무한의 개수 | 무한#1

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수식으로 엄밀하게 정의되어진 내용을 말로 설명하다보니 전공자분들이 보시기에 엄밀성이 떨어지는 부분이 있을 수 있습니다. 이점 양해바라며 더 좋은 설명과 의견 있으시면 설명란과 고정댓글에 고정해두겠습니다.

 

- 무한집합은 자기 자신의 진부분집합으로의 단사(1-1)함수가 존재하는 집합으로 정의되어 있습니다. 이 영상에서는 단사함수의 개념보다는 보다 이해하기 쉽게 1-1대응의 개념을 이용해 설명하려 하였습니다.

- 무한의 개수와 기수를 혼용해서 사용하고 있습니다. 개수는 유한집합에서 주로 쓰는 표현이긴하나 직관적인 표현을 위해 개수란 표현을 사용하는 점 죄송합니다.

- 가산집합의 가산 합 또는 곱은 가산입니다. 가산집합과 비가산집합을 가르는 경계는 없으나 비가산 정렬집합은 하한이 존재하므로 그 하한을 S-omega[최소 비가산 정렬집합]이라 합니다.

 

 

무한의 개수를 셀 수 있을까요?

무한은 숫자가 아니므로 크기비교를 하지 못한다고 생각할 수 있습니다.

그런데 수학자들은 여기서 멈출 사람들이 아닙니다.

우리는 두 집합의 크기를 비교할 수 있는 정말 멋진 아이디어를 오래 전부터 갖고 있었습니다.

 

여기 연필이랑 지우개가 있습니다. 이 둘의 개수가 같다는 것을 어떻게 보여줄 수 있을까요? 하나 둘 셋 셀 수도 있지만 한개씩 대응을 했을 때 딱 맞아 떨어지니까 숫자개념이 없어도 개수가 같다고 할 수 있습니다.

 

무한은 숫자로 나타낼 수 없기에 이와 같은 논리로 자연수와 정수 나아가 유리수와 실수까지의 개수를 비교해 보겠습니다. 여기 자연수 집합이 있고 정수 집합이 있습니다. 자연수는 정수에 포함되니까 당연히 정수의 개수가 더 많아보이는데 대응을 통해서 개수를 비교해보면 1을 0으로 짝수는 절반을 나누어서 음수로 홀수는 1을 빼고 절반을 나누어서 대응시키면 모든 원소를 1-1대응을 시킬 수 있습니다. 따라서 자연수의 개수와 정수의 개수는 같다고 할 수 있습니다.

 

여기서 잠깐 용어 정리를 하자면 집합 X에서 원소의 개수를 X의 농도(cardinality)라고 하고 주로 |X|로 나타냅니다. 이때 X와 Y 사이 일대일 대응관계가 존재하면 두 집합 X와 Y는같은 농도(same cardinality)를 가진다고 합니다. 조금 더 나아가 |X|=card(X)라 할 때, 공집합의 원소의 개수는 자명하게 0 <card(공집합)=0> 유한집합의 원소의 개수는 다음과 같이나타낼 수 있는데 <card(n)=n이라하며 > 이 때 이 수를 어려운말로 기수라고 부릅니다. 그리고 자연수 N과 같이 하나 둘 셀 수 있는 무한을 Countable, 셀 수 있는 무한이라고 부릅니다.  

 

그렇다면 유리수의 개수는 어떻게 될까요?

자연수는 양의 유리수에 포함되므로 자명하게 양의 유리수의 개수는 자연수보다 크거나같다고 할 수 있습니다. 이때 N X N 집합, 다른말로 양의 정수점들을 생각해보겠습니다. 각 격자점의 x좌표를 분모로 y좌표를 분자로 놓고 분수로 나타내면 모든 양의 유리수를나타낼 수 있고 (2,2)와 같은 점은 (1,1)과 같으므로 N X N은 양의 유리수보다 크다고 할 수있습니다. 따라서 다음과 같은 포함관계가 성립합니다.

 

이 때 각자점을 대각선으로 다음과 같이 세면 모든 격자점을 자연수 번호를 붙일 수 있으므로 즉, 자연수와 N X N은 다음과 같이 1-1대응관계가 성립합니다. 자연수의 개수와 자연수 X 자연수 집합의 개수는 같다고 할 수 있으며 따라서 자연수의 개수와 양의 유리수의 개수가 같다고 할 수 있습니다. 따라서 양의 유리수도 countable 즉 셀 수 있는 무한입니다. 유리수는 양의 유리수와 음의 유리수 그리고 0의 합집합이므로 정수의 개수를 셌던 방법과 같은 논리로 유리수도 countable이라는 것을 직관적으로 알 수 있습니다.

 

이제 실수의 개수를 알아보도록 하겠습니다.

실수는 유리수와 무리수의 합집합이므로 무리수가 셀 수 있으면 자명하게 실수도 셀 수있다고 볼 수 있습니다. 무리수는 순환하지 않는 무한소수이므로 (0,1) 사이에 있는 무리수 집합 I를 만들어 보겠습니다. I에 속하는 무리수도 자연수처럼 하나 둘 셀 수 있다보고자연수에서 I로 가는 1-1대응함수 f가 있다고 가정 해보겠습니다.

그렇다면 f는 1-1 대응이므로 다음과 같이 f(1), f(2),에 모든 무리수를 대응시킬 수 있습니다. 그런데 첨자가 같은 수가 1이면 2로, 첨자가 다른 수가 1이 아니면 1인 무리수 b가 있다고 하면 이 b는 무리수이므로 I에 속하지만 f(N)에는 속하지 않습니다. 즉 f가 1-1대응이라면 치역과 공역이 같아야 하므로 f(N)=I이어야 하지만 그렇지 않으므로 f가 1-1대응이다라는 가정은 거짓니다. 따라서 N에서 I로 가는 1-1대응함수는 존재하지 않으므로 I는 셀 수없고 따라서 I를 포함하는 무리수 집합도 셀 수 없습니다. 

 

앞의 내용을 정리하면 자연수, 정수, 유리수는 셀 수 있는 무한집합이며 무리수와 실수는셀 수 없는 무한집합입니다. 사실 이 내용을 처음 들으시는 분들은 너무나 신기하실 것입니다. 무한에서도 급이 나누어져 있는 거니까요. 그렇다면 너무나 당연한 질문 한가지가머리 속에 떠오릅니다. 셀 수 있는 무한 집합에 얼마나 원소를 더하면 셀 수 없는 무한 집합이 될까요? 두 집합의 경계는 어디일까오?

 

자연수와 정수의 개수가 같다는 것만 하고 끝내려고 했는데 이 내용을 다 설명해야 앞으로 앞으로 급발진을 계속 해나갈 수 있겠다는 생각이 들어서 여기서 멈추지 않고 끝까지나가보도록 하겠습니다.

 

아까 집합의 원소의 개수는 기수로 표현한다고 했습니다. 그렇다면 자연수의 개수 즉 자연수의 기수는 어떻게 표현할 수 있을까요? 무한대라는 기호를 붙이고 싶지만 앞에서 보았듯이 무한에도 급이 나누어져 있기에 그냥 무한대로 뭉뚱그리기엔 한계가 있습니다. 그래서 새로운 기호를 가져와서 자연수의 card(N)=알레프 널라고 합니다. 알레프는 무한에서의 크기비교를 위해 만든 기호로 가장 작은 무한 집합을 알레프 널 그 다음으로 크지만같지않은 집합을 알레프 원으로 정의합니다. 따라서 이 알레프 널은 가장 작은 무한의 기수입니다. 그렇다면 실수의 card는 얼마일까요? car(R)=2^알레프 널 입니다. 뭔가 이상하지 않으신가요? 아까 분명히 알레프 널보다 큰 기수를 알레프 원이라 한다고했는데 갑자기 2^알레프 널이랍니다.

 

왜 이렇게 말하는지 잠깐만 역사 이야기를 해보도록 하겠습니다. 무한집합의 상대적 크기를 나타내는 수를 초한수라 하며 칸토어가 처음으로 도입하였습니다. 예전에 잠깐 칸토어집합영상에서 남아있는 선들의 개수가 2^N 즉 비가산인 것을 알면 더욱 신기하다 했는데이때 말한 2^N이 2^알레프 널입니다. 칸토어는 임의의 집합 X에 대하여 X의 멱집합 즉,  X의 모든 부분집합의 집합에 card는 반드시 X의 card보다 크다는 것을 증명하였습니다. 이 증명이 방법이 우리가 아까 유리수와 무리수의 크기가 다르다는 것을 증명한 방법입니다. 그렇다면 이를 계속 해나간다면 가장 큰 기수는 존재하지 않는다는 것을 자명하게 알수 있습니다.

 

그렇다면 알레프 널과 2^알레프 널 사이에는 기수가 존재할까요? 즉 2^알레프 널은 알레프 몇일까요? 1880년 경 칸토어는 연속체가설이라는 내용으로 의문을 제기합니다. 알레프 널과 2^알레프 널 사이에는 기수가 존재하지 않을 것이라 추측한거죠. 칸토어는 이런집합이 없다는 것을 증명해 보려고 시도하기도 하고 반대로 반례를 찾기 위해 그런 집합을 만들어보려고도 구성해보았지만 결국 실패하게 됩니다. 그렇게 1900년 일반연속체 가설은 힐베르트에 의해 지금의 밀레니엄 난제의 시초가 된 '20세기에 풀어야 할 가장 중요한 23대 문제'에서 1번 문제로 선정되었습니다.

 

이 문제를 해결하기 위해 많은 수학자들이 도전했습니다. 결국 1938년 괴델에 의해 일반연속체 가설은 반증할 수 없음이 증명되었습니다. 이어서 1964년 폴 코헨은 기존 집합의공리로는 연속체 가설을 증명할 수 없음을 증명했습니다. 이게 무슨말인가 싶으실 것입니다. 여기서 나오는게 괴델의 불완전성 정리입니다. [페아노 공리계를 포함하는 모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없으며, 특히 스스로의 무모순성을 증명할 수없다는 정리]

 

간단하게 말하면 이 세상에는 진리임에도 증명될 수 없는 문제가 있다. 즉, 일반 연속체 가설이 참인지 거짓인지 보일 수 없다는 것입니다. 예를 들어보죠. 평행선은 만나나요? 평행선은 만나지 않는다 하거나, 평행선이 만난다해도 수학의 이론상 아무런 모순이 일어나지않습니다. 일반 연속체 가설도 마찬가지입니다. 일반 연속체 가설을 받아들인다고 해도2^알레프널 = 알레프1 / 아니면 그렇지 않다고 해도 아무런 모순이 없습니다. 다시 말해자연수보다 크고 실수보다 작은 집합이 있다고 가정한 수 체계를 만들 수 있고, 그런집합이 없다고 가정한 수체계를 만들 수도 있다는 거죠. 결국 자연수보다 크고 실수보다 작은집합은 있다는 것을 증명할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 그래서 우리는 누군가와서 선택공리와 순서공리를 말하면서 엄밀성을 요구하기 전까지 2^알레프 널 = 알레프 1이라 생각해도 무리는 없습니다.

 

이렇게 무한의 개수를 정리하며 무한 3부작의 1편을 마치려합니다.

가산집합과 비가산집합의 경계에 대한 내용으로 S-omega를 소개하는 내용도 더 담아보고자 했는데 너무 길어질 것 같아 위상에 대한 설명을 한 후 나중에 다루어보도록 하겠습니다. 다음은 우리를 무한에 세계에 눈뜨게한 0.9 = 1이다의 논란을 마무리시키기 위해 극한개념과 입실론-델타에 대해 다루어보도록 하겠습니다. 오늘 수업은 여기까지무한의 개수를 셀 수 있을까요?

무한은 숫자가 아니므로 크기비교를 하지 못한다고 생각할 수 있습니다.

그런데 수학자들은 여기서 멈출 사람들이 아닙니다.

우리는 두 집합의 크기를 비교할 수 있는 정말 멋진 아이디어를 오래 전부터 갖고 있었습니다.

 

여기 연필이랑 지우개가 있습니다. 이 둘의 개수가 같다는 것을 어떻게 보여줄 수 있을까요? 하나 둘 셋 셀 수도 있지만한개씩 대응을 했을 때 딱 맞아 떨어지니까 숫자개념이 없어도 개수가 같다고 할 수 있습니다.

 

무한은 숫자로 나타낼 수 없기에 이와 같은 논리로 자연수와 정수 나아가 유리수와 실수까지의 개수를 비교해 보겠습니다. 여기 자연수 집합이 있고 정수 집합이 있습니다. 자연수는 정수에 포함되니까 당연히 정수의 개수가 더 많아보이는데 대응을 통해서 개수를 비교해보면 1을 0으로 짝수는 절반을 나누어서 음수로 홀수는 1을 빼고 절반을 나누어서대응시키면 모든 원소를 1-1대응을 시킬 수 있습니다. 따라서 자연수의 개수와 정수의 개수는 같다고 할 수 있습니다.

 

여기서 잠깐 용어 정리를 하자면 집합 X에서 원소의 개수를 X의 농도(cardinality)라고 하고 주로 |X|로 나타냅니다. 이때 X와 Y 사이 일대일 대응관계가 존재하면 두 집합 X와 Y는 같은 농도(same cardinality)를 가진다고 합니다. 조금 더나아가 |X|=card(X)라 할 때, 공집합의 원소의 개수는 자명하게 0 <card(공집합)=0> 유한집합의 원소의 개수는 다음과같이 나타낼 수 있는데 <card(n)=n이라하며 > 이 때 이 수를 어려운말로 기수라고 부릅니다. 그리고 자연수 N과 같이 하나 둘 셀 수 있는 무한을 Countable, 셀 수 있는 무한이라고 부릅니다.  

 

그렇다면 유리수의 개수는 어떻게 될까요?

자연수는 양의 유리수에 포함되므로 자명하게 양의 유리수의 개수는 자연수보다 크거나 같다고 할 수 있습니다. 이때N X N 집합, 다른말로 양의 정수점들을 생각해보겠습니다. 각 격자점의 x좌표를 분모로 y좌표를 분자로 놓고 분수로나타내면 모든 양의 유리수를 나타낼 수 있고 (2,2)와 같은 점은 (1,1)과 같으므로 N X N은 양의 유리수보다 크다고 할수 있습니다. 따라서 다음과 같은 포함관계가 성립합니다.

 

이 때 각자점을 대각선으로 다음과 같이 세면 모든 격자점을 자연수 번호를 붙일 수 있으므로 즉, 자연수와 N X N은 다음과 같이 1-1대응관계가 성립합니다. 자연수의 개수와 자연수 X 자연수 집합의 개수는 같다고 할 수 있으며 따라서 자연수의 개수와 양의 유리수의 개수가 같다고 할 수 있습니다. 따라서 양의 유리수도 countable 즉 셀 수 있는 무한입니다. 유리수는 양의 유리수와 음의 유리수 그리고 0의 합집합이므로 정수의 개수를 셌던 방법과 같은 논리로 유리수도countable이라는 것을 직관적으로 알 수 있습니다.

 

이제 무리수와 실수의 개수를 알아보도록 하겠습니다.

실수는 유리수와 무리수의 합집합입니다. 유리수는 셀 수 있는 무한이므로 무리수가 셀 수 있으면 앞에서 정수의 개수를 셌던 논리대로 자명하게 실수도 셀 수 있다고 볼 수 있으며 반대로 실수가 셀 수 있으면 자명하게 무리수도 셀 수 있다고 볼 수 있습니다. 그러므로 우리는 실수가 셀 수 있는지 그렇지 않은지만 판단하면 됩니다. 실수 전체의 개수를 세기에 앞서 우리는 앞에서 1-1대응관계가 성립하면 농도가 같다고 했습니다. 다음과 같이 탄젠트 함수를 응용하면 열린구간(0,1)과 실수 전체는 농도가 같음을 알 수 있으므로 간단하게 열린구간 (0,1)이 셀 수 있는지 없는지 알아보겠습니다. 열린구간 I를 셀 수 있다고보고 자연수에서 실수로 가는 1-1대응함수 f가 있다고 가정해보겠습니다. 열린구간 I에있는 모든 수 들은 유리수, 무리수와 관계 없이 다음과 같은 성질에 의해 무한소수 꼴로 나타낼 수 있으므로 1-1대응함수에 의해 f(1), f(2),에 모든 실수를 대응시킬 수 있습니다. 그런데 첨자가 같은 수가 1이면 2로, 첨자가 같은 수가 1이 아니면 1인 수 b가 있다고 하겠습니다. 이 b는 f(n)의 배열에 따라 유리수도 또는 무리수도 될 수 있지만 1과 2로만 이루어져 있으므로 실수라는 것은 변함이 없습니다. 그러므로 공역인 R에는 포함되지만 치역 즉, f(N)에는 속하지 않으므로 f가 1-1대응이라는 가정에는 모순이 됩니다. 따라서 N에서 I로 가는 1-1대응함수는 존재하지 않으므로 열린구간 I는 셀수 없고 이와 농도가 같은 실수도 셀 수 없습니다. 마지막으로 실수는 유리수와 무리수의 합집합이 었으므로 무리수가셀 수 있다고 하면 모순이 생기므로 무리수도 셀 수 없다는 것을 유도할 수 있습니다.

 

앞의 내용을 정리하면 자연수, 정수, 유리수는 셀 수 있는 무한집합이며 무리수와 실수는 셀 수 없는 무한집합입니다. 사실 이 내용을 처음 들으시는 분들은 너무나 신기하실 것입니다. 무한에서도 급이 나누어져 있는 거니까요. 그렇다면너무나 당연한 질문 한가지가 머리 속에 떠오릅니다. 셀 수 있는 무한 집합에 얼마나 원소를 더하면 셀 수 없는 무한 집합이 될까요? 두 집합의 경계는 어디일까오?

 

자연수와 정수의 개수가 같다는 것만 하고 끝내려고 했는데 이 내용을 다 설명해야 앞으로 앞으로 급발진을 계속 해나갈 수 있겠다는 생각이 들어서 여기서 멈추지 않고 끝까지 나가보도록 하겠습니다.

 

아까 집합의 원소의 개수는 기수로 표현한다고 했습니다. 그렇다면 자연수의 개수 즉 자연수의 기수는 어떻게 표현할수 있을까요? 무한대라는 기호를 붙이고 싶지만 앞에서 보았듯이 무한에도 급이 나누어져 있기에 그냥 무한대로 뭉뚱그리기엔 한계가 있습니다. 그래서 새로운 기호를 가져와서 자연수의 card(N)=알레프 널라고 합니다. 알레프는 무한에서의 크기비교를 위해 만든 기호로 가장 작은 무한 집합을 알레프 널 그 다음으로 크지만 같지않은 집합을 알레프 원으로 정의합니다. 따라서 이 알레프 널은 가장 작은 무한의 기수입니다. 그렇다면 실수의 card는 얼마일까요? car(R)=2^알레프 널 입니다. 뭔가 이상하지 않으신가요? 아까 분명히 알레프 널보다 큰 기수를 알레프 원이라 한다고했는데 갑자기 2^알레프 널이랍니다.

 

왜 이렇게 말하는지 잠깐만 역사 이야기를 해보도록 하겠습니다. 무한집합의 상대적 크기를 나타내는 수를 초한수라하며 칸토어가 처음으로 도입하였습니다. 예전에 잠깐 칸토어 집합영상에서 남아있는 선들의 개수가 2^N 즉 비가산인것을 알면 더욱 신기하다 했는데 이때 말한 2^N이 2^알레프 널입니다. 칸토어는 임의의 집합 X에 대하여 X의 멱집합즉,  X의 모든 부분집합의 집합에 card는 반드시 X의 card보다 크다는 것을 증명하였습니다. 이 증명이 방법이 우리가아까 유리수와 무리수의 크기가 다르다는 것을 증명한 방법입니다. 그렇다면 이를 계속 해나간다면 가장 큰 기수는 존재하지 않는다는 것을 자명하게 알 수 있습니다.

 

그렇다면 알레프 널과 2^알레프 널 사이에는 기수가 존재할까요? 즉 2^알레프 널은 알레프 몇일까요? 1880년 경 칸토어는 연속체가설이라는 내용으로 의문을 제기합니다. 알레프 널과 2^알레프 널 사이에는 기수가 존재하지 않을 것이라 추측한거죠. 칸토어는 이런 집합이 없다는 것을 증명해 보려고 시도하기도 하고 반대로 반례를 찾기 위해 그런 집합을 만들어보려고도 구성해보았지만 결국 실패하게 됩니다. 그렇게 1900년 일반연속체 가설은 힐베르트에 의해 지금의밀레니엄 난제의 시초가 된 '20세기에 풀어야 할 가장 중요한 23대 문제'에서 1번 문제로 선정되었습니다.

 

이 문제를 해결하기 위해 많은 수학자들이 도전했습니다. 결국 1938년 괴델에 의해 일반연속체 가설은 반증할 수 없음이 증명되었습니다. 이어서 1964년 폴 코헨은 기존 집합의 공리로는 연속체 가설을 증명할 수 없음을 증명했습니다. 이게 무슨말인가 싶으실 것입니다. 여기서 나오는게 괴델의 불완전성 정리입니다. [페아노 공리계를 포함하는 모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없으며, 특히 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리]

 

간단하게 말하면 이 세상에는 진리임에도 증명될 수 없는 문제가 있다. 즉, 일반 연속체 가설이 참인지 거짓인지 보일수 없다는 것입니다. 예를 들어보죠. 평행선은 만나나요? 평행선은 만나지 않는다 하거나, 평행선이 만난다해도 수학의 이론상 아무런 모순이 일어나지 않습니다. 일반 연속체 가설도 마찬가지입니다. 일반 연속체 가설을 받아들인다고해도 2^알레프널 = 알레프1 / 아니면 그렇지 않다고 해도 아무런 모순이 없습니다. 다시 말해 자연수의 기수보다 크고실수의 기수보다 작은 기수를 갖는 집합이 있다고 가정한 수 체계를 만들 수 있고, 그런집합이 없다고 가정한 수체계도만들 수도 있다는 거죠. 결국 자연수의 기수보다 크고 실수의 기수보다 작은 기수를 갖는 집합은 있다는 것을 증명할수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 그래서 우리는 누군가와서 선택공리와 순서공리를 말하면서 엄밀성을 요구하기 전까지2^알레프 널 = 알레프 1이라 생각해도 무리는 없습니다.