로또 당첨금을 최대한 끌어올리는 방법 (feat. 베르트랑의 역설)

복권이 당첨되는 것은 우리 모두의 희망이다.

복권만 당첨되면 아침마다 일어나서 출근할 필요도 없고

세계 여기저기를 평생 여행다녀도 되고 건물주가 될 수도 있다.

 

나도 매주 복권을 사는데

수학전공자로서 복권을 수학적으로

그리고 효율적으로 하는 방법과

숨어있는 수학적 사실에 대해

내가 아는 사실을 모두 공유해주겠다

복권을 정말 제대로 할 생각이 있다면

도움이 될 것이라 생각한다..

 

먼저 여러분들이 인문계 고등학교를 졸업했다면

로또의 당첨될 확률쯤은 쉽게 계산할 수 있을 것이다.

우리나라 로또는 45개의 숫자 중에서 6자릴 맞춰야 한다.

따라서 서로 다른 45개 중 6개를 선택한다.

45combination6을 하면 814만 5천 60

약 800만분의 1이다.

이렇게 말하면 뭐 번개를 몇번 맞았냐느니 이러는데

마음에 와닿지가 않는다.

그래서 비유해보자면

여러분이 걸어가다가 정말 마음에 드는 이성을 만났다고 하자.

그래서

저 정말 마음에 들어서 그런데

전화번호 좀 알려주실 수 있을까요?

했더니

어머 제 번호는 010이고 마지막 자리 번호는 9예요

나머지는 찍어서 맞춰보세요 데헷~^^

이랬을 때

내가 그 사람 번호를 찍어서 맞출 확률이다.

 

왜냐하면 010 후 맨 첫자리는 0과 1일 수 없으므로 8가지

그리고 나머지 7자리는 각각10개이므로 경우의 수가 딱

800만가지이기 때문이다.

 

갑자기 복권하고 싶은 마음이 싹사라질 것이다.

누가봐도 맞출 수 없다는 생각이 바로 들기 때문이다.

그런데 매주 통계적으로 사람들은

약 8천만번에서 9천만번정도 이 확률에 도전하기 때문에

이항분포에 따르면 매주 약 10명 정도 1등 당첨자가 생긴다.

아무리 적은 확률이라도 그 보다 많은 경우를 시도하기 때문에

성공하는 사람이 존재한단 말이다.

 

그렇다면 어떻게 이 복권에 임해야 합리적일까?

주변에 수학전공자들에게 복권을 하냐고 물어봤을때

보통 답변이 3개로 갈린다.

 

첫번째는 아예 안하는 경우이다.

복권의 경우 기댓값은 어렵게 계산할 필요없이

복권사업 운영기금과 세금을 제하고 나머지를 당첨자들이 나눠 갖기에

약 400원정도이다.

즉 1000원을 내면 400원을 받는 게임인 것이다.

그러므로 수학적으로만 본다면

복권을 사는 행위 자체가 돈을 잃는 행위이다.

 

두번째는 1장 즉 1000원만 사는 경우이다.

1장을 사는 행위 자체는 1등에 당첨될 확률을

0에서 800만 분의 1로 올려준다.

0을 800만 분의 1로 만드는 비율은

옳지 않은 표현이긴 하지만 무한대의 당첨 확률 상승을 불러일으킨다.

이는 시도 자체를 했다는데 의의를 가질 수 있다.

도전하지 않으면 아무것도 일어나지 않지만

도전하는 행위자체가 변혁을 일으킬 수 있으니 말이다.

 

마지막으로는 2장을 사는 경우이다.

한장을 사는 것이 행위 자체에 의미와

비율적으로 무한배의 성공확률 상승을 갖는다면

2장을 사는 것은 1등이 될 확률을 400만 분의 1로 증가시키는

즉 2배의 상승효과를 불러일으킨다.

이는 산술적으로 다른 경우보다 가장 큰 확률의 상승을 불러일으킨다.

 

이 외에는 수학 전공자라도

술먹고 기분 좋아서 지르는 경우말고는 본 기억이 없다.

따라서 여러분들이 복권을 구매하기 전에

저 세 경우 중 어디에 초점을 맞출 것인지 생각해보길 바란다.

 

아 참고로 나는 매주 한장만 산다.

복권은 수학으로는 풀 수 없는 희망을 주잖아요 그쵸?

 

 

다음은 복권의 당첨금에 관한 이야기이다.

복권의 당첨금은 얼마일까?

800만분의 1의 확률에 1000원을 투자하므로

800만 *1000원 즉 80억이어야한다.

하지만 내가 복권을 사면 절반이 복권사업 운영비 및 세금

그리고 1등만 돈을 받는게 아니므로 각 등위별 당첨금액을 제하면

결과적으로 실수령액은 약 30억 전 후로 결정되어야 한다.

하지만 최근 당첨액을 조사해보면 훨씬 적은 금액을 받는 경우가 더 많다.

왜 그럴까? 사실 이유는 간단하다.

내가 혼자 당첨이된다면 상금을 혼자 독식할 수 있다.

하지만 나와 같은 번호를 많이 선택할 수록

당첨이 되었을 때 받는 돈은 줄어든다.

 

여기가 중요한 사실이다.

내가 1,2,3,4,5,6을 찍었을 때와

6,13,20,27,34,41을 찍었을 때 당첨될 확률은 어떻게 될까?

(10초)

 

당연히 독립시행의 확률이므로

두 번호 모두 당첨될 확률은 같다.

복권의 추첨은 완벽한 무작위성을 가정할 때

독립사건이므로 모든 경우가 발생할 가능성은 동등하기 때문이다.

자 그렇다면 당첨이 되었을 때 저 두 경우 중

우리 혼자 당첨될 수학적 확률은 어떻게 될까?

(10초)

 

대게 우리는 공부를 열심히해서

두 번호가 나올 확률이 같다는데 동의한다.

그래서 두 경우가 나올 확률이 같으므로

어떤 수를 고르던지 우리 혼자 당첨될 확률은 사실 같다.

이상적으로는 말이다.

 

하지만 사람들이 너무나 똑똑한 나머지

현실은 1,2,3,4,5,6이 나올 확률도 같다고 생각하며

영국기준으로 매회 200명 정도가 1,2,3,4,5,6을 찍는다고 한다.

이때 만약 당첨이 된다면 돈을 200명이 나눠서 가져야하므로

당첨금은 엄청 줄어든다.

 

그렇다면 어떤 번호를 골라야

나 혼자만 당첨될지 생각해보자.

자 여기 5개의 숫자 조합이 있다.

여기서 여러분들이 뽑고 싶은 숫자조합과

절대 뽑고 싶지 않은 숫자조합을 각각 골라보자.

다른말로 여러분들이 선택하지 않을,

절대 저 번호는 로또 번호가 안될 것 같은 번호와

1등이 될 것같은 번호를 뽑아보자.

 

대게 두 번째 숫자조합이 제일 사람들이 뽑지 않을 것이라 추측했을 것이다.

왜그러냐 하면 번호가 극단적으로 몰려있기 때문이다.

이전에 벤포드의 법칙 영상에서도 봤듯이

사람들의 주관이 들어가면 번호가 일정하게 나오는

즉 충분히 흩어지게 배치를 하게 된다.

따라서 여러분이 로또가 선택한

1등이 될 것같은 번호는

극단적으로 몰려있는 번호가 아닌 분산이 큰 번호들이다.

 

그렇다면 아까도 말했듯이

모든 사람들이 분산이 큰 번호들을 찍는다면

난 어떻게 번호를 골라야할까?

당연히 그 남들이 찍지않는 번호를 골라야

아무도 같은 번호를 찍지 않을 것이므로

나의 당첨금 기댓값을 최대한으로 올릴 수 있다.

즉 여러분들이 생각했을 때

절대 1등이 안 될 것 같은 번호로 로또를 해야지

당첨되었을 때 당첨금이 올라간다.

 

그래서 의도적으로 6개 중 2,3개의 번호를 붙여놓는 방법이

당첨이 되었을 때 당첨금을 많이 받을 수 있게된다.

아니면 이렇게 나의 의도가 들어가는 순간

이상적 세계와 실제 현실 세계와 괴리가 생기기때문에

아예 랜덤번호를 선택하는 방법이

나의 의도를 완벽히 배제할 수 있으므로

당첨금을 높일 수 있는 좋은 방법이 된다.

수학적으로 현재까지 모든 로또 번호들의 흩어진 정도

즉 표준편차를 알아보면 다음과 같다.

수학적으로 표준편차의 평균은 13에 근사하지만

개별의 표준편차는 13에서 다소 멀리 떨어져있다.

여러분들이 찍은 무작위 번호의 분산값이

13과 얼마나 다른지 계산해보길 바란다.

 

 

 

마지막은 정말 신기하지만 전문적인 영역이므로

설명을 건너뛰고 싶다면 조금 넘겨서 결론을 봐도 좋다.

여러분들은 확률이 모든 상황에서 정말 일정할 것이라 생각하는가?

 

자 다음 문제는 베르트랑의 현 Bertrand의 현이라고 부르는 패러독스

라고 하는데 문제를 읽고 확률을 한 번 계산해보자.

 

시간을 두고 풀든

아니면 찍든

여러분의 답이 맞는지 확인해보자.

 

첫번째 풀이이다.

현의 종점을 무작위로 놓는 (random endpoint) 해법으로

그림과 같이 현의 시작점을 삼각형의 한 꼭짓점으로 하자.

이 경우 현이 삼각형의 한 변보다 길어지기 위해서는

시작점의 반대쪽에 있는 변을 지나야 한다.

이 조건을 만족하기 위해서는 현과 시작점에서의

원의 접선이 이루는 각도가 60~120도가 되어야 한다.

현을 정의할 수 있는 각도는 0~180도 이므로

60/180 = 1/3.이 나온다.

 

두번째 풀이이다.

현과 원의 중심 사이의 거리를 무작위로 놓는 (random radius) 해법으로

그림과 같이 삼각형의 한 변과 평행한 현을 생각하자.

이 경우 현이 변보다 안쪽에 있어야 변보다 길어질 수 있다.

원의 내접 정삼각형의 변은 반지름을 이등분하므로 1/2이 나온다.

 

세번째 풀이이다.

현의 중점을 무작위로 놓는 (random midpoint) 해법으로

삼각형에 내접하는 원을 그리고,

바깥쪽 원에 임의의 현을 하나 놓는다.

삼각형의 한 변의 길이보다 긴 현은 안쪽 원을 지나며

현의 중점은 안쪽 원 안에 있다.

다른말로 현의 중점이 안쪽 원에 놓일 확률을 구하면 된다.

안쪽 원의 반지름은 바깥쪽 원의 반이므로

넓이의 비는 길이의 비의 제곱

즉, 넓이는 4배 차이

1/4이 답이된다.

 

충격적인가? 한번 더 질문해보겠다 셋 중에 어떤게 답일까?

수학의 민주화를 이룩하기 위해

오른쪽 카드로 투표해서 답을 정해보도록하자.

 

이렇게 답이 여러가지가 나오는게

확률과 통계가 수학이 아니라고 하는 이유 중 하나이다.

기하학적 확률 = 전 영역의 크기분의 특정한 사건의 영역의 크기라는

논리적인 방법으로 풀었지만 여러 가지의 답이 나온다

그렇다면 우리는 이 중에 어떤 것을 답이라고 생각하고 세상을 살아가야할까?

양자역학에서도 그 위치에 있을 확률을 계산할 수 있는데

이건 그 확률 값마저 정해지지 않으니 말이다.

 

확률의 고전적 정의로만본다면

수학적으로는 셋 다 정답이 되고

아직까지 어떤 것이 정확한 확률인지 해결되지 않았지만

현실세계에서는 2번 문제만 답이 된다.

왜냐하면 중력이 작용하면서 2번경우만이

통계역학이나 가스 물리학, 고전역학으로 확률을 구하는 실험에서

특정 물리적 시스템에 존재하는 변형 불변량을 충족시키는

유일한 솔루션이기 때문이다.

다른말로 1번과 3번은 절대로 일어날 수 없음이 밝혀졌다.

그래서 나머지 답들은 수학적으로는 존재하나

우리가 사는 세상에서는 존재할 수 없는 확률이다.

 

갑자기 이런 이야기를 왜 하냐 생각하겠지만

다르게 물어보자.

정말 45개의 공이 실제로 뽑힐 확률이 같은가?

공의 모양도 완벽한 구가 아니며

밖에 붙은 숫자들이 다르므로 모양 질량 밀도 등도 다르다.

심지어 처음에 공을 넣은 순서에 따라 확률이 달라질 수 있다.

그렇다면 이런 이유를 고려해봤을 때

애초에 잘 나오는 수들은 우연이 아니라

필연적으로 즉 물리적으로 잘 나온다고 생각할 수 있지 않을까?

수학적으로는 동등하지만

물리적으로는 반드시 다른 확률로 공이 뽑힌다는 것 말이다.

여기는 추측의 영역이므로 실제 통계치만 정리해주도록 하겠다.

 

여기까지 로또에 대해 알아보았다.

조합으로만 로또를 바라보았다면

조금 당황스러울 수 있는 결과가 있었을 것이다.

현재 우리가하는 로또는 사실 비복원추출이기때문에

더 엄밀하게 확률값을 보정해야하지만

이는 전문가의 영역이므로 여기까지만 하도록하겠다.

 

마지막으로 현재까지 내용을 4줄 요약하겠다.

복권 1등 당첨 확률은 전화번호를 찍어서 맞출확률과 비슷하다.

복권은 사지말거나 한장 또는 두장만 사자.

당첨금을 높이고 싶다면 몇몇 번호를 일부로 붙이던가 랜덤을 사용하자.

현재까지 통계로 나온 번호 분포로 번호를 추측하는게 생각보다 유의미할 수 있다.

 

앞으로 영상 업로드가 안된다면

1등 당첨된거라고 생각해주길 바란다.

오늘 수업은 여기까지