7의 배수를 판단하는 방법

특정 규칙을 적용하면 어떤 수로 나누어 떨어지는지 빠르게 판단할 수 있습니다.
그런데 한 자리 수 중 오직 $7$만은 배운 기억이 없는데요.

 

• 2: 숫자의 마지막 자리가 짝수(0, 2, 4, 6, 8)이면 2로 나눌 수 있다.
• 3: 숫자의 각 자리 수를 더한 합이 3의 배수이면, 원래의 수도 3으로 나눌 수 있다.
• 4: 숫자의 마지막 두 자리가 4로 나눌 수 있는 수(즉, 00, 04, 08, 12, 16, ..., 96)이면 원래 수도 4로 나눌 수 있다.
• 5: 숫자의 마지막 자리가 0이나 5이면 5로 나눌 수 있다.
• 6: 숫자가 2와 3 모두로 나눌 수 있으면(즉, 짝수이면서 각 자리 수의 합이 3의 배수이면), 6으로 나눌 수 있다.
• 7: 7로 나누는 간단한 규칙은 없으며, 일반적인 나눗셈을 사용해야 한다.
• 8: 숫자의 마지막 세 자리가 8로 나눌 수 있는 수(즉, 000, 008, 016, 024, ..., 992)이면 원래의 수도 8로 나눌 수 있다.
• 9: 숫자의 각 자리 수를 더한 합이 9의 배수이면, 원래의 수도 9로 나눌 수 있다.
• 11: 숫자의 각 자리 수를 번갈아 더하고 빼는 합(예: 1자리 - 2자리 + 3자리 - 4자리 + ...)이 11의 배수이거나 0이면, 원래의 수도 11로 나눌 수 있습니다.

 

엄청 빠르지는 않지만 자릿수를 줄일 수 있는 트릭이 있다는 걸 아시나요?
예를 들어 $224$는 $7$로 나누어 떨어질까요? 그냥 바로 나누어도 상관없지만,

 

마지막 자리 수에 $5$를 곱한 후 앞선 숫자들과 더해 $7$로 나누어 떨어지는지 판단하는 방법으로 자릿수를 줄여 계산할 수도 있습니다.

 

$$\begin{align}
224 &\Rightarrow 22 + 4\times5 = 42 \\
&\Rightarrow 42 \div 7
\end{align}$$

이는 더 큰 수에서도 항상 성립하며

 

$$\begin{align}
7574 &\Rightarrow757+4\times5\\
&\Rightarrow 777\div 7
\end{align}$$

 

반복적으로 사용해 수를 더 줄여도 성립합니다.

 

$$\begin{align}
7574 &\Rightarrow757+4\times5 = 777\\
&\Rightarrow 77 + 7\times5 = 112\\
&\Rightarrow 11 + 2\times 5=21\\
&\Rightarrow 2 + 1\times 5 = 7
\end{align}$$

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비슷한 방법으로 뺄셈을 이용해도 됩니다.

1. 숫자를 일의 자리와 나머지로 분리합니다.
2. 일의 자리수에 2를 곱합니다.
3. 그 결과를 일의 자리를 분리한 나머지에서 뺍니다.
4. 새로운 숫자가 7의 배수인지 확인합니다.
5. 만약 새로운 숫자가 여전히 크다면, 이 과정을 반복합니다.
6. 결과가 0이거나 7의 알려진 배수가 나오면, 원래 숫자는 7의 배수입니다.

예를들어 203을 보면

1. 203의 마지막 자리수를 제외한 숫자: 20
2. 마지막 자리수(3)에 2를 곱한 값: 6
3. 두 숫자의 차이 계산: 20 - 6 = 14
4. 14는 7의 배수이므로, 203도 7의 배수이다.