전공자만 배우는 수학 문제를 푸는 5가지 방법

 

수학문제를 풀 때 시작을 어떻게 해야 할지 막막할 때가 있다.

어떻게 문제를 풀기 시작하면 좋을까?

여러분들이 알게 모르게 수학문제를 풀면서 쓰고 있었던 스킬들이지만

수학을 가르치면서 보면 실제로 이를 체계적으로 적용하지 않는 친구들이 많아서

몇가지 스킬들을 정리해보겠다.

혹시나 처음보는 방법이 있을 수 있으니

이번 영상은 끝까지 시청하길 권장한다.

 

첫번째는 예상과 확인이다.

수학을 항상 짜여진 방법대로 풀어야한다고 착각하는 사람들이 많다.

수학이 처음 만들어질 때부터 공리와 정의가 있어

착착착착 만들어지진 않았다.

지금까지도 여러 수학자들이 한 추측들이 있고

그 추측을 몇 십년

길게는 몇 천년이 걸려 증명과 반증을 하며 수학은 발전해왔다.

 

예상과 확인은 문제의 답을 미리 예상해보고

그 답이 문제의 조건에 맞는지 확인해보는 과정을 반복하여

문제를 해결해 나가는 전략이다.

실제 문제를 보자.

초등학교 6학년 때 동물들의 다리개수를 보고

동물이 각각 몇 마리 인지 맞추는 문제가 있었다.

여기 오리와 고양이가 10마리 있다.

이들의 다리가 32개 일 때

오리와 고양이는 각각 몇 마리인가?

 

중학생 이상이라면 바로 오리를 x, 고양이를 y라고 잡고

x+y=10과 2x+4y=32라 두고 연립방정식을 풀기 시작할 것이다.

그런데 이 문제를 처음 배우는 초등학교 6학년은 이렇게 풀지 않는다.

먼저 오리와 고양이가 각각 5마리씩 있다고 하면

다리의 개수는 2*5+4*5=30이다.

이러면 다리 수가 부족하므로

다리가 많은 고양이를 조금만 늘려

오리를 4마리, 고양이를 6마리라고 해보자.

그렇다면 다리의 개수는 2*4+4*6=32다.

문제에서 주어진 조건에 맞으므로

오리는 4마리, 고양이는 6마리라는 답을 찾을 수 있다.

 

이걸 보면서

나는 초등학교 5학년 때부터 연립방정식을 배워서 저렇게 풀지 않았는데

라고 자만했다면 정말 큰 오산이다.

만약 중학생 이전에 연립방정식을 가르쳐 주는 사람이 있었다면

그 사람은 여러분들이 예상하고 확인하는 생각의 힘을 뺐은 것이다.

예상과 확인은 매우 중요하다.

 

저게 어디 쓰이냐 할 수 있겠지만

예를들면 x+6=10 이란 문제를 봤을 때

누군가는 6을 이항 시켜서 풀지만

6에다가 몇을 더하면 10일까 생각하면 바로 4가 나온다.

그리고 실제로 4를 넣으면 맞다.

조금 어렵게 가보면 인테그랄 2xcos(x^2) dx를 누군가는 치환적분을 써서 적분하겠지만

cosx는 sinx를 미분하면 2x는 x^2을 미분하면 나오는 것임을 알고 sin(x^2)이라 답을 추측한다.

실제로 sin(x^2)을 미분하면 2xcos(x^2)이 잘 나오므로 답을 잘 찾았구나 생각한다.

아마 3등급 이상의 이과생이라면 다 이렇게 적분을 할 것이다.

 

수능문제를 풀다 보면 어려운 식을 전개하고 나서 봤더니

점의 좌표 또는 점이 정수로 나오는 경우를 많이 봤을 것이다.

실제로 문제내는 사람들도 문제를 어려운 수를 이용해 내기 귀찮고

낸다 하더라도 여러방면에서 검토를 해야하다보니

정수 값으로 답이 나올 수 있게 문제를 설계한다.

뭔 말도 안되는 소리냐고 할 수 있는데

 

어려운 문제가 있으면 다들 될 것같은 숫자를 몇 개 대입해볼 것이다.

가끔가다 선생님들께 질문하면

아 이 문제 어떻게 푸는지는 모르겟는데 답은 이거야

라고 말해주는 경우를 종종 본다.

이런 경우가 직관과 추측으로 바로 답이 나오는데

이걸 뭘 어떻게 가르쳐주냐 하는 것이다.

선생님들이 수학을 특별히 잘하는 것일 수도 있겠지만

이건 태어날 때부터 잘했다기 보다는

예상과 확인을 하는 훈련이 남들보다 더 많이 되어있다는 것이다.

왜냐하면 정말 태어날 때부터 잘했다면 선생님이 아니라

교수님이 되었을 것이기 때문이다.

 

예상과 확인도 하나의 수학문제를 해결하는 방법인데

몇몇 논리충들이 어떻게든 정확한 해법을 요구한다.

그 친구들은 꼭 오른쪽 카드에 나오는 영상을 보기 바란다.

[리처드 파인만] 천재 물리학자의 시각에서 바라본 세상 (한영 자막)

 

예상과 확인을 하는 실제로 적용해보고자 하는 친구들을 위해

정리해주면 예상과 확인은 다음과 같은 순서를 밟는다.

이 과정이 익숙해지다보면

더 빠르게 답으로 근접해갈 수 있다.

 

 

 

두번째는 규칙성 찾기이다.

규칙성 찾기는 문제에 주어진 조건이나 관계에서 분석하여

어떤 규칙성을 찾아내고 이 규칙성을 확대하여 적용해

문제를 해결하는 전략이다.

개인적으로 4의 법칙이라고 부르는데

수능에서는 절대로 4! 즉, 24를 넘는 수를 대입하는 문제는 나오지 않는다.

반드시 그렇다고 하면 요새 수능이 워낙 이상해서 예외도 있겠지만

쨋든 24번 이상 대입하는 문제는 규칙성 문제라고 생각하고

아무 생각 없이 빠르게 숫자를 1부터 대입하여 규칙을 찾아내야한다.

물론 24번 미만이라면 차라리 문제에 대해 생각할 시간에

처음에 알려줬던 예상과 확인을 이용해

대입해서 답 찾고 넘어가는 것도 좋은 전략이다.

 

하나 더 이 법칙을 4의 법칙이라 부르는 이유는

주로 숫자 4개만 넣어보면 생각보다 쉽게 규칙성이 발견되기 때문이다.

문제를 보자 마자 어떻게 풀까 고민하면서

논리충처럼 수학은 논리적으로 풀어야지 엣헴엣헴

이러면서 수열의 귀납적 정의를 하는 학생들이 있는데

리만도 리만제타함수의 비자명근 4개가 일직선상에 있다는 사실만 찾고

나머지도 다 그럴껄? 이렇게 싸질러 놓고 죽었는데

바로 그게 리만가설이다.

그렇기에 몇 개만 해보고 나머지도 그러겠지 하는 이 방법을

무시하지 말고 실제 문제에 써보기 바란다.

문제를 낼 때 출제자는 그냥 그렇게 풀라고 문제를 내기 때문이다.

여담이지만 사실 4의 법칙으로 부르는 이유가 한가지 더 있는데

그것은 나중에 한 번 정리해보도록 하겠다.

 

 

세 번째는 특수화하기다.

일반적인 경우에 대한 문제가 주어졌을 때,

문제에서 구하려는 것이 무엇인가를 파악하고

구하려는 대상에 포함되는 특수한 대상을 선택하여

문제를 해결하는 것이다.

 

여기 초창기 수능 문제가 있다.

잠깐만 읽어보길 바란다.

<10초>

문제를 풀 수 있는 학생은 잠깐 영상을 멈추고 풀어봐도 좋다.

일단 문제를 설명하자면 담장의 그림자의 넓이를 구하는 문제이다.

빛이 중앙으로 부터 2m만큼 떨어져 있기에

그림자가 완벽하게 원 모양이 아니라 살짝 찌그러진 타원모양으로 생긴다.

이 때 타원의 넓이를 구하기 위해서는 타원의 방정식을 구해야하므로

쉽지 않은 수준이 아니라 구하는게 불가능에 가까운 문제이다.

 

그런데 수능문제이기 때문에 분명히 고딩들도 풀 수 있는 문제일 것이다.

심지어 93년도 2차수능이라 문이과 구분도 없어

조금만 생각해보면 맞을 수 있게 냈을 것이다.

그렇다면 생각해보자. 왜 2m를 옆으로 옮겼을까?

그냥 가운데 두면 안될까?

무슨 말이냐면 위치가 바뀐다고해서 넓이가 바뀌냐는 것이다.

빛이 더 왼쪽으로 치우쳐지면 그만큼 왼쪽그림자는 짧아지고

오른쪽 그림자의 넓이는 넓어지므로

전체 그림자의 넓이는 변하지 않을 것이다.

왜냐고 질문한다면 카발리에리의 원리를 이용해 설명할 수 는 있지만

지금 중요한 건 그 원리가 아니라 이 문제를 해결해야하는 것이다.

 

그래서 빛을 정중앙으로 이동시켜서

그림자의 넓이를 구하면

다음과 같이

중학생도 풀 수 있는 문제로

바뀌게 된다.

 

이처럼 수능에서는 일반적인 상황 즉 모든 경우의 성립하는 문제가 나온다.

그랬을 때 우리는 모든 경우 중에 내가 풀어낼 수 있는 단 한가지의 경우만 가져와서

문제를 해결하면 답을 쉽게 찾을 수 있다.

수능 문제뿐만 아니라 일반적인 내신시험에서도

아무런 말 없이 임의의 함수가 나와서 성립하는 문제가 있다면

내가 아는 가장 쉬운 함수인 상수함수를 가져와서 문제를 풀면 된다.

 

답이 만약 달라지면 어떻게 하냐고 반문할 수 있지만

그런 식으로 나오지 않게 이미 학교 선생과 교수들이 밤새 검토를 마쳤으니

그냥 맘 편히 가지고 문제를 풀자.

 

 

 

 

네번째는 표 만들기와 그림 그리기다.

 

따라서 표 만들기와 그림 그리기를 사용하는 예시를 각각 들어보도록 하겠다.

 

먼저 표 만들기이다.

표를 그려야하는 상황은 많이 있지만

특히나 확률문제를 풀때 강력하게 작용한다.

여러분들이 조건부확률 문제를 풀 때

조건부 확률 문제는 크게 2가지 유형으로 나뉘어 진다.

그 중 문제가 만약 여자/남자, 양품/불량품 등

이분법적으로 나눠지는 문제가 나오면 반드시 표를 그려야 한다.

예를 들어 이 문제를 보자.

<10초>

이 문제는 어렵지 않으니 바로 시작해보겠다.

아까 말했다시피 남학생과 여학생으로 반반 나뉘어져 있는 문제이기때문에

무조건 표를 그려야한다.

일단 표를 그려놓자.

첫번째 줄에 남학생과 여학생 수를 채우고

세네번쨰 줄에 주어진 값을 표에서 찾아 적자.

여기 채워넣는 것은 초등학생도 할 수 있을 것이라 생각한다.

못한다면.. 미안..해요.. 쨋든

다음 빈칸들을 계산을 통해 채워넣으면 다음과 같다.

마지막으로 한 학생이 중국어 수업을 받을 때 여학생을 확률이므로

때 앞에서 끊고 중국어 수업을 받는 학생을 분모, 뒤에 있는 여학생 수를 분자에 적으면

21분의 9 즉 7분의 3이 답이 된다.

정말 쉬운 문제인데 이게 2006년 수능 나형 26번 문제였다.

 

이 문제를 보고 학교에서 분명히 개념을 배웠음에도

문제를 풀지 못하는 학생들이 있다.

하지만 표를 그려서 문제에서 주어진 것부터 차례로 적고

계산할 수 있는 것은 계산하여 칸을 채우고

채울 수 없는 곳에 문자를 사용하면

문제를 풀 수 있는 식이 나오게 된다.

어떤 문제는 더욱 간편하게 풀리기도 한다.

이 표는 나중에 사건의 독립에서 더욱 강력하게 사용되는데

그 내용은 나중에 다루도록 하겠다.

 

다음은 그림 그리기다.

그림을 그리면 문제를 전체적으로 이해하기 쉽고

그림을 정확하게 그리면 답이 어떻게 되는지를 알 수 있다.

때에 따라서는 대강 그려도 문제를 풀기 위한 생각이 떠오르기도 한다.

그런데 여러분들은 그림을 진짜 못 그린다.

이래서 미술시간에 비교과라고 깝치면서 수학문제 풀지 말고

미술 수업을 열심히 들어야하는 것이다.

그림을 그리는 팁을 주자면

그림은 최대한 간단하게 그려야 한다.

기하문제를 예로 들어보겠다.

한번 문제를 읽어보자. <20초> <10초 후 글 읽기>

이 문제를 보고 수학을 못하는 학생은 그냥 풀지도 않고 포기하고

수학을 잘하는 학생은 열심히 구를 그리기 시작한다.

<또 10포>

그런데 이 문제의 풀이를 한번 해보겠다.

(따라라 따라라 따라라 쿵짝짝 쿵짝짝 어 사쿠라네)

자 그림을 보면 난 3차원 그림을 그리지 않았다.

그림을 그릴 때는 항상 간결하게 그려야한다.

우리는 3차원에 살지만 종이는 2차원이다.

그렇기 때문에 우리는 그 단면을 관찰하여

2차원 그림을 그리면 문제를 쉽게 풀 수 있다.

그림을 그릴 때 항상 기억해야할 것은

최대한 간단하게 단면만 관찰하자.

단면이라 하면 칼로 케이크를 자르고 난 면을 관찰하듯

그림을 우리 눈에 보이게 그리는 것이다.

이 것만 머리속에 박아 두어도 몇 문제는 더 맞출 수 있다.

그림 그리기에는 벤다이어그램도 들어가지만

대게 기하에서 많이 다루므로 집합은 나중에 다루도로 하겠다.

 

 

마지막으로는 거꾸로 풀기이다.

여기는 조금 어려울 수 있는 풀이방법이다.

결론에서 출발하여 가정으로 사고를 진행시키는 것이다.

예를 들어보자.

눈금이 없는 4리터와 9리터 통이 있을 때

6리터를 어떻게 만들 수 있을까?

(10초)

페북이나 티비에서 자주 보던 문제이다.

될 때까지 이것저것 시도해보면 답이 나올 것이다.

하지만 우리가 시험장에서도 될 때까지 시도해보기엔

시간에 대한 리스크가 커진다.

이때 거꾸로 한 번 생각해보자.

6L짜리 물을 만들어야한다. 그렇다면

이 물은 마지막에 4L통과 9L통 중에 어디에 있어야 할까?

(3초)

당연히 9L 통에 있어야한다.

그렇다면 9L통에 어떻게 하면 6L를 만들 수 있을까?

(3초)

3L만 버리면 될 것이다.

그런데 4L통에 3L를 버릴 수 있다는 것은

다르게 말하면 4L통에 1L가 미리 담겨져 있다는 것이다.

1L는 어떻게 만들 수 있을까?

(3초)

9L를 가득 채운다음 4L통에 2번 부으면 1L가 생긴다.

 

이제 이 과정을 반대로 적어본다면 정답이 된다.

거꾸로 풀기 방법이 가장 극적으로 적용되는 곳은 정당화

즉 증명을 할 떄이다.

증명을 하기 싫어하는 사람들이 많아 여기서 다루진 않겠지만

나중에 수학적 귀납법이나 직접증명법을 설명할 기회가 있다면

거꾸로 풀기를 이용햅 보도록하겠다.

 

이렇게 다섯가지 방법에 대해 알아보았다.

사실 이미 알고 있었는데 하는 것들이 많았을 수도 있지만

알고 있더라도 계속 써먹어보지 않으면

가끔씩 문제가 안풀리기도 한다.

항상 이 다섯가지 방법에 대해 생각해두고

문제가 풀리지 않을 때 한번씩 사용해보길 바란다.

 

오늘 수업은 여기까지

예상과 확인

표 만들기와 그림그리기

규칙성 찾기

거꾸로 풀기

특수화 하기