삼각함수, 지수함수, 로그함수는 왜 초월함수라고 부를까?

 

고등학교를 다니다 보면 종종 초월함수라는 말을 듣게 된다.

초월함수가 뭔지는 가르쳐주지는 않으면서

사인, 코사인, 지수, 로그함수는 초월함수라고 부른다.

왜 이들은 초월함수란 이름이 붙인 것일까?

그냥 어려운 함수여서?

아니면 다른 이유가 있는걸까?

 

다음은 우리가 고등학교 때 배우는 다항함수이다.

다항함수란 x의 거듭제곱을 덧셈으로 연결해서 만들 수 있는 간단한 함수이다.

이들의 일반형을 보면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

고등학교 교육과정에서는 몇가지 조건이 붙는데

일단 a_n은 유리수에서만 다루며 n은 무한히 가는게 아닌

3차 4차 처럼 어떤 자연수라는 것이다.

이런 것을 보고 유리계수 다항함수라고 부른다.

 

이런 유리계수 다항함수에 대해

여러분이 얼마나 알고있는지 알아보자.

1을 근으로 갖는 유리계수 다항함수는 존재하는가?

다른 말로 1을 대입하면 0이 나오는 함수가 있는가?

(10초)

f(x) = x-1이라 두면 f(1)=1-1=0이므로

X=1이 근이된다.

 

자 다음으로

루트2를 근으로 갖는 유리계수 다항함수는 존재하는가?

(10초)

f(x)=x^2-2라고 두면 루트2를 대입했을 때 0이 나오게 된다.

 

여기까지는 쉬운 것 같으니까

조금 어렵게 가보자.

1+루트2를 근으로 갖는 유리계수 다항함수가 존재하는지 찾아보자.

(10초)

고등학교 1학년에 켤레를 이용하면

다른 한 근은 1-루트2가 된다는 사실을 알 것이다.

그래서 근과 계수와의 관계를 활용하면

f(x)=x^2-2x-1임을 알 수 있다.

 

 

마지막이다.

Pi를 근으로 갖는 유리계수 다항함수가 존재하는가?

(10초)

루트2를 근으로 갖는 함수를 쉽게 찾아냈으므로

파이도 같은 무리수니까

별로 어렵지 않게 파이를 근으로 갖는

유리계수 다항함수를 찾을 수 있을 것 같다.

자 sinx를 생각해보자.

f(x)=sinx라고 두면 sinpi=0이므로 이 함수는 파이를 해로 갖는다.

그렇다면 이제 sinx를

유리계수 다항함수로 나타내면 되지 않을까?

 

고등학교때 공부를 열심히 했거나 대학생이라면

테일러 전개에 대해 배워봤을 것이다.

테일러 전개란 쉽게 말해

함수를 다항함수로 근사시키는 방법인데

테일러 전개를 이용하여 Sinx를 다항함수로 바꿔보면 다음과 같다.

그런데 저 함수의 계수들은 유리수가 맞지만

n이 3차,4차가 아니고 무한히 나오기에 차수를 정할 수 없다.

따라서 sinx는 유리계수다항식으로 나타낼 수 없다.

이처럼 파이를 근으로 갖는 유리계수다항식이 없을 때

즉 우리가 일반적으로 다루는 유한차수함수들에 반해 그 수준을 넘어가는

다항식의 근이 되는 파이 같은 애들을 보고

초월수(transcendental number)라고 부른다.

그리고 이러한 초월수를 근으로 갖는 함수를 보고

초월함수라고 부른다.

결국 초월수들이 있으면 그에 해당되는 초월함수들이 있는 것이다.

그렇다면 초월수들은 어떤 것들이 있을까?

먼저 아까 말했던 파이가 있고

고3때 배우는 자연상수 e도 초월수라는 것이

린데만-바이어스트라스 정리에 의해 밝혀져있다.

 

그렇다면 하나의 의문이 생기는데

초월수끼리 더하거나 빼면 어떻게 될까?

1+루트2는 무리수이고 1-루트2도 무리수인데

두수를 더하면 2 즉 무리수가 아니게 된다.

이것처럼 초월수끼리 연산을 하면 어떻게 되는지는

해보기 전까지 알 수 가 없다.

수학자들은 몇가지 수학적 스킬을 이용하여 이용해서

다음과 같이 간편한 연산으로 나오는 수들은 초월수임을 밝혔다.

그런데 파이플러스e와 파이e는

아직도 이 수가 초월수 인지를 알아낼 수 없었다.

만약 여러분이 이영상을 보고 이들이 초월수인지 밝혀낼 수 있다면

대한민국 최초로 필즈상을 받는 영예를 누릴 수도 있을 것이다.

 

오늘 수업은 여기까지