수학의 왕자 가우스

우린 어딜가서든지 거기서 대가리를 찾는다.

누가 싸움을 가장 잘하는지

누가 게임을 가장 잘하는지

누가 공부를 가장 잘하는지

그렇다면 수학에서의 대가리는 누구일까?

누가 가장 수학을 잘 했을까?

 

가우스 함수, 가우스 정수, 가우스 곡률, 가우스 정리

가장 위대한 수학자를 뽑으라 하면 거의 모두 가우스를 뽑는다.

3대 수학자를 뽑으라 했을 때 항상

제일 먼저 거론되는 가우스에 대해 알아도록하자.

 

천재 수학자 가우스는 1777년 독일 브라운슈바이크에서 태어났다.

초등학생때 일화가 유명한데

초등학교 교사 뷔트너가 좀 쉬려고

1부터 100까지 숫자들을 모두 더하면 몇이 나올까?란

노가다 문제를 던지자 마자 5050이라는 답을 낸 후

등차수열의 합 공식에 대해 설명을 하기 시작했다고한다

수학은 잘하지만 눈치는 드럽게 없는 새끼다.

 

가우스는 수학을 공부하는 것을 좋아했는데

가우스의 아버지는 제대로 된 학교 교육을 받지 않았고

학문이라는 것은 쓸모없는 것이라고 생각하여서

아들이 자신의 뒤를 이어, 벽돌 노동자가 되기를 원했다고 한다.

그 때 아버지가 좀 더 말려줬었더라면

진짜 수학하느라 이렇게까지 고생하진 않았을텐데

 

쨋든 엄마와 삼촌 그리고 브라운슈바이크 공작의 지원으로

1792년부터 1795년 사이에 카롤링 학교에서 공부할 수 있었다.

현재는 이 학교의 이름이 브라운슈바이크 공과대학이다.

돈으로 대학 하나 사는거

어렵지 않다.

 

이후 1795년부터 1798년까지는 괴팅겐 대학교에 머물렀다.

1796년 19살의 가우스는 변의 개수가 페르마 소수인 정다각형은 자와

컴퍼스만으로 작도가 가능하다는 것을 보였다.

고대 그리스인들은 삼각형과 오각형 외에 소수 면을 가진 정다각형을

만드는 것을 불가능하다고 여겼는데

그 전까지 아무도 못 풀었던 기하학 난제를

이제 갓 대학생이 된 놈이 증명해낸 것이다.

 

아르키메데스가 묘비에 원기둥에 내접한 구를 새겼고

야코프 베르누이가 묘비에 로그 나선을 새긴 것과 마찬가지로

가우스는 자신의 묘비에 정십칠각형을 새겨 달라고 요청하였고

묘비에는 십칠각형을 원과 구별하기 힘들기 때문에,

17개의 점으로 된 별이 대신 새겨졌다.

하여간 수학자 놈들 이상한 곳에 로망이 있다.

 

가우스의 명언 중에

'수학은 과학의 여왕이고, 정수론은 수학의 여왕이다.'

란 말이 있다.

가우스는 정수론(수론)을 엄청 발전 시켰는데

수론이라 하면 각종 수의 성질을 대상으로 연구하는 학문이다.

수라 하면 1, 2, 3, 4만 생각하는 사람이 많은데

사실 수라는 것은 연산 가능한 모든 것이다.

관련된 좋은 영상이 있으니

나중에 오른쪽 카드 영상을 보기 바란다.

꼭 나중에 봐라

 

쨌든 가우스는 1796년 정수론에서 합동 산술과

이차 상호 법칙을 증명해 보였고

같은 해 리만가설의 시초가 되는 소수 정리를 발표해

소수들이 정수들 사이에서 어떻게 분포하는지에 대해서

이해할 수 있도록 도와주었다.

 

1799년 22살에 박사 학위 논문으로

대수학의 기본 정리를 증명했다.

미적분학의 기본정리처럼 정리 앞에 기본이란 말이 붙은 거는

그 학문에서 가장 기초이고 가장 중요한 정리인데

대수학의 기본정리는 고등학교때 다 들어본 정리로

복소수까지 확장했을 때 N차 방정식은 n개의 해를 갖는다는 것이다.

쉽게 말하면 이차방정식은 해가 2개고

삼차방정식은 해가 3개라는 것이다.

당연한 것 같은 이 정리도 대수학으로 증명하려면

A4 앞뒤로 한페이지가 필요하다.

이후 찾아낸 사실이지만

복소 해석학으로는 10줄 안에 증명가능하다.

 

이처럼 고등학생정도면 다 아는 잘 알려진 정리들이 몇 개 더 있는데

1보다 큰 모든 자연수는 소인수들의 순서를 무시하면

유일한 방법으로 소인수 분해된다는

산술의 기본 정리도 최초로 증명!

확률과 통계에서 제일 마지막에 배우는

종모양의 표준정규분포곡선 식 또한

가우스가 만들어낸 함수이다.

 

다작 스타일의 작가는 아니여서 스스로 보기에

완벽하거나 비판을 견디리라고 생각되지 않는 원고는

결코 출판하지 않았다고 한다.

이것은 개인적인 모토인

"드물지만 성숙하게"에 철저하기 위함이었다고 한다.

그런데 다작이 아니기엔 19살 나이에 현재 대학교

대수학시간에 배울 내용의 절반을 만들어 버렸고,

30~40대에는 현재 중고등학교에서 배우는 가장 중요한 정리들은

다 가우스가 정립해버렸다.

다른 말로 바꿔 말하면 이 새끼만 아니었다면

우리가 배울 수학의 양은 진짜 절반 가까이 줄어들었을 것이다.

 

마지막으로 가우스 하면 떠오르는 가장 유명한 정리를 소개하겠다.

이름부터 빼어난 가우스의 빼어난 정리이다.

미분기하학의 기초적인 정리 중의 하나로

곡률은 면이 3차원 공간상에서 어떻게 배치되어 있는지에

의존하지 않음을 보여주는 정리인데

초등학생도 이해할 수 있게 말하자면

평평한 종이는 공과 성질 자체가 다르므로

종이로 아무리 전개도를 만들어도

절대로 완벽한 공의 전개도는 만들 수 없다.란 것이다.

중학교 때인가?

공의 완벽한 전개도 만들면 돈 엄청 벌거라던

축구에 미친 학원 수학 선생놈

대학교때 공부 안했던 것이 틀림없다.

 

이외에도 가우스가 만들어낸 정리, 증명 등은 수도없이 많다.

그냥 여러분이 살아가다가 뭐 이런 걸 만들었어 하는 것들이 있으면

대게 가우스가 만들었거나 가우스가 토대를 제공한 것들이 많다.

우리가 아는 정리나 공식 등은 젊었을 때 만든 것이 많은데

말년에는 워낙 유명한 수학자이다 보니

다른 학문분야와 협업도 많아 천문학과 물리학적 업적이 주를 이루지만

이건 수학 채널이니 수학만 다루도록하자.

 

오늘 수업은 여기까지.