급수의 수렴, 발산을 바로 확인하는 법 (feat. 조화급수, 그랜디급수, 등비급수, 교대급수)

티끌은 모아 태산이냐

티끌은 모아봤자 티끌이냐

 

급수한 수열의 모든 항을 더한 것을 의미한다.

영어로는 Series라고 부른다.

급수는 수열의 모든 항을 더하다보니 그 값이

어떤 일정한 값으로 수렴할 수도 있고

아니면 발산할 수도 있다.

 

지금부터 고등학교에서 다룰법한 급수들을 모두 다뤄보도록하겠다.

첫번째로 다룰 것은 조화급수이다.

서메이션 엔분의 일인데 이 급수가 수렴할까 발산할까 추측해보도록하자.

이 급수를 처음보게 된다면

0으로 수렴하는 아주 작은 숫자를 계속 더해가므로

수렴한다고 생각하는 사람도 있을 것이고

아무리 작은 숫자라도 계속 더하니까

발산한다고 생각하는 사람도 있을 것이다.

증명해보자

먼저 이 숫자의 합은 아래식보다 더 크다.

3분의 1은 4분의 1보다,

5분의 1, 6분의 1, 7분의 1은 각각 8분의 1보다 큰 수이기 때문이다.

그런데 저 아래식은

4분의 1을 2개 더하면 2분의 1이고

8분의 1을 4개 더해도 2분의 1이므로

1에 계속 0.5씩 더해진다.

그렇다면 느리긴하지만 계속 0.5씩 더해지는 수이므로

수렴하지않고 발산한다.

그런데 우리가 구하고자하는 조화급수는

발산하는 식보다 더 크므로 발산한다고 볼 수 있다.

 

그렇다면 이 문제를 조금만 변형해보자.

서메이션 엔 제곱분의 1은 수렴할까 발산할까

방금 전에 아무리 작은 수를 더하더라도 발산하는 식을 봤기에

이 급수는 발산할 것이라고 생각할 수 있겠지만

이 급수는 수렴한다.

수렴하는 급수하면 수렴값이 존재할텐데

이 급수의 수렴값은 신기하게도 6분의 파이제곱이다.

처음 이 급수의 수렴값을 봤을 떄 너무나 충격먹었었는데

유리수를 무한히 더했더니 무리수가 나오는 것도 신기했지만

그 무리수가 특별하게 원주율과 관련된 식이라는게 믿기 힘들었다.

그래서 처음엔 사기치는건가 생각했는데

나중에 대학교 4학년때 실제 수렴값을 찾아나서는

그냥 미쳤다는 말밖에 안나왔다.

증명을 하기엔 그 전에 할게 너무나 많아서

일단은 저 값을 기억해두는 것만 하길 바라겠다.

중요한것은 저 수렴값이 아니라

이 급수가 수렴한다는 사실이기 때문이다.

수렴한다면 수렴값은 컴퓨터를 돌려서라도 근삿값을 구할 수 있기에

일단 급수가 수렴하는지 아닌지를 먼저 판단해야한다.

우리가 고등학교 과정에서 급수가 수렴하는지 아닌지만 알아도

문제를 굳이 풀지 안풀지 결정할 수 있다.

 

이처럼 급수가 수렴하는지 아니면 발산하는지 알려주는 방법을 보고

급수의 수렴판정법(Test)라 한다.

이런 Test들 중 방금 앞에서 했던 급수들을 바로 판단할 수 있는 것을

P-test라 부른다.

P-test는 일반항이 엔의 피제곱 분의 1꼴일때,

P가 1보다 작거나 같으면 발산하고

P가 1보다 크면 수렴한다는 정리이다.

위의 서메이션 n분의 1은 p가 1이므로 발산하고

서메이션 N제곱분의 1은 p가 2이므로 수렴하는 것이다.

그렇다면 서메이션 루트n분의 1과

서메이션 엔세제곱분의 1은 수렴할까 발산할까?

서메이션 루트n분의 1의 p값은 2분의 1이므로

1보다 작고 따라서 발산한다.

반대로 서메이션 엔세제곱분의 1의 p값은 3이므로

1보다 크고 따라서 수렴한다.

여러분이 문제를 보면서 수렴과 발산을 급하게 따져야할 때

고등학교 수준의 급수들은 대게 분모가 다항함수꼴이므로

P-test가 효과적으로 작용할 수 있다.

그리고 이건 모두 알고 있을 것 같은 Tip이지만

문제에서 값을 구하시오란 문제가 나오면

이 문제는 반드시 수렴하는 문제이다.

왜냐하면 발산한다면 값이 존재할 수 없고

따라서 발산하는데 값이 존재하냐고 질문하는 것은

출제자가 병신이라는 소리이다.

만약 발산한다면 문제는 값을 구하라고 내지않고

수렴, 발산은 조사하고 수렴한다면 수렴값을 찾으시오

라고 문제가 나오게 된다.

어찌보면 우리가 지금 다루는 수렴판정법보다

더욱 확실하게 수렴, 발산을 따질 수도 있다.

그래서 객관식 문제라면 수렴한다 믿고

굳이 수렴여부를 조사할 필요없이 빠르게 답을 찾자.

 

다음은 그랜디의 급수이다.

서메이션 -1의 엔제곱은 수렴할까 발산할까? (10초)

이 식을 두개씩 묶게되면

S = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0

라고 정리할 수 있으므로 이식의 결과 값은 0이다.

그런데 만약 이 식을 1을 제외하고 묶게되면 어떻게 될까?

처음에 1일 제외하고 묶게되면 1+0000으로 바꿀 수 있으니

이 식의 결과 값은 1이 나오게 된다.

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1

자 이 둘 중 답은 어떤 것일까?

여기서 한가지 더 새로운 결과를 보여주겠다.

S=1-1+1-1+1-…

S= 1-1+1-1+..

라고 쓴 다음 두 식을 더하게 되면

2S=1이므로 S=1/2이다.

자 이렇게까지 계산했을 때 여러분이 생각하는 답은 어떤 것인가? (10초)

결론은 발산한다.

왜냐하면 급수의 합은 부분합의 극한으로 구할 수 있는데

부분합이 수렴하지않고 진동 즉 발산하기 떄문이다.

만약 급수가 수렴한다고 가정하자.

수열의 합과 일반항사이에는

다음과 같은 성질을 만족하는데

이때 양변에 극한을 취하게되면

좌변은 급수가 수렴하므로 S-S=0이 나온다.

따라서 급수가 수렴하면 a_n은 0으로 수렴한다.

이렇게 수렴하는 급수의 일반항은 0으로 수렴하는 정리를

일반항 판정법이라고 한다.

일반항 판정법은 대우도 중요한데

대우는 일반항이 0으로 수렴하지 않으면 급수가 발산한다는 것이다.

위의 그랜디의 급수는 일반항이 1, -1이 반복되므로 0으로 수렴하지 않고

따라서 급수는 보나마나 발산한다고 결론 내릴 수 있다.

 

다음은 등비급수이다.

역사가 가장 오래된 급수문제라고 생각이 되는데

서메이션 2분의 1의 n제곱 즉

분의1+4분의 1+8분의 1더하기 16분의 1 땡땡떙

이렇게 가는 급수는 수렴할까? 발산할까? (10초)

똑똑한 초등학생들도 풀 수 있는 문제이다.

아르키메데스가 이 급수값에 대한 해법을 제시했는데

변의 길이가 1인 정사각형이 있다.

이 사각형을 반으로 쪼개면 넓이가 2분의 1이다.

남은 사각형의 넓이를 반으로 쪼개면 4분의 1이고

또 남은 사각형의 넓이를 반으로 쪼개면 8분의 1이다.

따라서 이 조그만 사각형의 넓이를 계속 더하다보면

다시 처음 있었던 사각형이 나오므로 급수의 합은 1이다.

즉 수렴한다. 참 쉽다. 오늘 밤에 잠이 편하게 올것만 같다.

증명은 고등학교 책만 뒤져봐도 자세히 나와 있으니

증명보다는 결과만 주의깊게 보면

비율판정법라고 부르는데

일반항과 그 다음항을 나눈 비율이 1보다 작으면 급수가 수렴하고

1보다 크면 급수가 발산한다.

1일 때는 비율판정법으로 수렴하는지 발산하는지 알 수가 없다.

하나의 판정법으로 모든 급수의 수렴성을 판정할 수는 없다.

하나의 판정법으로 모든 급수의 수렴성을 판정할 수 있다면

굳이 우리가 이렇게 많은 판정법을 만들지도 않았을 것이다.

하지만 고등학교 과정에서는 등비급수만 다루고

등비수열의 공비가 1이라면 초항만 반복해서 나오므로

초항이 0이 아닌이상 등비급수가 발산한다고 생각하면 편하다.

 

마지막으로 다뤄볼 급수판정법은 교대급수 판정법이다.

다음 급수의 수렴, 발산을 조사하고 수렴하면 그 합을 구해보자.

1-1/3+1/3-1/5+1/5+… (10초)

수렴하는게 눈에 보이는가?

2번째항과 3번째항을 더하고

4번째항과 5번째항을 더하면 계속 식이 사라지므로

1로 수렴한다.

그런데 여기서 아까 그랜디의 급수가 떠오르면서

이렇게 풀면 안되는데 라는 생각이 들었다면

수학으로 밥벌어먹고 살 수 있을 것이다.

우리가 급수를할 때 주의해야할 것은

내 마음대로 숫자를 묶어서 계산하면 안된다는 것이다.

항의 개수가 유한할 때는 결합법칙에 따라 몇개씩 묶어서 계산해도 되지만

항의 개수가 무한할 떄는 결합법칙이 성립하지 않는다.

그렇다면 이 문제는 어떻게 풀어야할까?

클래식하게 부분합을 관찰해보자.

첫째항까지 더하면 1

둘째항까지 더하면 3분의2

셋째항까지 더하면 1

넷째항까지 더하면 5분의 4

부분합을 관찰해보니

홀수 항까지 더하면 반드시 1이고

짝수 항까지 더하면 n+1분의 n꼴로 값이 나온다.

그런데 짝수항까지의 합의 극한을 보면 1이다.

즉 짝수항까지의 수렴값은 1, 홀수항까지의 수렴값도 1이므로

부분합은 1로 수렴한다.

따라서 급수의 합은 1이라고 할 수 있다.

엄청 쉬워보이는데 너무 어렵게 푼 것 같다.

왜 이렇게밖에 풀 수 없냐면

이 급수가 수렴하는지 발산하는지 모르기 떄문이다.

수렴한다면 아무렇게나 더해서 값만 찾으면 되는데 말이다.

이 때 이 급수가 수렴한다는 것을 알려주는게

교대급수 판정법이다.

교대급수 판정법은 급수가 부호가 번갈아 가면서 나올때

각 항이 가면갈 수록 점점 작아지고 그 수렴값이 0이면

급수가 반드시 수렴한다는 정리이다.

저 급수의 일반항은 단조감소하고

수렴값은 0이므로 교대급수 판정법에 의해 급수가 수렴한다

수렴하는지 알았으므로 처음 풀이대로 답을 구해도 된…

하아 사실은 안되는데 그냥 된다고 생각하고 풀자.

고등학교 수준에서 뭐 예외가 나올 것도 아닌데

그렇다고 이걸 서술형평가에서 써먹진 말자.

나 같은 놈들이 오류 끝까지 찾아내서

이런거 예외있다고 감점할 수 있으니 말이다.

 

자 이렇게 고등학교 수준에서 알아두면 좋은

4가지 급수판정법에 대해 알아보았다.

별거 아닌거 같지만 이 판정법들이 익숙해지면

눈으로도 급수가 수렴하는지 아니면 발산하는지 확인할 수 있으니

문제를 풀면서 한번 써먹어보길 바란다.

 

오늘 수업은 여기까지