있다가 17세기 피에트로 멩골리에 의해 다시 증명되었습니다. 최초 10^43개의 항을 더해도 100을 넘지 않아서 수렴할 것 같지만 수열의 각 항들이 0에 가까워지고 있음에도 불구하고 총합은 발산합니다.

 

ㄱ다음으로 f(x)를 적분해보겠습니다. 고3 미적분을 이용해 정적분을 하면 넓이가 나오는데 넓이를 구하면 인테그랄 1/xdx즉 lnx입니다. 1부터 무한대까지 넓이를 구하면 이 또한 무한대로 발산한다.  이 두값은 모두 무한대로발산하는데 이 차이는 어떻게 될까요? 무한대-무한대인 부정형꼴이라 고등학교 수준에서는 계산할 수 없지만수학자와 공돌이가열심히 계산해보았더니 0.57721 56649 01532 86060.. 이렇게 나가는 수임을 발견했습니다. 그런데 문제는 이 수가 아직 유리수인지 무리수인지 알아내지 못했습니다. 그래서 당연하게 아직 초월수인지도 모릅니다. 바로 이 수가 오일러-마스케로니 상수입니다. 오일러는 최초로 이 상수의 값을 소수점 여섯자리까지 계산하였고(1781년에 16자리까지 찾아냄) 로렌초 마스케로니는 소수점 아래 32자리까지 계산했습니다. (소수점 아래 20-22와 31-32자릿수 계산을 틀렸다는게 함정) 연분수 분석에 의해 만약 오일러-마스케로니 상수가 유리수라면 그 분모의 값은 적어도 10242080 이상이라는 것이 알려져 있습니다. 현재기준 최고기록은 김승민씨가 2019년 8월 19일 소수점 아래 600,000,000,100자리까지 계산해냈고 이안 커트리스가 2020년5월 26일에 검산해내면서 세계기록으로 되어있습니다.

 

아까도 말했지만 이 값은 감마함수와 연관을 가지므로 소문자 감마를 기호로 씁니다. 감마함수는 양의 정수 n에 대하며 감마(n)=(n-1)!입니다. 원순열식으로 보이면 공부를 열심히 하신겁니다. 감마함수는 사실 오일러가 n!과 같은 계승 즉 factorial은 왜 정수에서만 정의될까란 의문을 가지고 자연수를 실수로 확장하는 고민을하다가 나온 함수입니다. n대신 x를 넣으면 되는거 아닐까 생각할 수도 있지만 수학자들은 그정도가 아닌 미분이 가능할 정도로 매끄럽게 함수를 만들기 시작합니다. 그렇게 오일러, 가우스, 바이어스트라스는 다음과 같이 감마함수를 정의했습니다.

 

 

감마함수를 단순히 자연수에서 (n-1)!을 만족하는 함수로 정의하면 보어-몰러업 정리에 따라 문제가 생기게 되는데 이는 너무 어렵기에  조금 미뤄두도록하겠습니다. 왜 이 상수에 감마값을 쓰는지 잠깐만 이야기 해보면 감마함수의 미분은 폴리감마함수로 주어지는데 -감마프라임(1)이 정확하게 오일러 마스케로니 상수와 일치합니다.

 

마지막으료 요약하면

1. 우리가 알고있는 오일러 상수 e 는 보통 자연상수 또는 오일러 수라 불린다.
2. 오일러 상수라고 쓰면 오일러-마스케로니상수 감마를 생각한다.
3. 오일러-마스케로니 상수 감마는 감마함수와 연관이 깊다.

 

오늘 수업은 여기까지