고등학교 수준으로 증명하는 세상에서 가장 아름다운 공식😍 (feat. 오일러 공식)

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세상에서 가장 아름다운 공식은 무엇일까?

 

많은 조사를 해도 압도적으로 1위가 되는 공식은 바로

 

exp(iπ) +1 =0 이다.

 

이 식에 대해서 설명해보자면 가장 많이 쓰이는 무리수이자 초월수인

e와 π가 들어가 있으며 실수에서 수체계를 확장할 때 사용하는 허수 i

그리고 덧셈의 항등원 0과 곱셈의 항등원 1이 한데 모여 만들어진 공식이다.

 

우리가 중고등학교 과정에서 배우는 수들을 적절히 조합하면 이렇게 깔끔하게 식이 나오게되는데

이 공식을 고등학교 수준으로 증명해보도록하자.

 

먼저 이 식을 증명하기 위해서는 보조정리로 오일러 공식

exp(ix) = cos x + isinx를 증명해야 한다.

이 식을 증명할 때 대학생들이라면 테일러 정리로 증명하겠지만

고등학교 수준으로 증명하기 위해서 조금 색다른 방법을 사용해보겠다.

 

f(x) = cosx+isinx / exp(ix) 라는 함수를 가져오자.

이 함수를 미분하면

몫함수의 미분법에 의해 다음과 같이 정리되며

분자가 다 소거되므로 f'(x)=0이 된다.

f'(x)= 0 이므로 f(x)는 미적분학의 기본정리에 의해

상수함수임을 알 수 있다.

자 이때 x에 0을 대입하면 f(0)=1이므로

상수함수의 정의에 의해 모든 x값에 대해

cosx+isinx / exp(ix) 은 항등적으로 1임을 알 수 있다.

이제 양변에 e^ix를 곱하면

exp(ix) = cos x + isinx 임을 알 수 있다.

 

오일러 공식을 증명했으므로 이제 x=π를 대입하자.

양변에 π를 대입하면 exp(iπ)=cosπ + isinπ = -1이다.

따라서 exp(iπ)+1=0 이다.  증명 끝!

 

오늘 수업은 여기까지