100년 만에 미적분을 정립한 수학자 코시 (feat. ε-δ method)

 

고등학교때 내가 공부 좀 했다하면 한다면

다들 코시-슈바르츠 부등식에 대해 배워봤을 것이다.

그런데 코시가 부등식을 증명했다 정도만 알지

미적분을 집대성했다는 사실을 아는 사람은 많지 않을 것이다.

지금부터 미적분을 증명한 코시에 대해 알아보도록 하겠다.

 

17세기 말 미적분이 뉴턴과 라이프니치에 의해 발명되었지만

왜 이 미적분이 맞아 떨어지는지 증명되어지진 않았다.

이게 무슨 말이냐하면

우리는 집에서 led전구를 켜면 방이 밝게 빛나고 이를 잘 사용하고 있다

하지만 led전구의 작동방법에 대해 알고 있는사람은 몇이나 될까?

이처럼 미적분은 계산이 너무나 잘되는데 미적분이 왜 딱딱 맞아떨어지는지

설명할 수 있는사람이 없었다는 것이다.

우리가 고등학교때 미적분을 배우기 전에 극한이란 것을 배울 것이다.

극한의 정의는 x가 한없이 커질 때 f(x)가 한없이 어느 한 값으로 가까워지면

그 값을 limx->inf f(x)라고 한다.

그런데 여기서 한 없이 라는 말과 가까워진다는 말은 정확한가?

수학에서 어떤 명제를 설명할때는 엄밀하게 공리와 정의가 세워져야하는데

뉴턴과 라이프니치는 극한의 정의를 수학적으로 세우지 않고

언어적으로 말하고 미적분을 발전시킨 것이다.

두 사람은 모두 수학에서 위대한 업적을 세웠지만

뉴턴의 본업은 과학, 라이프니츠의 본업은 철학이었다.

어찌보면 이들에게 수학적 공리체계를 만들라는 요구 자체가

수학자들의 직무 유기였을 수도 있다는 생각이 든다.

 

쨋든 그렇게 100년이 넘는 기간 동안이나

미적분에 대한 정확한 정의나 증명이 없이

이 최신기술은 모든 분야에 쓰이게 된다.

하지만 생각해보자.

이 기술을 이용해 만든 내용들이 100년이나 쌓여있는데

만약 미적분이 잘못된 개념이라면 어떻게 할 것인가?

예를들어 만약 당신이 훈남쌤이 잘생겼다고 1달간 소문내고 다녔는데

막상 얼굴을 보니 빻았다면 그 뒷감당은 어떻게 할건가?

그렇게 모든 수학자들이 노심초사하고 있을 떄

코시라는 천재수학자가 1789년 프랑스에서 태어난다.

코시는 말 그대로 수학을 하기 위해 태어난 인간이라 봐도 무방할 정도로

어릴 때부터 수학에만 극도의 흥미를 보였고,

심지어 그의 아버지가 이대로 크다 가는 말도 제대로 못하는 인간이 될까봐

수학을 금지시키기도 했을 정도였다고 전해진다.

 

근대수학에서 코시의 영향력은, 오일러 이후로

더 이상 수학의 발전은 없을 거라 생각하던 수학계에 가우스가 튀어나왔고,

오일러와 가우스 이래로 수학의 발전은 없을 거라 생각하던 시기에

코시가 튀어나와 상황을 반전시킨 수준의 영향력이라고 보면 된다.

특히 오일러-가우스의 주 역할이 기존 수학에 산재하던 문제를 풀어내던 것이었다면,

코시의 가장 큰 업적은 기존에 산재하던 수학문제를 푸는 것이 아닌,

엄밀성이라는 반대의 영역으로 수학계의 관심을 돌려버린 패러다임 전환에 있다.

코시는 코시 수열을 이용한 수열과 급수의 수렴에 대한 연구,

연속함수에 대한 엄밀한 정의,

평균값 정리, 입실론-델타 논법을 이용한 극한의 엄밀한 정의를 선보인다.

이를 기점으로 이전의 미적분을 이용하여 문제를 푸는학문은

Calculus 즉 미적분학이라 부르고

미적분을 엄밀하게 증명하고 그 토대를 세우는 학문은

Analysis 즉 해석학이라 부르게 된다.

 

그래서 우리가 고등학교때 배우는 수학은 Calculus적 성격이 강하기때문에

극한에 대해 엄밀하게 짚고 넘어가기보다는 계산위주의 문제풀이를 주로한다.

대학교에 가게되면 공대는 더 어려운 Calculus를

수학과는 입실론-델타를 이용하여 고등학교에서 배운 미적분 공식부터

난생 처음보는 함수들의 경우까지 분류하고 증명하는 Analysis를 하게된다.

 

코시의 업적은 여기서 끝나지 않는다.

실수에서만 미적분을 하기 싫었던 코시는

복소 해석학이라는 분야를 새로 만들었고

이에 복소해석학 책을 보면

코시의 이름이 들어가지 않은 부분을 찾기 힘들 정도이다.

덕분의 우리는 복소해석학으로 부터 실수에서는 계산되지 않는 미적분문제를

복소수로 보내어 계산하고 다시 실수값만 가져와서 답을 찾아내는

새로운 미적분 계산방법을 알게되었다.

 

말이 나온김에 코시가 만든 입실론-델타 방법에 대해 간략하게 소개하겠다.

대학교 들어가면 수학과나 공대학생들은 한번 씩 보게되는 그 방법이다.

극한이란 것이 아까 말했다시피 한 없이 그리고 가까이란 말이 언어적으로 되어있기에

이를 어떻게 하면 수학적으로 표현할 수 있을까란 생각에서 이 방법은 출발한다.

 

만약 누군가가 임의의 양수(입실론)를 나에게 준다고하자.

그 값 만큼의 차이 안에 함수가 들어오면

그 차이에 해당되는 x값 구간이 생길텐데

그 차이 안에 내가 만약 어떤 양수값(델타)을 넣을 수 있으면

그 함수가 연속한다고 정의한다.

이렇게하면 함수가 연속하지 않아도 극한값을 정확히 정의할 수 있고

이 정의를 기초로하여 연속, 미분 등도 정의 하고

나아가 정리들도 증명할 수 있게된다.

 

여담이긴하지만 코시가 활동 했던 당시

프랑스 혁명과 반혁명이 교차하는 정치적 격동기로

엄격한 카톨릭신자로 왕당파였던 코시는 정치적으로 지조를 지키고자하여

많은 고난을 겪었다고한다.

이 말을 대학교때 듣고 나도 카톨릭신자라서

나중에 천국가서 만나면 죽어서도 수학공부를 해야하나 고민을 했었는데

옆에 있는 친구가 내 고민을 듣고 어차피 천국 가면

세상의 모든걸 다 알 수 있는데 무슨 걱정을 하냐고 면박줬던 기억이 난다.

괜히 열심히 공부했나 살짝 생각이 들지만 ㅋㅋㅋ

오늘 수업은 여기까지