잠이 잘 오는 수학자 이야기 - 기원 전 (탈레스, 피타고라스, 에우독소스, 유클리드, 아르키메데스, 에라토스테네스, 아폴로니우스)

수학책에서 보는 많은 수학자들의 전설들과

일화, 업적들에 대해

시간 순으로 알아보도록하겠다.

기원 전으로 가보자.

 

 

 

(BC 624? ~ BC 545?)

탈레스

현재까지 알려진 철학자 중 가장 오래된 고대 그리스의 철학자이자

밀레토스 학파의 창시자이다.

만물의 근원은 물이라는 말로 유명하다.

피라미드의 높이를 처음으로 재고

지름의 원주각이 직각이라는 것을 증명한 것으로 시작하여

증명이라는 개념을 최초로 제시한 인물로 거론되고 있다.

플라톤의 저서 테토스에 따르면

탈레스가 하늘의 별을 쳐다보다가 우물에 빠졌다고 전해진다.

탈레스가 하늘에 떠다니는 것을 알려는 열망이 너무 강해서

자신의 발 앞에 있는 것을 볼 수 없었다고 한다.

…. 이때부터 수학자들이 제정신은 아니었던 것 같다.

아리스토텔레스의 『정치학』에보면

‘탈레스는 가난 때문에 많은 비난을 받았다고 전해진다.

가난 한 것은 죄가 아니지만

주변 사람들이 일은 안하고 공부 즉 철학만 하니까

가난하게 산다고 비난 했었다고 한다.

지금이랑 별반 다를거 없어보이는데

쨋든 어느해 탈레스는 기상학적 지식을 이용해

다음 해 올리브 풍작을 확신했고

올리브 기름을 짜는 기계의사용권을 대거 예약했다.

여름이 되자 갑작스럽고도 동시적인 수요가 생겨났다.

탈레스는 선약해 두었던 기계를 비싼 값에 모두 풀었다.

우리가 보는 주식선물시장을

기원전 600년에 처음으로 선보인 것이다.

이렇게 갑부가 된 탈레스는

공부만 하는 것이 전혀 쓸모 없는게 아니라는 걸

모든 사람들에게 보여주었다.

 

 

 

(BC 570? ~ BC 490?)

피타고라스 Pythagoras

이오니아의 그리스 철학자이자,

피타고라스 학파라 불린 종교 단체의 교주이다.

아마 가장 유명한 수학자 일 것이라 생각한다.

수학을 아냐를 판단하는 기준으로

대게 피타고라스 정리를 물어보는데

그 정리를 처음으로 증명한 사람이다.

피타고라스는 직각삼각형의 빗변의 제곱이

직각을 둘러싼 각변의 제곱의 합과 같다는 것을 발견하고

황소 100마리를 제물로 바쳤다라고 한다.

나와 동년배라면 정주영 회장님이 생각날 것이다.

여기서 피타고라스가 이 성질을 처음 발견했구나

생각하는 사람들이 있는데

피타고라스가 태어나기 전에도 3,4,5 / 5,12,13과 같은

피타고라스 수들이 적힌 점토판들이 있었다.

즉 피타고라스의 업적은 그 전까지 사람들이 왜 이런 숫자조합이

직각삼각형을 이루는지 몰랐는데

왜 그렇게 되는지 최초로 증명해냈다는 것이다.

다들 알다시피 피타고라스의 정리에 따르면

1,1,루트2와 같은 무리수들이 존재한다.

그런데 피타고라스뿐만 아니라 고대 그리스 인들은

모든 수가 분수로 표현 가능하다

즉 모든 수는 유리수라고 생각했는데

무리수가 튀어나오자 당황하기 시작했고

무리수가 존재한다고 생각하는 자신의 제자들을

임막음 하기 위해 암살했다는 썰이 있다.

음악에도 일가견이 있었는지,

어느 날 대장간 앞을 지나다가

장정들이 망치로 무쇠를 두들기는 소리를 듣고 삘이 꽂혀서

순정률과 피타고라스 음률을 만들었다는 전설이 있다.

맨 처음에 피타고라스가 교주였다는 말을 잠깐 했는데

교리에 대해서 알아보니

하나는 영혼의 윤회를 믿는 것이고,

다른 하나는 콩을 먹는 것을 죄악시하는 것이다.

그러나 갱생되지 못한 사람들이 콩을 동경하는 바람에

반역을 저질러서 종교는 그렇게 오래가지는 못했다한다.

거짓말 아니다. 진짜다.

콩이 2번 나온건 기분탓이다.

 

 

 

BC 390 ~ BC 337

에우독소스

현재 터키 지역인 소아시아 남서 지역의 크니도스에서 태어난

고대 그리스의 수학자이자 천문학자로 플라톤의 제자이다.

그의 모든 저서는 소실 되었지만,

일부 단편들이 히파르코스의 천문학에 대한

아라토스의 시 논평 속에 남아 있다.

천동설 천체 모형의 원형을 만들어서

26개의 행성의 운동을 설명하고,

1년을 365일 6시간으로 계산하였다.

수학에서는 비례식을 이용하여

유리수의 길이를 갖는 정사각형의 대각선은

무리수의 길이를 갖는다는 것을 발견했다.

유명한 이야기로 델로스 신전이야기가 있는데

3대 작도 불가능 문제이다.

고대 그리스의 델로스 섬에 갑자기 전염병이 돌았는데

그리스인들은 전염병을 종식시킬 해법을 찾기 위해

델포이의 아폴론 신전에 빌었다.

신탁에서 제단의 크기가 작다고

정육면체의 제단의 부피를 2배로 늘리라고 했다.

그러자 그리스인들은 제단 각 변의 길이를 2배로 늘렸고

전염병은 계속 되었다.

알다시피 각 변의 길이를 2배로 늘리면

부피가 8배로 늘어나 버리기 때문이었다.

이런 제단을 눈금없는 자와 컴퍼스로 만드는 것은

1837년에 피에르 방첼이 작도불가능하다고 증명했다.

하지만 신탁에서는 눈금없는 자와 컴퍼스로 만들라는 말은 없어서

에우독소스는 자신만의 방법으로 세제곱근 2의 값을 만들어서

부피가 2배인 제단을 만들어 버린다.

또한 실진법을 이용하여 원뿔의 부피는

같은 반지름과 같은 높이를 가진

원기둥 부피의 3분의 1이 되는 것을 증명했는데

안타깝게도 이러한 성과는 유클리드의 책에 기재되어있다.

 

 

 

 

BC 365?~ BC 275?

유클리드 euclid

고대 그리스 수학자로 그리스어로는 '에우클리데스(Ευκλείδης)라 불린다.

이집트 수학자였을 가능성도 있는데

어느 나라 수학자인지 확실히 밝혀진 것은 없다.

그는 기하학의 아버지로

수학 역사상 손꼽히는 유명한 저서인

'원론'을 남겼다.

성경 다음으로 많이 읽혔다는 이 원론은

총 13권으로 구성되어 있다.

당시까지 밝혀진 기하학과 정수론의 내용들을 다뤘는데,

10개밖에는 되지 않는 공리들에서

465개나 되는 명제들을 유도해냈다.

자신의 독창적인 내용들은 별로 없지만,

일정한 공리에서부터 결과를 이끌어내는

논리적인 전개는

공리 체계에 바탕을 둔 근대 수학이

이 원론에 근원을 두고 있기 떄문이다.

현재 중고등학교때 배우는 평면 기하는

모두 이 책에 기반하고 있다 생각하면 편하다.

옛날 사람들은 이 원론을 달달 외워서

몇 장 몇 번째 정리가 뭐냐 물어봐서

얼마나 정확하게 알고있는지를 가지고

수학을 잘하는지 못하는지 평가했다고 한다.

유명한 일화로는 프톨레마이오스 왕이 유클리드에게

기하학이 어렵다고 쉽게 하는 방법이 없냐구 물어보니까

기하학에는 왕도가 없습니다. 라는 말을 남긴 것으로 유명하다.

공부엔 왕도가 없다고

공부 잘하려면 열심히 노오오력 하는 방법밖에 없다는

오래된 격언인데 꼰대새끼

 

 

 

(BC 287~ BC 212)

아르키메데스 Archimedes

고대 그리스 마그나 그라이키아의 일부였던 시라쿠사 출신의 수학자이다.

3대 수학자를 뽑을때 종종 언급되는 인물이다.

원의 지름과 원주의 길이를 직접 비교하는 방법이 아닌

수학적인 증명으로 원주율의 근사치를 최초로 계산하였으며

구분구적법을 이용하여 적분을 발견했다.

워낙 유명한 수학자라서 일화가 너무나도 많다.

시라쿠사의 왕 히에론 2세가

순금관을 장인에게 만들게 했는데,

장인이 순금을 삥땅쳐서 만들었다는 소문이 돌자

아르키메데스를 불러 순금관의 진위여부를 판단하게 했다.

아르키메데스는 순금관을 갈라볼 수도 없고

어떻게 할지 고민하다가 쉴겸 목욕탕에 갔는데

물 속에 몸을 넣자 넘쳐 흐르는 물을 보고

부력의 원리를 생각해내 "유레카"를 외치며 뛰쳐나갔다.

곧바로 왕관과 똑같은 무게의 금을 준비해

각각을 물에 담궈서 넘쳐 흐르는 물의 양을 비교해서

왕관에 금이 아닌 불순물이 섞여있다는 사실을 밝혀냈다.

이 이야기가 너무나 유명해서 부력의 원리를

'아르키메데스의 원리'라고 부르기도 한다.

제2차 포에니 전쟁에서 시라쿠사는 아르키메데스가 만든

지렛대와 도르래의 원리를 이용한 투석기와 기중기, 청동 거울들로

로마 배들들 부수고 불태웠다고 한다.

또한 모래에 박힌 군함을 물에 띄우지 못하고 있었는데

아르키메데스가 지렛대를 이용해

군함을 바다에 띄우고 나서 놀란 왕을 보고

"제게 긴 지렛대와 지렛목만 주신다면

지구라도 들어 올려 보이겠습니다"라고 했다.

(증명시작)

결론적으로 지구를 1cm들기 위해서는

광속으로 아르키메데스가 반대편 지렛대를 눌렀을떄

백만년이 걸린다.

허세가 좀 심하다.

플루타르코스 영웅전에 따르면 시라쿠사가 함락될 당시

아르키메데스는 기하학 문제를 놓고 고심하고 있었다고 한다.

로마 군인들이 아르키메데스에게 찾아와

로마의 장군 마르켈루스를 접견하라했지만

아르키메데스가 문제를 푸는 도중이라며 거절하자

이에 격분한 군인이 아르키메데스를 칼로 찔러 살해하였다고 한다.

썰로는 군인이 모래판 위의 원을 밟아서

아르키메데스가

아 씨발 그 원 좀 밟지 말라고 개새끼야라고 소리치니까

빡돌아서 죽여버렸다고 하는데

수학자들 진짜… ㅋㅋ

아르키메데스는 처음 말했듯이

원주율과 적분에 대한 기초를 세운 것으로 유명한데

묘비에는 원기둥과 구의 부피를 나타내는 그림이 새겨져있다.

구의 부피는 같은 높이의 원기둥의 부피의

2/3이란 것을 증명했다고 전해진다.

 

 

 

(기원전 274년 ~ 기원전 196년)

에라토스테네스

고대 그리스의 수학자이자 천문학자이다.

헬레니즘 시대 이집트에서 활약했으며,

헬레니즘 시대 학문 다방면에 걸쳐 업적을 남겼다.

손을 댄 학문들에서 최고는 아니더라도 꽤 준수한 실력자였는데

딱히 1등인 분야가 없어 다른 학자들에 의해

'언제나 2등' 이라는 뜻인 'β(베타)'라고 불리게 되었다고한다.

(그당시 알파는 플라톤)

근데 지금와서 보면 손 댄 분야에서 단연코 알파다.

에라토스테네스의 체는

에라토스테네스가 고안했다고 여겨지는 소수 판정 방법으로,

자연수를 순서대로 늘어놓은 표에서

합성수를 차례로 지워나가면서 소수 목록을 얻는 것을 말한다.

사람들이 제일 많이 알고있는 업적은 지구의 둘레를 계산한 것인데

시에네, 현재의 아스완에서

하지날에 태양빛이 우물의 바닥까지 닿는다는 것을 전해 듣고,

해가 가장 높이 떴을 때의 고도가 90도가 된다는 것을 알아차렸다.

이로부터 지구의 크기를 계산할 수 있다생각하고

알렉산드리아에서는 하짓날의 남중 고도는 82.8도이며,

시에네와 알렉산드리아의 위도의 차이를 이용하여 지구의 둘레를 구해냈다.

월식 때는 달이 완전히 그림자에 가려지는 시간과

다시 완전히 밝아지는 시간 차이를 이용하여

달의 지름이 지구의 0.25배임을 밝혀냈다.

실제로는 약 0.273배인데, 그 시대의 과학 기술 수준을 고려하면

굉장히 정확한 계산이다.

 

 

 

(기원전 262년~BC190?)

아폴로니우스

이차곡선을 집대성하고

아폴로니우스의 원과 중선정리를 발견한 그리스 페르게의 수학자이다.

아폴로니우스는 논문 제Ⅰ권에서 모든 이차곡선을

오늘날에 흔히 하는 것처럼

절단면과 원뿔면이 평행하게 잘라 포물선을 만들고

절단면이 원뿔면과 더 기울어져 있으면 타원을 만들고

덜단면이 원뿔면보다 덜 기울어져 있으면

쌍곡선을 만든다는 사실을 밝혀냈다.

이 성질을 이용해 아폴로니우스는

타원(ellipse), 포물선(parabola), 쌍곡선(hyperbola)이라는 이름을 붙였다.

현재 고1 때 배우는 평면 위의 두 정점 A, B에 대하여

길이의 비가 일정한 점은 원을 만든다는

아폴로니우스의 원도 최초로 정리했다.

흔히 우리가 파푸스의 중선정리 또한

아폴로니우스가 최초로 정리했는데

현재 우리나라와 일본에서만

파푸스의 중선정리로 불리고 있고

다른 나라에서는 아폴로니우스의 정리 또는 스튜어트의 정리로 불리고 있다.

우리나라 수학이 일본에서 번역해온 것이 많다보니까

이렇게 잘못된 용어들이 많은데

참으로 안타까운 현실이 아닐 수 없다.

그래서 개인적으로 수학을 가르칠 때

용어의 의미를 잘 살리려면 영어나 라틴어로 해야한다고

꼭 영어 설명을 덧붙이긴 하는데

뭐 이래나 저래나 안듣는다.

 

원래는 한꺼번에 다 정리해보려했는데

수학자들이 워낙 많아서 다음시간에는

기원 후부터 다뤄보도록 하겠다.

오늘 수업은 여기까지