밀레니엄 7대 난제 총정리💡풀어내면 100만 달러!

1. 리만 가설

2. 푸앵카레-페렐만 정리

3. P-NP 문제

4. 나비에-스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움

5. 양-밀스 가설의 존재와 질량 간극

6. 버츠와 스위너톤-다이어 추측

7. 호지 추측

 

 

1637년 3 이상 지수의 거듭제곱수는

같은 지수의 두 거듭제곱수의 합으로 나타낼 수 없다는

페르마의 마지막 정리가 발표되었다.

1995년 5월 앤드류 와일스는 2편의 논문을 발표해서,

358년 된 수학 난제인 페르마의 마지막 정리를 완벽하게 증명했다.

 

그 이후 수학자들은 풀 문제가 없다고 징징대기 시작했고

새 천년이 시작한 2000년 몇몇 수학자들은 모여서

이제 그만 좀 징징대라고 밀레니엄 문제 7개를 발표한다

 

밀레니엄 7대 난제란

미국의 천재 수학자들이 모여서 만든 연구소인

클레이 연구소에서 2000년 5월 24일에 선정한 

7개의 수학 난제들을 말한다. 

이 문제를 풀면 수학계의 노벨상이라 불리는

필즈상과 함께 상금 100만 달러가 걸려있으며

과학, 수학 발전에 엄청난 공헌을 한 사람으로 역사에 길이길이 기억될 것이다.

이제부터 그 일곱 문제에 대해 알아보도록 하자.

 

첫번째는 가장 유명한 리만가설이다.

리만 제타 함수의 모든 자명하지 않은 근의 실수부는 1/2​이다.라는 문제이다.

 

수학자들은 소수의 규칙성에 대해 연구를 하는데,

2 3 5 7 11 13 17 19등

무한하게 나오는 소수 들에서는 어떠한 규칙도 찾을 수가 없었지만,

가우스는 노력 끝에 소수의 분포를 대략적으로 알아내는 함수를 찾게 된다

그리고 가우스의 제자인 리만은

오일러의 함수를 변형하여 입체적인 그래프를 만드는데,

놀랍게도 이 그래프에서 리만이 계산한 4개의 비자명 근이

복소수로 만든 평면 위에서 모두 일직선상에 있었다.

그래서 '다른 애들도 모두 일직선상에 있을꺼야 범인은 '라고

추측한 것이 리만 가설이다.

 

리만 가설은 소수의 분포,

즉 주어진 x 보다 크지 않은 소수의 개수에 대한 문제와 관련이 있다.

가우스는 관찰을 통해 소수의 분포를 나타내는

소수 정리를 제시하였고, 이 소수의 규칙을

얼마나 정밀하게 나타낼 수 있는지가 사실상의 리만 가설의 내용이다.

 

하지만 소수정리를 증명하려고 만든 리만가설대신

1896년에 자크 아다마르와 샤를장 드 라 발레푸생이

각각 독립적으로 소수정리 증명하였고

 1949년에 아틀레 셀베르그와 에르되시 팔이

복소 해석학을 쓰지 않고도 소수정리를 증명해버렸다.

 

리만가설이 증명되면

소수와 암호 체계와의 연관을 통해 RSA 등등의 암호체계의

안정성이 깨진다는 말이 있는데

리만 가설이 증명되거나 반증된다고 해서

RSA의 안정성이 깨진다는 연구는 아직 없다.

왜냐하면 리만 가설이 소수에 대한 정보를 많이 담고 있는 건 사실이지만,

리만 가설을 가정한 상태에서도 아직까지

1025 이하인 소수의 개수조차 알지 못한다.

하지만 현대의 암호에 보통 사용하는 소수는 100자리가 넘는다.

물론 리만 가설을 증명, 혹은 반증하면서

암호체계를 무력화시킬 가능성은 있지만,

적어도 리만 가설 그 자체는

큰 수를 소인수 분해하는 방법을 제공하지 못한다는 것이 학계의 정설이다.

 

 

 

두번째는 푸앵카레 추측이다.

밀폐된 3차원 공간에서 모든 폐곡선이 수축되어 하나의 점이 될 수 있다면

이 공간은 반드시 구로 변형될 수 있음을 증명하란 것이다.

쉽게 말해서 농구공과 도넛츠가 서로 다른 모양인 것을

수학적으로 보여달라는 말도 안되는 문제이다.

 

누가 봐도 다른 모양인데 왜 이것을 증명하냐 물어볼 수도 있다.

하지만 정말 다른 모양인가? 당신은 그걸 어떻게 확신하는가?

우리는 예전에 우리가 보고 느끼는 그대로

지구가 평면이라고 생각했다.

하지만 마젤란이 지구를 한바퀴 돌면서

지구는 구형이라는게 반증되었다.

하지만 정말 구형일까?

지구가 도너츠 모양이라고 해도

한바퀴를 돌아 다시 원래 지점으로 돌아올 수있다.

 

우리는 우리가 서 있는 곳에서 세상을 바라보기에

현재 우주의 모양이 정확히 어떤지는 알지 못한다.

그렇기에 수학자들은 이 세상의 모든 공간을 분류하기 시작한다.

A라는 공간은 어떤 성질을 만족하는지

B라는 공간은 어떤 성질을 만족하는지 모두 분류하는 것이다.

이렇게 같은 공간과 다른 공간을 분류하는 작업이 위상수학이다.

같은 위상인 공간은 모양이 살짝 달라보여도

본질적으로는 같은 공간이라는 것이다.

공와 도너츠 즉 스피어와 토러스는 근본 자체가 다르고

그것을 구별할 수 있는 방법으로

푸앵카레는 끈을 사용했다.

끈으로 물체를 두른 다음 한 점으로 모을 수 있는지 없는지로

 공간을 분류할 수 있다고 생각한 것이다.

 

일반적으로 위상수학은 분류의 기준으로

집합을 사용하여 증명한다.

위상수학과 집합은 수학계에서는

200년밖에 안된 최신 학문으로

근대의 거의 모든 수학자들은

유행처럼 위상수학에 매달려서

문제들을 모조리 풀어냈다.

그래서 현재 남아있는 문제들은

정말 말도 안되게 어려운 문제들만 남았는데

러시아의 수학자 그레고리 페렐만은 이것을 위상수학이 아닌

미분기하학을 이용해서 증명해버린다.

수학자들은 새로운 증명방법에 대해

단체로 멘탈붕괴를 당하게 된다.

 

푸앵카레의 추측은

7대 난제 중 유일하게 해결 된 문제이며

이젠 추측이 아닌 푸앵카레-페렐만의 정리로 불리고 있다.

 

 

세번째는 P 대 NP 문제이다.

 

알고보면 쉬운 문제가 답을 알기 전에도

쉬운 문제인지 증명하라.는 문제이다.

역시 또 개소리같다. 천천히 번역해보면

쉽게 검산할 수 있는 모든 문제들은 모두 쉽게 풀리는가? 라는 건데

예로 지뢰 찾기를 할 때 시간이 오래 걸리지만

반대로 지뢰가 있는 곳을 다 안다면

지뢰를 피해 길을 찍는 일은 단순작업이다.

그렇다면 지뢰찾기는 쉬운문제라고 할 수 있는가?

 

수학적으로 보자.

어떤 문제를 풀어내는 알고리즘의 속도가

다항식으로 표현되는 문제집합을 p

다항식으로 표현되는지 알려지지 않은 문제 집합을 np라고 할 때,

알려지지 않은 np문제들이 p문제로 다 바뀔 수 있는지 증명하고자한다.

수학적으로 P집합은 이미 NP의 부분집합임이 증명되어서

이제 모든 NP문제가 P인가를 증명하면 된다. 

만일 두 집합이 같게 된다면 쉽게 검산할 수 있는 풀기 어려운 공식은 풀기 쉬운 공식으로 변형될 수 있게된다.

그렇게 된다면 현재 거의 모든 암호체계는 np문제이기에

암호체계는 안전할 수 없게된다.

현재 수학계에서 대부분의 학자들은

여러 np문제에 대해 시간 내에 풀수 있는 알고리즘을 찾으려 노력해봤지만

전혀 성과가 없기때문에 p는 np가 아닐것이라 예측하고 있다.

즉 풀기 쉬운 공식으로 변형될 수 없는 어려운 문제가 존재한다고 보고있다.

 

 

네번째는 나비에-스토크스 방정식이다.

3차원의 경우 나비에-스토크스 방정식의 강해가 존재하거나,

유한 시간안에 폭발하는 해가 존재함을 보이는 것을

나비에-스토크스 존재성과 매끄러움문제라 한다.

 

나비에-스토크스 방정식은

점성을 가진 유체의 운동을 기술하는

비선형 편미분방정식으로

가장 어려운 편미분방정식으로 알려져 있다.

프랑스 물리학자 클로드-루이 나비에와

영국 수학자 조지 스토크스가 뉴턴의 운동 제2법칙(F=ma)를

유체역학에서 사용하기 쉽게 운동량을 기준으로 세운 수지식으로

이 방정식은 물리학의 수많은 곳에서 널리 사용되고 있다.

 

기계공학, 항공우주공학 전공 대학생이라면

2~3학년 때 처음 이 방정식을 접하게 된다.

비행기가 공중에 뜰 수 있는 것도,

기상청에서 며칠 후의 날씨를

예측할 수 있는 것도 이 방정식과 관련이 있다.

 

점성을 가진 유체의 운동을 기술하기에

디즈니사의 겨울왕국 주인공 ‘엘사’가

렛잇고를 부르며 궁전을 만드는 장면이나

‘타이타닉’에서의 넘실거리는 파도나

터미네이터에서의 액체 금속 로봇 T-1000도

이 방정식을 이용해 만든 결과물이다.

 

문제는 이 방정식이 지금까지 알려진 미분방정식들 중에

(해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 편미분방정식 중

하나라는 것이다.

정확한 해를 구할 수도 없어 근사적으로 구하고 있고

몇몇 특수한 경우의 풀이법[15]은 알려져 있지만 을 제외하고는

일반적인 풀이법 조차 알 수 없다.

심지어는 이 방정식의 답이 있는지 없는지조차 몰라서

이를 난제로 설정한 것이다.

 

만약 이 문제가 해결된다면 완벽한 형태의 비행기 날개,

정확한 기상예보 등 공학계의 대 파란을 불러일으키며

한단계 더 진보된 문명으로 진입할 것이다.

 

 

다섯번째는

양-밀스 이론의 존재와 질량 간극에 대한 문제이다.

임의의 콤팩트하고 단순한 게이지 군 G에 대해서 4차원 유클리드 공간상의 자명하지 않은 양-밀스 이론이 존재하여,  0보다 큰 질량 간극을 가짐을 증명하여라.는 것이다. 이 때  존재의 증명은 적어도 몇몇 논문에 인용한 것만큼 강한 공리적 체계를 구성하는 것을 포함해야 한다.

 

자 이제 쉽게 설명해 보겠다.

우리는 원자라는 개념에 대해 배웠을 것이다.

원자는 화학반응을 통해  더 이상 쪼갤 수 없는 단위인데

알다시피 이 원자는 물리반응을 통해 쿼크로 쪼개진다.

그렇다면 사고실험을 통해 쿼크마저도 끝까지 쪼갠다고 상상해보자.

마지막까지 쪼개면 생기는 가장 가벼운 입자가 존재한다 가정할 때

그 입자는 질량을 가질까?

다시 말해, 이는 질량이 무한히 0에 가까워질 수 있는 것이 아니라,

존재 가능한 질량의 최소 단위가 존재함을 보이라는 것이다.

물론 광자 또는 중력자 와 같은 질량이 없는 입자는

가장 가벼운 입자에 속하지 않으므로 제외한다.

 

양-밀스 이론이란 중국의 물리학자 '양전닝'과

미국의 물리학자 '로버트 밀스'가 만든 양자장론 모델로

강력과 약력을 설명하는데 이용 될 수 있다.

양자 역학에서 언급되는 입자들이 빛의 속도에 가깝게 움직이면,

결국 상대성 이론이 적용되어야 하는데,

그 양자론을 계산하기 위해서는 최소의 입자질량이 필요하다.

이 문제는 명백하게 물리학으로부터 시작되는 문제이다

하지만 이것에 대한 수학적 토대를 만들라는 것이 난제의 선정 이유이다.

쉽게 말해서, 아이작 뉴턴이 자신의 물리학 법칙을 설명하기 위해서

미적분이란 걸 만들었는데,

이 문제에서도 비슷한 걸 하라는 의미이다.

다만 뉴턴은 자기가 직접했고,

이 경우는 물리학자들은 수학자에게 맡긴 차이가 있다.

뉴턴과 비슷한 사례로 에드워드 위튼이 있다.

위튼도 초끈 이론 전개를 위한 수학이 필요해 직접 수학을 연구하다가,

심지어 필즈상까지 수상하였다.

 

 

여섯번째는

버치-스위너턴다이어 추측이다.

수체(number field) K 위에서의 타원곡선 E의 모델-베유 군 E(K)의 rank는, E의 하세-베유 L-함수(Hasse-Weil L-function) L(E,s)가 s=1에서 갖는 근의 차수와 같다

 

1965년에 브라이언 버치와 피터 스위너턴 다이어가

케임브리지 대학교 에드삭 컴퓨터를 사용한

수치적 데이터를 바탕으로 발표한 내용이다.

 

타원곡선의 유리수점들은

해를 연산할 수 있는 특이한 구조를 가지고 있다.

그리고 이 타원곡선 중에 특별한 유리수점이 있어서

이들의 합으로 모든 점을 나타낼 수 있다.

이러한 특별한 최소개수의 점들 중,

반복해서 더해서 0이 되지 않는 점들의 개수를

타원곡선의 rank라고 한다

즉 타원곡선의 rank는 타원곡선의 유리수점이

얼마나 많은지 나타나는 지표이다.

한편 복소해석학의 이론에 따르면 타원곡선의 하세베유 L함수에서

S=1에서의 근의 차수는 국소적으로 유리수 점이 얼마나 많은지

어림하는 추정치라고 생각할 수 있다.

 

즉 이 추측은 실제 유리수 점이 얼마나 많은지는

국소적 조건의 정보로 계산한 추정치와 사실 일치함 의미한다.

비유를 하면 삼거리 와드 하나 박았는데 맵 전체가 다 보인다는 것이다.

 

이 문제를 밀레니엄 문제로 선정한 사람은

페르마의 마지막 정리를 증명한 앤드루 와일스 교수이다.

앤드루 와일스가 타원곡선을 연구했고

그 성질을 이용해 페르마의 마지막 정리를 증명했다.

이 정리가 증명되면 페르마의 마지막 정리처럼

수론의 많은 문제를 해결할 수 있는 실마리를 제공하기에

밀레니엄 문제로 선정한 듯 싶다.

 

마지막으로는 끝판왕 호지추측이다.

 

1930년대에 스코틀랜드의 기하학자인 호지는 호지 이론을 개발하였고,

이 이론을 집대성해서 1941년 저서 《조화 적분의 이론과 응용》[18] 에서

이 추측을 처음으로 발표하였다.

 

 .라는 추측이다.

 

하아.. 자 이제 영상을 꺼도 좋다.

이 문장에서 복소 빼고 단 한 단어라도 이해한다는 건 수학전공자라는 건데

사실 저 문장도 진짜 내가 아는 가장 짧은 문장이다.

세상에는 페르마의 정리처럼 일반인도

이해할 수 있는 문제지만 증명하기 어려운 것들도 있지만

호지추측은 애초에 문제 자체를 이해하는 것을 포기할만한 것들도 있다.

이거는 그냥 넘어가도 되지만

기왕 시작한거 끝을 보도록하자.

 

먼저 부드럽다는 말은 스무스커브

즉 (무한번)미분가능하다는 뜻이다.

 

다음으로 사영을 보자.

가로수들은 모두 평행한 하나의 선으로 나란히 서있다.

그런데, 그림을 보면 평행하지 않고

가운데 소실점을 향해 모이고 있는 모습을 보인다.

그림에 따르면, 어느 한 점에서는 반드시 이 두 선이 만나게 된다.

그러나, 실제로는 두 선은 완벽하게 평행하다.

이런 이해가 불가능한 부분을 해결하는 방법은,

이 두 점이 만나는 곳이 무한대라는 잠정 결론을 내리는 것이다.

이러한 방법을 통해서 무한한 값을 가진다고 잠정적인 결론을 내리는 것을 ​사영(project)이라한다.

 

마지막으로 복소 대수 다양체이다.

우리가 고등학교때 x^2+y^2=1의 식을 원 그래프로 나타내듯이

문자를 이용한 식들을 그래프로

즉 기하학적으로 나타낸 모양을

​대수 다양체(algebraic variety) ​라고 한다

이제 이 정의역의 범위를 기존에 다루던 실수가 아니라

복소수로 확장하면 복소 대수다양체가 된다.

 

자 이 모든걸 만족하는 X란 애가 있다.

그렇다면 이 X의 호지류들은 대수적이라는 것인데

X의 호지류라는 것은 X가 호지가 말한 어떤 특수한 몇가지 성질을 만족한다는 뜻이다. 쨌든 이러한 애들은 그 부분들의 대수적결합으로 나타낼 수 있다.

이것이 호지추측이다. 대수적결합은 전에 있던 초월함수 영상을 참고바란다.

 

진짜 개더러운 문제인데

여기에 왜 사람들이 매달리냐하면

그리고 기하문제 임에도 대수, 해석, 위상등

여러 수학 분야가 걸쳐진만큼

많은 난제들의 해결 실마리를 제공한다.

 

현재 수학자들은 한때 대수다양체보다 넓은 개념인

‘켈러다양체’에서 호지류를 정의한 뒤

똑같이 다항식의 공통해로 나타낼 수 있다고 믿었지만

2002년 부아쟁 교수가 그 반례를 찾아 켈러다양체에서는

호지 추측이 틀렸다는 걸 입증했다.

일반화시키고 있는 과정 중에 몇몇 반례가 등장하다보니

이 추측 자체가 틀렸다고 생각하는 수학자들도 존재한다.

위에 추측들이 항상 참임을 증명하는 것대신

거짓인 반례를 들어도 문제를 해결하는 것이니 말이다.

 

지금까지 밀레니엄 7대 난제에 대해

개략적으로 알아보았다.

난제가 갖는 의미는 그 문제를 푸는 자체도 중요하지만

그 문제를 풀어내면서 새로운 의문을 제기하고

풀이 자체로서 새로운 분야가 생성된다는데 있다.

끝은 끝이 아닌 새로운 시작인 것처럼 말이다.