한 번도 생각해보지 못한 짝함수와 홀함수의 모든 개념 | 우함수와 기함수

짝함수와 홀함수.pdf

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자연수에 짝수와 홀수가 있듯이 함수에는 짝함수와 홀함수가 있습니다. 오늘은 짝함수와홀함수에 대해 정리 해보록 하겠습니다. 상수함수부터 기본적인 다항 함수 모양을 그려보면 다음과 같이 그려집니다. 눈썰미가 좋으신 분들은 무언가 공통점이 있다는 사실을 알수 있습니다. 상수함수, 이차함수, 사차함수는 데칼코마니처럼 선대칭이며 일차함수, 삼차함수, 오차함수는 가운데 점을 기준으로 점대칭입니다. 모두 대칭성을 갖고 있는거죠. 좌표에 올려놓고 보면 상수함수, 이차함수, 사차함수처럼 차수가 짝수인 함수들은 y축에 대해 대칭이며 일차함수, 삼차함수, 오차함수처럼 차수가 홀수인 함수들은 원점에 대해 대칭입니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있으며 특별한 성질이 있으므로각각 짝함수, 홀함수로 부릅니다. 저와 같은 틀딱들은 학교에서 한자로 짝 우, 홑 기를 써서우함수, 기함수라 배웠습니다. 영어로는 even function, odd function이라 하죠.

 

잠깐 영어 선생님으로 빙의해서 설명을 드리면 옛날 사람들은 2개처럼 짝이 맞춰진 것이이상적이라 생각하여 짝수에 공평을 뜻하는 even을 붙였고, 혼자인 것은 이상하다 생각하여 홀수엔 odd를 붙였습니다. 그래서 짝홀을 나타낼때 보통 e와 o를 사용해서 표현합니다.

 

짝함수와 홀함수는 대칭에 의해 특별한 성질들을 갖는데 그 성질들을 모두 알아보도록 하겠습니다. 우선 이름과 같이 33처럼 짝수 차수로만 이루어져 있으면 짝함수이므로 그래프를 그리지 않아도 y축대칭인 것을 알 수 있으며, f(x)=x^5+2x^3+3x처럼 홀수 차수로만 이루어져 있으면 홀함수이므로 그래프를 그리지 않아도 원점 대칭인 것을 알 수 있습니다.

 

그런데 보통 배우시고 잘 외우질 못하시는데 이를 잘 외울 수 있는 방법이 있습니다. 여러분들은 와우! 원기옥이다!만 기억하시면 됩니다. 잘 암기할 수 있도록 꼭 제스쳐를 하면서지구인들아 나에게 힘을줘~ 와우! 원기옥이다!! y축 대칭 우함수, 원점대칭 기함수 이렇게기억하시면 쪽팔려서 절대 안까먹습니다.그리고 이 식은 우함수는 와우하면서 -를 먹어버리고 기함수는 -가 기어나온다.라고 외우시면 됩니다. 

 

짝함수와 우함수는 대칭성이 있기에 적분과 연계되어 많이 출제됩니다. 짝함수는 y축 대칭이므로 y축을 기준으로 좌우의 넓이가 같으며, 홀함수는 원점대칭이므로 원점을 기준으로 좌우의 넓이는 같지만 부호차이가 생겨 더하면 0이된다는 의미입니다. 관련한 문제가많이나오므로 성질을 정확하게 아는 것도 중요하지만 문제풀이를 통해 어떻게 사용되는지 터득하는게 더 중요합니다.

 

 

질문 한가지를 해보도록 하겠습니다. 임의의 함수 f(x)를 짝함수와 홀함수의 합으로 표현할 수 있을까요? 예를들면 루트 x와 같은 함수를 y축대칭인 함수와 원점대칭인 함수의 합으로 표현할 수 있을까요?

결과부터 말하자면 가능합니다. 모든 함수는 짝함수와 홀함수의 합으로 표현할 수 있습니다. 그것도 유일하게 표현할 수 있죠. 임의의함수 f(x)에 대하여 (f(x)+f(-x))/2라는 함수를 만들어 보겠습니다. 이 함수에 x대신에 -x를 대입하면 원래 함수와 같아지므로 정의에 의해짝함수가 됩니다. 같은 방법으로 (f(x)-f(-x))/2라는 함수를 만들어 x대신에 -x를 대입하면정의에 의해 홀함수라는 것을 알 수 있습니다. 이 때 이 두함수를 더하게 되면 f(x)가 됩니다. 이처럼 f(x)는 짝함수와 홀함수의 합으로 표현할 수 있습니다. 다른말로 바꾸어 말하면이 둘이 f(x)의 짝함수 부분과 홀함수 부분입니다. 여러분들이 문제를 풀 때 이러한 함수표현을 본다면 이는 짝함수와 홀함수의 성질을 갖고 있구나라고 생각하시고 문제를 풀어내시면 되겠습니다.

 

 

짝함수와 홀함수에 대한 몇가지 성질에 대해 참, 거짓 문제로 더 알아보도록 하겠습니다.

짝함수를 미분하면 홀함수가 되고 홀함수를 미분하면 짝함수가 될까요?

네 맞습니다. 합성함수의 미분이나 홀함수 짝함수의 정의를 이용하면 쉽게 증명할 수 있습니다.

 

 

그렇다면 반대로 짝함수를 적분하면 홀함수가 되고 홀함수를 적분하면 짝함수가 될까요?

언뜻보면 당연히 될 것 같지만 그렇지 않습니다. 홀함수를 적분하면 짝함수가 되지만 짝함수를 적분하면 적분상수가 생기면서 홀함수가 될 수 없습니다. 만약 적분상수가 0이면  홀함수가 되지만 일반적으로 성립하지는 않죠.

 

 

짝함수이며 동시에 홀함수인 함수는 존재할까요? 

네 존재합니다. 정의를 이용하면 영함수만이 짝함수이면서 동시에 홀함수임을 알 수 있습니다.

 

 

홀함수의 역함수는 홀함수일까요? 

모든 홀함수가 일대일 대응은 아니므로 역함수가 존재하지 않을 수 도 있지만 홀함수가 일대일 대응으로 역함수가 존재한다면 홀함수의 역함수도 홀함수가 됩니다.

 

 

임의의 함수에 짝함수를 합성하면 짝함수일까요?

짝함수의 정의에 의해 짝함수를 임의의 함수에 합성시키면 짝함수 임을 알 수 있습니다. 이 때 주의하셔야할 것이 있는데요. 임의의함수 합성 짝함수는 짝함수이나 짝함수 합성 임의의함수는 짝함수가 되지 않을 수 있다는 점을 기억해주시기 바랍니다.