수학이 극한을 정의하는 방법 (ε - δ 논법) | 0.9999... = 1 | 입실론-델타 증명

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처음 무한을 배웠던 때가 언제 일까요? 중학교에서는 유리수를 정의하며 순환하는 무한소수를 다루게 됩니다. 그리고그 결과로 0.9999...=1임을 얻어냅니다. 유도과정을 잠시 살펴보겠습니다. 0.9999...를 s라 하면 10s=9.9999...이므로 이둘을 뺀 후 9 로 나누어주면 9s=9이므로 s=1임을 알 수 있습니다. 연산과정에서 보면 이는 너무나 명확해보이지만0.9999...는 1보다 작아보이는데 같다고 하는게 이해가 되진 않습니다. 고등학교에 올라와 극한에 대해 배우면 그래도이해가 되는 것 같지만 누군가 와서 태클을 걸면 틀린건 알겠는데 설명하기 힘드신 경험이 있을 것입니다. 사실 극한의개념을 다루지도 않고 바로 한 없이 나아간다는 개념으로 소수를 정의하나보니 중학교 과정에서 어려운 것은 당연합니다. 그래서 오늘은 수학에서 어떻게 극한을 어떻게 정의하는지 나아가 0.9999...=1인 것을 어떻게 정당화하는지 알아보도록 하겠습니다.

 

고등학교 미적분시간에서 극한은 함수 f(x)에서 x가 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 일정한 값 L에 한 없이 가까워지면 함수 f(x)는 L에 수렴한다고 하고, L을 f(x)의 극한값 또는 극한이라고 하며 기호로 다음과 같이 나타냅니다.

 

여기서 '한 없이 가까이 간다'라는 표현을 볼 필요가 있습니다. 고등학교 교육과정에서는  이런 표현으로 극한을 직관적으로 이해시키지만 반대로 이러한 일상적인 표현때문에 극한에 대한 오개념이 형성이 됩니다. 왜냐하면 계속 변하고 있는 상태처럼 보이기 때문이죠. 이러한 무한을 '가무한' 이라고 합니다. 계속 진행하면서 생성되는 무한 가능한 무한이라는 뜻이죠. 이러한 소극적 의미의 극한은 고대부터 뉴턴시대까지 이어져 왔습니다. 뉴턴은 완결되지 않은 가능적 무한으로 극한을 정의했습니다. 극한에 관한 설명이 불완전하다는 것을 알았지만 수학적인 연구결과가 물리학적으로 참이 되었으므로 미적분의 논리적 기초에 대해서는 관심을 두지 않았죠. 우리가 현재 고등학교에서 배우는 극한은뉴턴과 라이프니츠가 만든 개념을 배우기에 마찬가지로 깊이 있게 극한을 다루지 않고 계산만 합니다. 그래서 저는 고등학교 미적분은 해석학(analysis)보다는 미적분(calculus)에 가깝다고 생각합니다.

 

하지만 이러한 '가무한'의 개념은 0.9999...이 1로 한 없이 가고있는 것이지 1은 아니다라는 말에 반박하기에는 어렵습니다. 그래서 수학자들은 ' '이라는 개념으로 무한을 바라보게 됩니다. 무한을 양적인 개념으로 임의로 계속 확장해 나갈 수 있는 것으로서 시간과 공간에 적용되는 개념이 아닌 질적으로 자기 스스로 완결한 하나의 상태로 보는 것 즉 완성된 수학의 대상으로 보는 것입니다. 사실 뉴턴도 몰랐던 개념이기에 고등학교 수학까지만 배우셨다면 모르셔도 됩니다. 다만 이러한 아이디어로 나아가기 위해 이제부터 극한을 새롭게 정의할 것입니다. 바로 입실론-델타 논법이죠.

 

임의의 양수 입실론에 대하여, 적당한 델타가 존재하여 x와 a의 차이가 델타보다 작을 때, f(x)와 L의 차이가 입실론보다 작으면 L 을 f(x)의 극한값 또는 극한이라 합니다. 어렵죠. 영어식 표현이기도 하고 저도 수식으로 쓰는게 편한 개념이라 말로만 설명하면 무슨 말인지 하나도 모르는게 당연합니다. 차근차근 영어를 해석해 보도록 하죠.

 

영어식 표현으로 이 부분을 표현하면 Given an epsilon greater than zero, 입실론이 어떤 수인지는 모르지만 양수로서 하나 주어졌다고 합시다. 영어식 표현을 굳이 하는 이유는 임의의 입실론이라고 하면 입실론이 계속 변하는 수라 생각하는데 그렇게 생각하시면 안됩니다. (심지어 fixed라는 표현을 쓰는 곳도 있습니다.) 우리는 입실론이 정확히 어떤 수인지는 모르지만 그래도 그러한 입실론 하나 주어졌다고 하자. 라고 받아들이셔야 이 논법을 이해하실 수 있습니다. 영어는 뒤부터 해석해야하므로 뒷 부분을 보겠습니다. 우선 식의 모양이 비슷합니다. 이 식의 절댓값을 풀어서 보면 x는 a로 부터 델타 만큼, f(x)는 L로부터 입실론만큼 떨어진 범위 안에 포함된다고 볼 수 있습니다. 이어서 해석하면 a로부터델타만큼 떨어진 범위 안에 있는 x에 대응하는 f(x)들은 L로부터 입실론 만큼 떨어진 범위 안에 있다. 입니다. 그런데앞에 이상한 기호가 더 있습니다. 이 기호는 exist 존재하다, 어떤의 뜻을 갖고 있습니다. 이 기호는 such that 아래와 같은 이라는 기호입니다. 이제 맨 앞의 해석한 문장과 함께 다시 이어보겠습니다. 임의의 양수 입실론이 주어질 때, a로부터 델타만큼 떨어진 적당한 범위를 설정해서 그 안에 있는 x에 대응하는 f(x)들은 L로부터 입실론 만큼 떨어진 범위 안에 있게 만들 수 있으면 x가 a로 갈 때, f(x)의 극한을 L이라고 하자. 입니다.

 

그래프를 이용해 직관적으로 살펴보겠습니다. 우리는 x가 a로 한 없이 가까이 갈 때, f(x)가 L로 한 없이 가까이 간다는것을 보이고 싶습니다. 그래서 먼저 입실론을 설정합니다. 그렇다면 y축에 파란색으로 입실론에 해당하는 범위가 생기는데 이를 L의 입실론 반경이라 하겠습니다. 다음으로 x축에서 a를 기준으로 하는 델타 반경 즉 주황색 범위를 잡아서파란색 안으로 넣을 수 있을까요? 델타를 적당히 작게 만든다면 가능합니다. 이제 입실론은 임의의 양수 이므로 조금작게 만든다면 어떻게 될까요? 다시 그에 해당하는 델타를 만들어 더 작게 범위를 잡으면 됩니다. 이를 반복해도 임의의 입실론에 대응하는 적당한 델타를 반드시 잡을 수 있기에 우리는 이러한 상황을 보고 극한이 존재한다고 말합니다. 극한을 계속 이동하는 개념에서 대응관계를 설정할 수 있는지에 대한 개념으로 전환한 것입니다.

 

이 식의 의미를 조금만 더 깊이 관찰해보겠습니다.

 

우선 여기 부등호는 등호가 포함되어 있지 않습니다. 따라서 a라는 점을 포함하지 않는 반경을 의미하므로 굳이 a점이정의되지 않아도 극한은 정의될 수 있습니다. 따라서 다음과 같은 여러가지 함수에서도 극한값은 함숫값과는 전혀 상관없이 잘 정의됩니다.

 

다음으로 이 두 부분을 이어서 관찰해보겠습니다. 실수는 삼일률 즉, 0보다 크거나 같거나 작아야만 합니다. |f(x)-L|에서 절댓값은 0보다 작을 수는 없으므로 항상 0보다 크거나 같습니다. 그런데 임의의 양수 입실론은 |f(x)-L|보다 크므로|f(x)-L|은 0보다 클 수 없습니다. 왜냐하면 |f(x)-L|이 0보다 큰 수라고 한다면 임의의 양수 입실론을 |f(x)-L|/2라고 두면모순이 생기기 때문이죠. 따라서 |f(x)-L|은 0보다 크지도 작지도 않다 |f(x)-L|=0 즉, f(x)=L입니다. 이 말은 극한이 한 없이 이동하는 것이 아닌 정확히 같은 수임을 의미합니다. 이전의 무한이 한 없이 어떤 값을 향해 이동하는 개념이었다면이제는 정적으로 고정된 개념으로 바꿔버린 것이죠.

 

실제 예시를 가져와보겠습니다. 여기 x가 3으로 갈 때, lim x+2라는 문제가 있습니다. 저는 이 극한이 5라는 것을 증명하겠습니다. 일단 여러분들 마음속으로 아무런 양수 하나를 생각해주시기 바랍니다. 생각하셨나요? 저는 예를 들어 그양수를 쉽게 1이라 하겠습니다. 극한이 5라는 것을 보여주기 위해 함숫값 5를 기준으로 입실론인 1만큼의 반경을 만들겠습니다. 그 다음으로 x가 3으로 가므로 3을 기준으로 적당한 반경을 만들어 그 범위에 해당하는 모든 함숫값이 아까만들었던 반경 안에 들어가도록 하고 싶습니다. 그렇다면 함수가 x+2이므로 역상을 관찰해보면 이 값은 3+1, 3-1 입니다. 이 수보다 작게 제가 3을 기준으로 델타를 1/2이라 한다면 델타반경에 있는 모든 수의 함숫값은 입실론 반경안으로들어오게 됩니다. 극한의 정의를 잘 만족하죠. 그런데 임의의 양수이므로 1이 아니라 여러분이 생각한 수라면 어떻게될까요? 앞의 과정을 일반화시켜 1을 입실론으로 바꾸어준다면 델타는 입실론/2로 설정하면 여러분이 아무런 양수 입실론을 가져오더라도 그에 해당하는 델타반경을 잡을 수 있습니다. 따라서 x가 3으로 갈 때, x+2은 5로 수렴하는 것을수학적으로 보일 수 있습니다.

 

조금 빨랐지만 핵심은 이거입니다. 다른 사람이 여러분에게 아무 양수를 주었을 때, 그 양수에 대응하는 적당한 양수를항상 제시할 수 있다면 극한이 존재한다는 것을 보일 수 있다는 것입니다. 이 식의 의미를 한 번에 이해하기는 어렵습니다. 이 내용까지 발전시키는데 100년이 넘는 세월이 걸렸고, 학부에서도 실수의 완비성부터 설명한다면 개념만 일주일은 꼬박 투자해야합니다. 나아가 이렇게 쉬운 일차함수가 아니라 우리가 지금까지 본 모든 함수별로 델타를 잡을 때생기는 미묘한 오류를 극복하기 위해서 여러 스킬들까지 연마하셔야합니다. 여러분들이 이 영상을 보고 이를 한 번에할 수 있길 바라지는 않습니다. 다만 이러한 과정을 통해 현대적 극한 개념을 정립하고 이를 바탕으로 연속과 미분, 적분을 정의하기 위해 수학자들이 얼마나 노력했는지 알아가신다면 좋겠습니다. 

 

마지막으로 이 개념을 바탕으로 0.9999...=1임을 보이겠습니다. 무한대로 발산하는 것과 수열의 극한은 아까 보았던 식을 조금 변형해서 정의합니다. 식을 읽어보면 임의의 양수 입실론에 대하여 입실론에 대응하는 적당한 자연수 K가 존재하여 K 큰 첨자를 가진 항들 a_n과 alpha와의 차이가 입실론보다 작으면 a_n은 alpha로 수렴한다고 합니다. 

 

이 식은 이전의 식과 다른 부분을 주의 깊게 봐야합니다. 첫번째로 이 전에 보았던 식은 한 없이 어떤 수로 가까이 갈 때의 극한이었지만 이번은 한 없이 커지는 극한이므로 처음 제시하는 입실론에 대응하는 적당한 자연수를 설정하여 차이를 관찰하는 것이 아닌 이 수보다 커지기만 하면 된다는 것입니다. 두번째는 적당한 K보다 커지면 수열과 극한의 차이가 줄어든다는 것으로부터 입실론이 작으면 작을수록 K의 값이 커질 것이라는 것 즉 반비례 관계가 있을 것입니다. 마지막으로 극한은 K보다 큰 것에만 관심이 있으므로 K 작은 값들 즉 수렴하기 전에 유한개의 항들이 어떤지는 별로관심이 없습니다.

 

0.9999...=1임을 보이면서 이 식의 의미를 좀 더 보도록 하겠습니다. 0.9999...는 수열로 n이 1이면 0.9, n이 2이면 0.99로커지는 수를 표현하기 위해 1-(1/10)^n라고 하겠습니다. 이제 아까와 같이 적당한 양수 입실론을 설정해 설명해보겠습니다. 저는 임의의 양수 입실론을 1/10이라 하겠습니다. 그렇다면 수열은 2번째 항부터 1과의 차이가 1/10보다 작게되므로 K=1라 둔다면 이 식은 성립합니다. 만약 입실론을 1/10000이라 한다면 수열은 5번째 항부터 1과의 차이가1/10000보다 작아지므로 K=4라 둔다면 식은 성립합니다.  이를 일반화하여 임의의 입실론에 대해 그보다 오차를 줄일수 있는 K를 정의할 수 있으므로, 다른말로 이 식을 만족시키는 입실론에 대응하는 K는 반드시 존재하므로 수열의 극한은 1이라는 것을 알 수 있습니다.

 

입실론-델타 논법은 생소한 문자의 도입으로 처음 배울 때 개념 자체를 상당히 어렵게 느낍니다. 더욱이 문자의 정적이고 형식적인 측면이 강조됨으로써 동적인 변수의 의미가 상대적으로 부각되기 어려워 학생들에게 혼란을 줄 소지가크다는 판단으로 현재의 학교 수학에서는 지도하는게 적절하지 않다고 여겨집니다. 따라서 학교수학에서는 앞에서 말한 개념을 설명은 하지만 비유와 유추를 사용하여 말로만 해야하는 한계에 선생님들마다 해설하는 방식도 다르고 여러분들이 이해하는 방식도 다를 수밖에 없습니다. 그래서 저는 여러분들이 이 영상을 통해 극한을 완벽하게 이해하시길 바라는 것보다는 처음 0.9999...=1을 배웠을 때 이해가 되지 않았던 부분을 조금이나마 해소하고 현대의 수학이 무한을 어떻게 바라보고 있는지만 알고 가신다면 좋겠습니다. 여기까지 무한 2편을 마무리하겠습니다. 이번 영상은 굉장히 논리와 수식으로만 전개한 이야기라 어려웠지만 다음 영상은 역설을 바탕으로한 '길이이론'을 다뤄볼 예정이라 재밌을거라 생각합니다.처음 무한을 배웠던 때가 언제 일까요? 중학교에서는 유리수를 정의하며 순환하는 무한소수를 다루게 됩니다. 그리고그 결과로 0.9999...=1임을 얻어냅니다. 유도과정을 잠시 살펴보겠습니다. 0.9999...를 s라 하면 10s=9.9999...이므로 이둘을 뺀 후 9 로 나누어주면 9s=9이므로 s=1임을 알 수 있습니다. 연산과정에서 보면 이는 너무나 명확해보이지만0.9999...는 1보다 작아보이는데 같다고 하는게 이해가 되진 않습니다. 고등학교에 올라와 극한에 대해 배우면 그래도이해가 되는 것 같지만 누군가 와서 태클을 걸면 틀린건 알겠는데 설명하기 힘드신 경험이 있을 것입니다. 사실 극한의개념을 다루지도 않고 바로 한 없이 나아간다는 개념으로 소수를 정의하나보니 중학교 과정에서 어려운 것은 당연합니다. 그래서 오늘은 수학에서 어떻게 극한을 어떻게 정의하는지 나아가 0.9999...=1인 것을 어떻게 정당화하는지 알아보도록 하겠습니다.

 

고등학교 미적분시간에서 극한은 함수 f(x)에서 x가 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 일정한 값 L에 한 없이 가까워지면 함수 f(x)는 L에 수렴한다고 하고, L을 f(x)의 극한값 또는 극한이라고 하며 기호로 다음과 같이 나타냅니다.

 

여기서 '한 없이 가까이 간다'라는 표현을 볼 필요가 있습니다. 고등학교 교육과정에서는  이런 표현으로 극한을 직관적으로 이해시키지만 반대로 이러한 일상적인 표현때문에 극한에 대한 오개념이 형성이 됩니다. 왜냐하면 계속 변하고 있는 상태처럼 보이기 때문이죠. 이러한 무한을 '가무한' 이라고 합니다. 계속 진행하면서 생성되는 무한 가능한 무한이라는 뜻이죠. 이러한 소극적 의미의 극한은 고대부터 뉴턴시대까지 이어져 왔습니다. 뉴턴은 완결되지 않은 가능적 무한으로 극한을 정의했습니다. 극한에 관한 설명이 불완전하다는 것을 알았지만 수학적인 연구결과가 물리학적으로 참이 되었으므로 미적분의 논리적 기초에 대해서는 관심을 두지 않았죠. 우리가 현재 고등학교에서 배우는 극한은뉴턴과 라이프니츠가 만든 개념을 배우기에 마찬가지로 깊이 있게 극한을 다루지 않고 계산만 합니다. 그래서 저는 고등학교 미적분은 해석학(analysis)보다는 미적분(calculus)에 가깝다고 생각합니다.

 

하지만 이러한 '가무한'의 개념은 0.9999...이 1로 한 없이 가고있는 것이지 1은 아니다라는 말에 반박하기에는 어렵습니다. 그래서 수학자들은 ' '이라는 개념으로 무한을 바라보게 됩니다. 무한을 양적인 개념으로 임의로 계속 확장해 나갈 수 있는 것으로서 시간과 공간에 적용되는 개념이 아닌 질적으로 자기 스스로 완결한 하나의 상태로 보는 것 즉 완성된 수학의 대상으로 보는 것입니다. 사실 뉴턴도 몰랐던 개념이기에 고등학교 수학까지만 배우셨다면 모르셔도 됩니다. 다만 이러한 아이디어로 나아가기 위해 이제부터 극한을 새롭게 정의할 것입니다. 바로 입실론-델타 논법이죠.

 

임의의 양수 입실론에 대하여, 적당한 델타가 존재하여 x와 a의 차이가 0보다 크고 델타보다 작을 때, f(x)와 L의 차이가 입실론보다 작으면 L 을 f(x)의 극한값 또는 극한이라 합니다. 어렵죠. 영어식 표현이기도 하고 저도 수식으로 쓰는게 편한 개념이라 말로만 설명하면 무슨 말인지 하나도 모르는게 당연합니다. 차근차근 영어를 해석해 보도록 하죠.

 

영어식 표현으로 이 부분을 표현하면 Given an epsilon greater than zero, 입실론이 어떤 수인지는 모르지만 양수로서 하나 주어졌다고 합시다. 영어식 표현을 굳이 하는 이유는 임의의 입실론이라고 하면 입실론이 계속 변하는 수라 생각하는데 그렇게 생각하시면 안됩니다. (심지어 fixed라는 표현을 쓰는 곳도 있습니다.) 우리는 입실론이 정확히 어떤 수인지는 모르지만 그래도 그러한 입실론 하나 주어졌다고 하자. 라고 받아들이셔야 이 논법을 이해하실 수 있습니다. 영어는 뒤부터 해석해야하므로 뒷 부분을 보겠습니다. 우선 식의 모양이 비슷합니다. 이 식의 절댓값을 풀어서 보면 x는 a로 부터 델타 만큼, f(x)는 L로부터 입실론만큼 떨어진 범위 안에 포함된다고 볼 수 있습니다. 이어서 해석하면 a로부터델타만큼 떨어진 범위 안에 있는 x에 대응하는 f(x)들은 L로부터 입실론 만큼 떨어진 범위 안에 있다. 입니다. 그런데앞에 이상한 기호가 더 있습니다. 이 기호는 exist 존재하다, 어떤의 뜻을 갖고 있습니다. 이 기호는 such that 아래와 같은 이라는 기호입니다. 이제 맨 앞의 해석한 문장과 함께 다시 이어보겠습니다. 임의의 양수 입실론이 주어질 때, a로부터 a를 포함하지 않는 델타만큼 떨어진 적당한 범위를 설정해서 그 안에 있는 x에 대응하는 f(x)들은 L로부터 입실론만큼 떨어진 범위 안에 있게 만들 수 있으면 x가 a로 갈 때, f(x)의 극한을 L이라고 하자. 입니다.

 

그래프를 이용해 직관적으로 살펴보겠습니다. 우리는 x가 a로 한 없이 가까이 갈 때, f(x)가 L로 한 없이 가까이 간다는것을 보이고 싶습니다. 그래서 먼저 입실론을 설정합니다. 그렇다면 y축에 파란색으로 입실론에 해당하는 범위가 생기는데 이를 L의 입실론 반경이라 하겠습니다. 다음으로 x축에서 a를 기준으로 하는 델타 반경 즉 주황색 범위를 잡아서파란색 안으로 넣을 수 있을까요? 델타를 적당히 작게 만든다면 가능합니다. 이제 입실론은 임의의 양수 이므로 조금작게 만든다면 어떻게 될까요? 다시 그에 해당하는 델타를 만들어 더 작게 범위를 잡으면 됩니다. 이를 반복해도 임의의 입실론에 대응하는 적당한 델타를 반드시 잡을 수 있기에 우리는 이러한 상황을 보고 극한이 존재한다고 말합니다. 극한을 계속 이동하는 개념에서 대응관계를 설정할 수 있는지에 대한 개념으로 전환한 것입니다.

 

이 식의 의미를 조금만 더 깊이 관찰해보겠습니다. 우선 여기 부등호는 등호가 포함되어 있지 않습니다. 따라서 a라는점을 포함하지 않는 반경을 의미하므로 굳이 a점이 정의되지 않아도 극한은 정의될 수 있습니다. 따라서 다음과 같은여러가지 함수에서도 극한값은 함숫값과는 전혀 상관없이 잘 정의됩니다. 다음으로 이 두 부분을 이어서 관찰해보겠습니다. 실수는 삼일률 즉, 0보다 크거나 같거나 작아야만 합니다. |f(x)-L|에서 절댓값은 0보다 작을 수는 없으므로 항상 0보다 크거나 같습니다. 그런데 임의의 양수 입실론을 f(x)의 극한과 L의 차의 절반이라 둔다면, 다음과 같이 모순이생기게 됩니다. 따라서 lim f(x) - L은 0보다 크지도 작지도 않다. 0이다. 즉,  lim f(x) = L입니다. 이 말은 극한이 한 없이이동하는 것이 아닌 정확히 같은 수임을 의미합니다. 이전의 무한이 한 없이 어떤 값을 향해 이동하는 개념이었다면 이제는 정적으로 고정된 개념으로 바꿔버린 것이죠.

 

실제 예시를 가져와보겠습니다. 여기 x가 3으로 갈 때, lim x+2라는 문제가 있습니다. 저는 이 극한이 5라는 것을 증명하겠습니다. 일단 여러분들 마음속으로 아무런 양수 하나를 생각해주시기 바랍니다. 생각하셨나요? 저는 예를 들어 그양수를 쉽게 1이라 하겠습니다. 극한이 5라는 것을 보여주기 위해 함숫값 5를 기준으로 입실론인 1만큼의 반경을 만들겠습니다. 그 다음으로 x가 3으로 가므로 3을 기준으로 적당한 반경을 만들어 그 범위에 해당하는 모든 함숫값이 아까만들었던 반경 안에 들어가도록 하고 싶습니다. 그렇다면 함수가 x+2이므로 역상을 관찰해보면 이 값은 3+1, 3-1 입니다. 이 수보다 작게 제가 3을 기준으로 델타를 1/2이라 한다면 델타반경에 있는 모든 수의 함숫값은 입실론 반경안으로들어오게 됩니다. 극한의 정의를 잘 만족하죠. 그런데 임의의 양수이므로 1이 아니라 여러분이 생각한 수라면 어떻게될까요? 앞의 과정을 일반화시켜 1을 입실론으로 바꾸어준다면 델타는 입실론/2로 설정하면 여러분이 아무런 양수 입실론을 가져오더라도 그에 해당하는 델타반경을 잡을 수 있습니다. 따라서 x가 3으로 갈 때, x+2은 5로 수렴하는 것을수학적으로 보일 수 있습니다.

 

조금 빨랐지만 핵심은 이거입니다. 다른 사람이 여러분에게 아무 양수를 주었을 때, 그 양수에 대응하는 적당한 양수를항상 제시할 수 있다면 극한이 존재한다는 것을 보일 수 있다는 것입니다. 이 식의 의미를 한 번에 이해하기는 어렵습니다. 이 내용까지 발전시키는데 100년이 넘는 세월이 걸렸고, 학부에서도 실수의 완비성부터 설명한다면 개념만 일주일은 꼬박 투자해야합니다. 나아가 이렇게 쉬운 일차함수가 아니라 우리가 지금까지 본 모든 함수별로 델타를 잡을 때생기는 미묘한 오류를 극복하기 위해서 여러 스킬들까지 연마하셔야합니다. 여러분들이 이 영상을 보고 이를 한 번에할 수 있길 바라지는 않습니다. 다만 이러한 과정을 통해 현대적 극한 개념을 정립하고 이를 바탕으로 연속과 미분, 적분을 정의하기 위해 수학자들이 얼마나 노력했는지 알아가신다면 좋겠습니다. 

 

마지막으로 이 개념을 바탕으로 0.9999...=1임을 보이겠습니다. 무한대로 발산하는 것과 수열의 극한은 아까 보았던 식을 조금 변형해서 정의합니다. 식을 읽어보면 임의의 양수 입실론에 대하여 입실론에 대응하는 적당한 자연수 K가 존재하여 K 큰 첨자를 가진 항들 a_n과 alpha와의 차이가 입실론보다 작으면 a_n은 alpha로 수렴한다고 합니다. 

 

이 식은 이전의 식과 다른 부분을 주의 깊게 봐야합니다. 첫번째로 이 전에 보았던 식은 한 없이 어떤 수로 가까이 갈 때의 극한이었지만 이번은 한 없이 커지는 극한이므로 처음 제시하는 입실론에 대응하는 적당한 자연수를 설정하여 차이를 관찰하는 것이 아닌 이 수보다 커지기만 하면 된다는 것입니다. 두번째는 적당한 K보다 커지면 수열과 극한의 차이가 줄어든다는 것으로부터 입실론이 작으면 작을수록 K의 값이 커질 것이라는 것 즉 반비례 관계가 있을 것입니다. 마지막으로 극한은 K보다 큰 것에만 관심이 있으므로 K 작은 값들 즉 수렴하기 전에 유한개의 항들이 어떤지는 별로관심이 없습니다.

 

0.9999...=1임을 보이면서 이 식의 의미를 좀 더 보도록 하겠습니다. 0.9999...는 수열로 n이 1이면 0.9, n이 2이면 0.99로커지는 수를 표현하기 위해 1-(1/10)^n라고 하겠습니다.

 

a_n은 1보다 작고(상계가 존재) 계속 커지기에(단조 증가) 단조수렴정리에 의해 수렴하므로 수렴값을 바로 찾도록 하자.

 

 이제 아까와 같이 적당한 양수 입실론을 설정해 설명해보겠습니다. 저는 임의의 양수 입실론을 1/10이라 하겠습니다. 그렇다면 수열은 2번째 항부터 1과의 차이가 1/10보다 작게되므로 K=1라 둔다면 이 식은 성립합니다. 만약 입실론을1/10000이라 한다면 수열은 5번째 항부터 1과의 차이가 1/10000보다 작아지므로 K=4라 둔다면 식은 성립합니다.  이를일반화하여 임의의 입실론에 대해 그보다 오차를 줄일 수 있는 K를 정의할 수 있으므로, 다른말로 이 식을 만족시키는입실론에 대응하는 K는 반드시 존재하므로 수열의 극한은 1이라는 것을 알 수 있습니다.

 

입실론-델타 논법은 생소한 문자의 도입으로 처음 배울 때 개념 자체를 상당히 어렵게 느낍니다. 더욱이 문자의 정적이고 형식적인 측면이 강조됨으로써 동적인 변수의 의미가 상대적으로 부각되기 어려워 학생들에게 혼란을 줄 소지가크다는 판단으로 현재의 학교 수학에서는 지도하는게 적절하지 않다고 여겨집니다. 따라서 학교수학에서는 앞에서 말한 개념을 설명은 하지만 비유와 유추를 사용하여 말로만 해야하는 한계에 선생님들마다 해설하는 방식도 다르고 여러분들이 이해하는 방식도 다를 수밖에 없습니다. 그래서 저는 여러분들이 이 영상을 통해 극한을 완벽하게 이해하시길 바라는 것보다는 처음 0.9999...=1을 배웠을 때 이해가 되지 않았던 부분을 조금이나마 해소하고 현대의 수학이 무한을 어떻게 바라보고 있는지만 알고 가신다면 좋겠습니다. 여기까지 무한 2편을 마무리하겠습니다. 이번 영상은 굉장히 논리와 수식으로만 전개한 이야기라 어려웠지만 다음 영상은 역설을 바탕으로한 '길이이론'을 다뤄볼 예정이라 재밌을거라 생각합니다.