리만 가설과 골드바흐 추측

 

 

지금부터 소수에 관련된

가장 유명한 난제 2가지

리만가설과 골드바흐 추측에 대해 자세히 알아보고자 한다.

소수에 대해 가물가물한 분들은

오른쪽 카드 영상을 먼저 보고오길 바란다.

 

 

리만가설

 

소수는 숫자를 만들 수 있는 최소단위이다.

과학자들이 원자의 성질을 연구하며 새로운 물질을 만들어 낼 때

수학자들은 소수의 성질을 연구하며 수체계를 발전시켰다.

많은 수학자들이 매달린 만큼

소수에 대한 많은 정리와 증명을 만들어냈지만

이러한 소수는  이상하리만큼 소수는 규칙성을 찾기 어렵다.

2 3 5 7 11 13 17 19.....13999 14009… 등

짝수와 홀수도 섞여있고 차이도 일정하지 않다.

이렇게 수학자들이 절망하고 있을때,

 

가우스는 소수정리를 발표한다.

(르장드르가 발표했는데 가우스가 자기는 이미 알고있었다고 드립을 시전함.)

소수 정리란

어떤 x보다 크지 않는 소수의 개수에 대해

대략적인 비율을 알려주는 정리이다.

소수의 분포가 어떻게 될지 정확히 예측할 수는 없지만

대략적으로 이렇게 될 것임은 알아낸 것이다.

그런데 가우스는 이를 추측만 했을 뿐 증명하진 못했다.

 

가우스의 제자 리만은

이 소수정리를 증명하기 위해

오일러의 함수를 변형하여 입체적인 그래프를 만드는데

놀랍게도 이 그래프 위에서 리만이 4개의 비자명 근이

복소평면 위에서 모두 일직선상에 있었다는 것을 발견한다.

맨날 모든 유튜브 채널에서 이렇게 말하고 뭔소린지도 모르겠는데

진짜 쉽게 말해보면 소수 개수 찾으려고 식을 만들었는데

그 식의 근을 몇 개 찾아보니까 소수들은 규칙성이 없는데

얘는 신기하게도 근의 실수부분이 정확하게 2분의 1만 나오는 것이다.

그래서 다른 애들도 다 2분의 1만 나올거다 생각한게 리만의 업적이다.

사실 정말 별거 아닌거 같은게 우리도 수능문제 풀때

수열문제가 나오면 일단 아무생각 없이 1부터 몇개 때려넣어서

규칙성 발견하고 그걸로 답을 찾는데 리만도 비슷한걸 한것이다.

물론 난이도 자체는 넘사벽이긴 하지만 쨌든

 

리만은 이를 정리하여 1859년 <주어진 크기보다 작은 소수들의 개수에 관하여,On the number of primes less than a given magnitude>라는 제목의 논문을 통하여 발표한다.

이 논문이 특별한 이유는 리만이 발표한 논문 중

유일하게 수론에 연구한 논문이다.

자신의 스승인 가우스를 기념하기 위해 쓰여졌다고 전해지는데

8쪽 분량의 짧은 논문 <주어진 크기보다 작은 소수들의 개수에 관하여>를 쓰고 나서

리만은 바이어슈트라스에게 편지를 보낸다.

 

리만 가설을 엄밀하게 증명할 필요가 있지만 나는 몇 번 대략적인 시도를 했지만 실패했고, 현재는 증명작업을 제쳐둔 상태이다. 왜냐하면 내 연구의 다음 목표를 위해서 그 증명이 필수적이어보이지는 않기 때문이다.

 

그도 그럴것이 사실 리만은 수론보다는

구면기하학의 창시자로 수학계에서는 더 유명하다.

그에게는 숫자놀음보다는 도형이 더 좋았으니 말이다.

리만 본인에게는 이 가설의 증명이 필수적이어보이지 않았는지 모르지만

다른 수학자들은 그렇게 생각하지 않았다.

1900년 제1회 수학자 대회에서 힐베르트는

20세기에 수학자들이 반드시 해결해야 할 23가지 미해결 문제 속에

'리만 가설'을 포함시키고

만약 내가 1000년 동안 잠들어 있다가 깨어난다면

아마 제일 먼저 리만 가설은 증명되었습니까? 라고 물을 것이다. 라고 말했다.

일단 100년 지났는데도 풀리지 않았고

힐베르트가 다시 깨어날 일도 없다.

만약 힐베르트가 깨어난다면 우리가 배워야할 수학분량이 늘어날 수 있으니

내가 가서 꼭 다시 재워버리겠다.

그리고 이 리만가설은 2000년 밀레니엄 문제에도 포함되었다.

 

그런데 왜 이렇게 리만가설에 매달리는 걸까?

소수정리를 증명하려고 만든 리만가설대신

1896년에 자크 아다마르와 샤를장 드 라 발레푸생이

각각 독립적으로 소수정리 증명하였고

 1949년에 아틀레 셀베르그와 에르되시 팔이

복소 해석학을 쓰지 않는 초등적 증명을 발표하였다.

그런데도 이렇게 매달리는 이유는 리만가설을 해결하면

소수정리보다 더 정확히 소수의 위치를 추측할 수 있기 때문이다.

소수정리가 증명된 지금도 5자리 이하인 소수의 개수 조차 알지 못할 정도로

소수는 불규칙적이라고 여겨지는데

리만가설이 풀리면 그래도 그 규칙에 대한 실마리가 열릴 수 있다고 본다.

 

2018년 9월, 20세기를 대표하는 위대한 수학자인 마이클 아티야 경Sir Michael Atiyah, 1929-2019이 역사상 가장 중요한 수학 문제로 꼽히는 리만 가설을 해결했다는 소식이 전 세계 언론사를 통해 주요뉴스로 전해졌다. 레바논계 아버지를 둔 영국인인 아티야는 1929년 영국에서 태어난 천부적인 기하학자이다. 케임브리지대에서 공부하고 당대 영국을 대표하는 기하학자인 호지Sir William Hodge, 1903~1975의 지도하에 대수기하학을 연구해 1955년 박사학위를 받았다. 참고로 방금 말한 마이클 아티야의 스승이 세계 7대 난제 중 하나인 호지 추측을 발표한 그 호지이다.

 

아티야의 업적으로는 그로덴틱Alexander Grothendieck, 1928~2014의 리만-로흐 정리의 증명에서 받은 영감을 바탕으로 히르체브루흐와 함께 공간의 특성을 표현하는 새로운 방법인 K-이론을 제시했다. 이후 K-이론을 발전시키고 이를 통해 미해결 문제들을 다수 해결하는 쾌거를 이뤄냈고 이 업적을 인정받아 1966년 37세의 나이에 수학계 최고의 상인 필즈상을 수상했다. 그랬던 그가 독일 하이델베르그에서는 제6회 수상자 포럼에서 리만 가설을 증명했다고 광역어그로를 끌었다.

내가 리만가설 풀었다고하면 바로 정신병원에 집어 넣겠지만 여왕에게 작위까지 받은 수학자가 리만가설 풀었다고 하니까 간만에 수학계가 들썩거렸다. 하지만 통상적 기준으로 아티야 교수의 논문은 논문이라고 부를 수 없고 증명이라고 하기에는 논리적 비약이 너무나 많았다. 중간고사나 기말고사 시험을 치르더라도 교수님이나 선생님이 점수깎을까봐 구구절절 답을 적는데 예전에는 치밀하고 꼼꼼했던 논문으로 감동을 줬던 논문에 비교하면 너무나 안타까운 수준이었다. 이렇게 아직까지도 리만가설은 증명되지 않고 있다.

 

 

골드바흐의 추측

 

골드바흐의 추측(Goldbach's conjecture)은 오래전부터 알려진 수론의 미해결 문제로,

1742년 수학자 골드바흐는 2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 소수(Prime number)의 합으로 표시할 수 있다는 것을 발견했다. 이때 하나의 소수를 두 번 사용하는 것은 허용한다.

 

또 어렵게 말해 미안하다.

쉽게 생각을 해보자.

예를 들어 짝수인 수 38이 있다고 하자.

38은 두 소수의 합으로 표현할 수 있을까?

38=7+31 또는 19+19로 나타낼 수 있다.

38만 될 수도 있으니까 다른 수를 보자.

5062이란 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있을까?

두 소수를 1301과 3761로 두면 1301+3761로 나타낼 수 있다.

혹시 내가 사기치고 있는게 아닌가 생각되면

소수가 맞는지 확인해보길 바란다.

이처럼 많은 수학자들은 자신이 본 모든 짝수들을 두 소수의 합으로 나타냈고,

IBM에서 컴퓨터를 활용해 4부터 400경까지 해보았을 때도 모두 성립했기때문에

앞으로 볼 모든 짝수들도 이렇게 두 소수의 합으로 표현 가능하다는 것이

골드바흐의 추측이다.

 

이 골드바흐의 추측은 페르마의 밀실의 주요 소재로 씌였는데

스포아닌 스포를 하자면 영화에선 골드바흐의 정리가 증명되었다.

[발표되지 못했다는게 함정.]

 

골드바흐 정리에 대한 최근 성과를 보자면

1930년 러시아 수학자 레프 겐리호비치 시니렐만/Lev Schnirelmann은

4보다 큰 모든 짝수는 20개 이하의 소수의 합으로 표현가능함을 증명했으며

수학자들은 최소 소수의 개수를 계속 줄여나가며

1995년 프랑스 수학자 올리버 라마레/Olivier Ramaré는 6까지 줄이는 것을 성공했다.
 

그리고 골드바흐의 정리가 맞다면

[5보다 큰 홀수는 2보다 큰 짝수와 3의 합이기 때문에]

자명하게 증명되는 골드바흐의 약한 추측이 있는데

이는 컴퓨터를 이용하여 증명되었다. [오른쪽 카드]

 

1975년 미국 수학자 휴 몽고메리 (Hugh Montgomery)와

영국 수학자 로버트 찰스 본(Robert Charles Vaughan)은

두 소수의 합으로 표현가능한 짝수와 그렇지 않은 짝수의 비율을 계산하면

극한값이 0으로 수렴함을 밝혔냄으로써

"대부분"의 짝수는 두 소수의 합으로 표현가능을 알아냈다.

 

2014년에는 '폴리매스 프로젝트 8'을 통해

일반화된 앨리엇-핼버스탬 추측이 참이면

쌍둥이 소수 추측 혹은 오차가 포함된 골드바흐 추측[8] 중

적어도 하나는 참이라는 것을 증명하였다.

여러분이 골드바흐 추측을 증명하는데 어렵다면

차라리 앨리엇-핼버스탬 추측을 증명하는 편도 괜찮긴 하다.

여기서 쌍둥이 소수 추측이 나오는데

쌍둥이 소수 추측은 소수와 그 수에 2를 더하면 소수가 되는

예를들면 3과 5, 11과 13과 같은 소수쌍들이

무한히 존재한다는 가설이다.

이도 아직 미해결 문제로 남아있는데

골드바흐의 추측과 구조적 유사성이 있기에

두 추측은 같이 다루어져 왔으며

지금까지 검증된 수치적 자료들도 이 두 추측의 유사성을 뒷받침한다.

 

지금까지 리만가설과 골드바흐의 추측에 대해 알아보았다.

소수는 가장 기본적인 숫자 단위임에도 불구하고

아직 많은 미해결 문제들이 남아있다.

내가 죽기 전에 이 문제들이 해결될지는 모르겠지만

많은 수학자들이 풀기위해 노력하고 있으므로

언젠간 증명이 나올 것이라 믿는다

 

오늘 수업은 여기까지