3 : 5 : 7 비율을 갖는 삼각형의 각도

흔히 $1:1:\sqrt2$나 $1:2:\sqrt3$의 비율을 갖는 삼각형의 각의 크기는 누구나 다 알고 있습니다.

그런데 혹시 $3:5:7$의 비율을 갖는 삼각형의 각도 알고 있나요?

코사인법칙을 이용하면 길이가 $7$인 선의 대각은 $120^\circ$입니다.

 

 

$$\begin{align}
& 7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos\theta\\
\Rightarrow \quad & 15 = -30\cos\theta\\
\Rightarrow \quad & \cos\theta = -\frac{1}{2}\\
\Rightarrow \quad & \theta = 120^\circ
\end{align}$$

 

 

이를 이용하면 길이가 $3$인 정삼각형과 $5$인 정삼각형을 덧붙여 $3:7:8$의 비율을 가지는 삼각형에서 $7$과 마주보는 각은 $60^\circ$이고,

 

 

$5:7:8$의 비율을 가지는 삼각형에서 $7$과 마주보는 각도 $60^\circ$인 것을 어렵지 않게 알 수 있습니다.