아벨과 갈루아

 

인류 역사상 가장 오랫동안 풀리지 않은 난제는 무엇이었을까?

약 4000년간 풀리지 않은 가장 오래된 난제 중 하나는

1차부터 4차 방정식 처럼 5차 방정식에도 계수를 이용하여

근의 공식을 만들 수 있느냐였다.

이 문제는 두 천재 수학자 아벨과 갈루아가 해결한다.

오늘은 동시대를 살고 비슷하게 젊은 나이에 세상을 뜬 천재 수학자

아벨과 갈루아에 대해 알아보자.

 

 

 

닐스 헨리크 아벨 Niels Henrik Abel

1802년 8월 5일~1829년 4월 6일

 

노르웨이의 천재적인 수학자로 인정받지 못한 채 스물 여섯의 나이로 요절한 비극적인 인물이다. 아벨이 살던 1800년대 초반에 가장 오래된 난제 중 하나는 1차부터 4차 방정식 처럼 5차 방정식에도 계수를 이용해 근의 공식을 만들 수 있느냐였다.

대부분의 수학자들 처럼 아벨 역시 처음엔 대수적으로 공식이 있을 것이라 생각했지만계속 답이 나오지 않자 이후에 생각을 바꾸고 풀 수 없음을 증명하였다.

 

하지만 당시로선 너무 난해하고 추상적이던 아벨의 증명을 누구도 인정하지 않았다.

이 증명은 훗날 프랑스의 수학자 갈루아에게 영향을 미쳐

군을 이용한 고차 방정식의 비가해성으로 확장된다. (이는 갈루아 내용에서 이어설명)

아벨은 가우스와 코시에게 자신의 논문을 보냈지만

당시 저명한 수학자들은 아마추어 수학자들의 편지에 질려버린 탓에

읽히지 못했다고 전해진다.

 

19세에 아버지를 여의고 가난에 허덕이던 그를 그나마 인정하고 알리려던 사람이 독일 수학자 아우구스트 레오폴트 크렐레(August Leopold Crelle ,1780~1855)[4]였는데 그의 노력으로 아벨은 베를린 대학의 수학 교수직을 얻게 되었다.

하지만 아벨은 가난에 극심한 영양실조로 결핵을 앓고 있었고

베를린 대학 교수 임명장이 집에 도착하기 이틀 전에 요절했다.

 

어린 나이에 죽긴 했지만 아벨의 이름이 붙은 이론은 상당히 많다.

고등학교 교육과정에서는 아벨의 이름을 찾기 힘들지만

학부에 가면 군론에서 교환 법칙이 성립하는 군(group)을 아벨 군(abelian group)이라 부르며

실해석학에서 균등수렴에 관련한 아벨테스트

타원적분의 역함수의 연구 등 많은 업적을 남겼다.

야코비 행렬로도 잘 알려진 연구의 라이벌이었던 카를 구스타프 야코프 야코비는 아벨의 논문을 보고,

"나로선 비평도 할 수 없는 대논문"이라고 최대의 찬사를 보냈다.

 

노르웨이 총리의 주도 하에 2001년에 아벨상이 제정되어 2003년부터 수상자가 나왔다. 

노르웨이 왕실에서 주관하여, 매년 한 두명에게 시상한다.

필즈상과 달리 수상자의 나이 제한은 없으며,

수상 범위는 순수 수학뿐만 아니라 응용 수학 분야까지 인정된다.

이런 상의 가치를 상금으로 따질 순 없지만,

상금 액수는 필즈상 보다 높게 책정되어 있다. [6]

필즈상이 앞으로 수학 발전에 기여할 40세 미만의 수학자에게만 수여되는 것과는 달리,

아벨상은 평생 업적을 기반으로 하는 공로상의 의미가 있기에 수상자들이 나이가 대체로 높다.

필즈상은 주로 순수 수학 분야에서 그 권위를 인정받는 상인데

아벨상은 응용 수학에까지 시상 범위가 미친다는 점도 필즈상과는 다른 점이다.

 

 

 

에바리스트 갈루아(프랑스어: Évariste Galois 프랑스어 발음: [evaʁist ɡalwa], 1811년 10월 25일~1832년 5월 31일)는 프랑스의 사회운동가이자 수학자이다.

 

갈루아는 10대 시절에 수학의 오랜 난제였던

5차 이상의 고등 다항식을 거듭제곱근의 해로 나타낼 수 있는지 판별하기 위한 필요충분조건을 밝혀냈다.

이 과정을 통해서, 갈루아는 수열을 특정한 수학적 조건에 따라서 묶는 방법을 가리키는

군이란 용어를 최초로 사용하였다.

갈루아의 연구는 현대대수학의 주요 분야인 갈루아 이론과 군론의 기반이 되었으며,

하위 분야인 갈루아 접속에 대한 이론적 기반이 되기도 하였다.

 

갈루아는 모든 계산을 암산으로 할 수 있어

연필이나 메모지를 이용해서 계산을 하는 것은 느렸다고 전해진다.

그러나 교사들은 연필이나 메모지를 사용하지 않는 갈루아를

반항적인 아이라고 생각해 학교에서 수학 성적은 좋지 않았다고 한다.

진정한 수학 천재답게 갈루아가 스스로 말한 바에 따르면,

르장드르의 《기하학 기초》를 마치 소설처럼 읽었고

처음 읽자마자 내용을 숙지하였다고 한다.

참고로 저 기하학 기초는 수학자들을 대상으로 쓴 전문 서적이다.

1828년 갈루아는 자신이 수학 천재라는 사실을 이미 알고 있었고,

더 높은 수준의 수학 공부를 하기 위해서 시험 준비도 없이,

당시 프랑스의 최고의 수학과가 있었던 에콜 폴리테크니크 입학 시험에 응시하였다.

그러나 갈루아는 구두 시험에 대한 설명이 서툴러 면접 시험에서 떨어졌다.

알려진바에 의하면 갈루아는 면접에서 "그것은 자명하다"만 반복하며

더 이상 무슨 설명이 필요하냐는 표정만 지으면서 질문에 대한 모든 대답을 하지 않았다고 한다.

 

상급학교에 떨어진 갈루아는 프랑스 과학 아카데미의 교수로 재직하던

오귀스탱 코시에게 5차 방정식의 대수적 해법이 없음을 증명하는 논문을 보냈다.

코시는 이 논문을 심사하며 놀랐지만 불명확한 부분이 아직 남아있다는 이유로 출판은 거절하였다.

하지만 코시는 논문에 많은 문제가 있음에도 불구하고,

갈루아의 연구가 중요한 내용을 담고 있다는 것을 알게 되었고,

아카데미 수학상을 수여할 수 있도록 두 논문을 하나로 합쳐주라고 요청하였다.

그래도 결국 그 논문은 세상의 빛을 보지 못했다.

[갈루아는 논문을 다시 프랑스 과학 아카데미로 보내고 이 논문은 푸리에에게 들어가지만 이 논문을 받고 얼마 지나지 않아 푸리에가 열병으로 사망하며 갈루아의 논문은 또 세상의 빛을 보지 못하게 된다.]

 

이후 갈루아는 다시 한 번 더 에콜 폴리테크니크 입학시험에 응시하였다.

그러나 그 당시 갈루아는 공화주의자였던 아버지가

정치적 음모에 희생[4]당해 목을 매어 자살해 버린 후라 매우 심란해져 있었기 때문에

시험에 제정신으로 응시할 수 없었다.

면접 중 갈루아는 시험관이 자신의 말이 무슨 말인지 모르겠다는 말을 반복하자

화가 난 나머지 칠판 지우개를 집어던져버렸다.

갈루아를 평가한 면접관은 그의 논술이 비약이 심해서 논리적으로 취약하였다고 평가했지만

내 생각으로는

갈루아 이론을 이해하기에는 그 당시의 수준이 부족했을 것이라 생각한다. 

에콜 폴리테크니크는 재수까지만 허용하기에

갈루아는 에콜 노르말의 입학 시험을 치렀고

에콜 노르말에서는 갈루아의 논지는 간혹 불명확하지만,

그의 수학적 지성과 번뜩이는 예지는 특이할 만하다고 평가하며 합격시켰다.

 

격변하는 프랑스, 아버지의 억울한 죽음 이후 갈루아는 혁명에 대한 열정이 불타올랐다.

7월 혁명이 일어났을 때 에콜 노말 교장인 기뇨(Giniault)는 학생들에게 혁명 참여를 금지시켰고

이에 갈루아는 에콜 노말의 교장이 학생들을 혁명에 참여하지 못하게 한 역적이라고 공개적으로 비난했다.

교장은 갈루아의 놀라운 수학적 재능 때문에 그의 오만 불손한 태도를 참아왔으나

갈루아가 신문 사설에까지 기고하며 교장을 비난하자 더 이상 참지 않았고 갈루아를 퇴학시켜버린다

 

에콜 노말에서 퇴학당한 이후, 갈루아는 자금 마련을 위해 공개 강의를 열었다.

푸아송은 갈루아의 강의를 듣고 다시 한 번 아카데미 프랑세즈에 연구 결과를 제출해 달라고 요구했고,

갈루아는 방정식 이론에 대한 논문을 제출하지만

푸아송은 6달이 지난 후 갈루아의 방정식 이론은 충분히 엄밀하지도 않고

더 이상 엄밀하게 발전시킬 수도 없을 것이라 평가했다. 

 

급진적인 공화주의자였던 갈루아가 20세가 되던 해, 

명사수 데르벵빌은 스테파니와 갈루아가 사랑에 빠졌음을 눈치채고 갈루아에게 결투를 청했다.

갈루아는 친구에게 이루어지지 않은 사랑 때문에 결투를 하게 되었다고 편지를 보냈다.

하지만 사소한 사건으로 인한 결투라

실제로는 혁명가인 갈루아가 스스로를 혁명의 제물로 삼았다는 설도 있다.

결국 이 결투 끝에 복부에 총상을 입고 짧은 생을 마감하게 된다.

 

결투 전 날 자신의 정치적 동지들에게 썼던 편지에는 다음과 같은 말이 있다.

야코비나 가우스에게 평해 달라고 해 줘. 

이 정리들이 참인지가 아니라,

이 정리들이 얼마나 중요한지 말야.

훗날 (바라건대) 사람들은 이 엉망인 내용을 해석할 필요가 있을 테니까

 

두 천재 수학자는 이렇게 둘 다 요절했다.

만약 그들이 10년만 아니 3년만 더 살았더라도

미해결 난제들을 수도 없이 해결했을 수도 있다.

나도 이 둘에 대해 갖고 있는 개인적인 생각이 있지만

이는 댓글을 통해 남기도록 하겠다.

여러분들도 아벨과 갈루아에 대해 자신의 생각을 적어주길 바라며

오늘 수업은 여기까지.