반 힐 모델(Van Hiele model) 기하 학습 수준 이론

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반 힐 부부는 학생들이 기하를 배울때 나타나는 학습 수준의 비약적 상승에 주목하여 반 힐 모델을 제시했습니다. 

 

레벨 0은 시각적 인식 수준으로 모양이 비슷한 것 끼리 묶어 도형의 이름을 말하는 수준입니다. 

 

이것들은 삼각형, 이것들은 사각형으로 말이죠.

 

레벨 1은 분석적 수준으로 도형을 성질에 주목하여 분류하는 수준입니다. 

 

(예를들어 내각의 합이 180도이면 삼각형, 360도이면 사각형인 것으로 말이죠.)

 

레벨2는 추상적 수준으로 도형사이의 관계를 파악하고 개념의 성질에 대한 필요조건과 충분조건을 구별하는 수준입니다.

 

(어떤 성질을 만족해야 정사각형이 만들어지는지 아는 것 처럼 말이죠.)

 

레벨3는 연역적 수준으로 공리, 정의, 정리를 이해하고 단순한 증명을 할 수 있는 수준입니다. 

(우리가 흔히 유클리드 기하학에서 하는 증명처럼 말이죠.)

 

레벨 4는 레벨3에서 고정되어 있다고 생각되는 공리와 정의를 뛰어넘어 여러가지 공리 체계를 비교하며, 다양한 기하학을 논할 수 있는 단계입니다.

 

여러분들은 몇 단계인가요?

 

수학 교육에서 반 힐 모델은 학생들이 기하학을 배우는 방법을 설명하는 이론입니다. 이 이론은 1957년 네덜란드 위트레흐트 대학에서 디나 판 헬도프(Dina van Hiele-Geldof)와 피에르 판 힐레(아내와 남편)의 박사학위 논문에서 비롯됐습니다. 이 모델은 초급 수준의 특성 분석과 도형 분류를 강조함으로써 전 세계 기하학 커리큘럼에 큰 영향을 미쳤습니다. 반 힐 모델에서 가장 잘 알려진 부분은 학생들이 기하학에서 어떻게 추론하는지를 설명하기 위해 가정하는 5가지 레벨이며 학생들이 어떻게 기하를 이해하고 발전하는지를 묘사하는 것이지 수학적 수준을의미하지는 않습니다.

 

레벨 0 시각화의 학생들은 사고의 초점이 개별적인 모양에 있습니다. 예를 들어 정사각형은 "다이아몬드"라고 불리며, 옆면이 수평에 45°의 방향을 향하면 정사각형으로 인식하지 않습니다. 이런 수준의 학생들은 종종 하나의 예를 바탕으로 어떤 것이 진실이라고 믿습니다.

 

레벨 1 분석수준의 학생들은 도형의 모양보다 성질이 더 중요합니다. 칠판에 그림을 그리고 선생님이 조화로운 면과 각도를 갖기 위한 것이라고 주장하면, 학생들은 그것이 잘 그려지지 않더라도 사각형이라고 받아들입니다.모양에 대한 많은 특성들을 알아차리기 시작하지만, 특성들 사이의 관계를 보지 못해 도형의 성질이 어떻게 연관되어 있는지 이해하지 못합니다.

 

레벨 2 추상화 수준의 학생들은 속성이 관련되고 하나의 속성이 다른 속성을 의미할 수 있다는 것을 이해합니다. 학생들은 기하학적 도형에 대한 간단한 논쟁으로 이치를 따질 수 있습니다 이 수준의 학생은 "등각 삼각형은 대칭적이므로 기본 각도가 같아야 한다.라고 말합니다. 모든 정사각형이 직사각형이지만 모든 정사각형이 정사각형인 것은 아니라는 것을 인식하고, 정사각형이 각각의 특성에 대한 이해를 바탕으로 한 직사각형의 한 유형인 이유를 이해합니다. 그러나 아직 추론의 본질적인 의미를 이해하지 못하고 있어 공리의 필요성을 파악할 수도 없기 때문에, 아직 형식적인 기하학적 증명의 역할을 이해할 수는 없습니다.

 

레벨 3 공제 수준의 학생들은 추론의 의미를 이해합니다. 연역적 추론(단순한 증명)으로, 형식적 증명(유클리드 기하학)의 체계를 형성하도록 배웁니다다. 학생들은 중,고등학교 수준에서 기하학적 증거를 만들고 그 의미를 이해할 수 있습니다. 유클리드 기하학에서 정의되지 않은 용어, 정의, 공리, 이론의 역할을 이해하지만 공리와 정의가 고정되어 있기 때문에 아직 비유클리드 기하학을 상상할 수 없다고 믿고 있습니다. 기하학적 도형은 유클리드 평면에서 여전히 사물로 이해하는 수준입니다.

 

레벨 4 엄격함수준에서 기하학은 수학자의 수준으로 이해됩니다. 학생들은 정의가 자의적이며 실제로 어떤 구체적인 실현을 언급할 필요는 없다는 것을 이해합니다. 이제 비유클리드 기하학을 이해하면서 공부할 수 있습니다.