MIT 졸업생 95%가 풀지 못한다는 과일 문제 | 엄마 저 커서 수학자가 될래요

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MIT 졸업생 95%가 풀지 못한다고 소개된 이 문제는

SNS에 널려있는 과일 문제에 빡친

수학과 교수님들이 (2017년에) 만든 문제입니다.

언뜻보면 쉽게 풀릴 것 같지만

실제로 도전해보면 토 나올 정도입니다.

대수를 잘 못하는 저는 그냥 넘어가고 싶었지만

구독자님들의 요청으로 방학이기도 해서 도전해보겠습니다.

 

우선 수학으로 문제를 해결하기 위해

사과를 a, 바나나를 b, 파인애플을 c라 두겠습니다.

여기서 우리는 몇가지 성질을 관찰해야합니다.

우선 a,b,c는 순서가 바뀌더라도 같은 식이므로

순서에 상관없이 근을 찾아도 됩니다.

또한 방정식은 한 항에 a,b,c가 모두 있으므로

적당한 수를 곱해도 식이 유지됩니다.

이 성질을 이용하면 양의 유리수근을 찾아서

분모의 최소공배수를 곱하면 자연수근을 찾을 수 있다는 것도 알 수 있습니다.

그리고 하나의 자연수근을 찾은 다음

적당한 수를 곱해서 다른 자연수근을 찾을 수 있습니다.

그러므로 a,b,c 순서의 상관없이 최소의 근 하나만 찾겠습니다.

 

이제 이 식을 정리해보겠습니다.

분모를 없애기 위해 분모의 최소공배수를 곱해 정리하면

삼차곡선(cubic curve)형태가 됩니다.

이 식은 모양이 비슷한 항이 여러개가 있으므로

손쉽게 a=-b와 c=0가 근이 된다는 것을 알 수 있습니다.

즉 a,b,c에 각각 (1,-1,0)을 대입하면 유리수 근을 가지므로

2차원에 사영시키면 타원곡선이 되어 공식을 이용해 식을 정리할 수 있습니다.

이 공식을 이용하면 a,b,c와 x,y의 관계에 대해서도 정리할 수 있으며

다음과 같이 물고기모양의 그래프를 그릴 수 있습니다.

 

여기서 잠깐 타원곡선은 보통 2차항이 없는 꼴인데

왜 이렇게 식을 쓰냐고 하시는 분들이 계실 것 같아 잠깐만 짚고 넘어가면

체 K위에서 표수가 2나 3이 아니면 모든 타원곡선은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

물론 실수체나 복소수체는 유리수체를 포함하므로 표수는 0이라서 이러한 꼴로 표현할 수 있겠죠.

하지만 이 표현은 long Weierstrass form이라 부르는데 꼭 필요한 것은 아니지만

계산할 때 편리한 점이있기에 사용합니다.

실제로 두 표현법은 평행이동에만 차이가 있을 뿐

그려보면 아까와 같이 물고기 모양처럼 타원곡선의 형태를 띈다는 것도 알 수 있습니다.

https://math.stackexchange.com/questions/1259490/weierstrass-equation-long-vs-normal-form

 

더 나아가기 전에 타원곡선의 중요한 성질을 잠깐만 알아보도록 하겠습니다.

복소사영공간에서 타원곡선 y^2=x^3+ax+b위의 두 점을 지나는 직선과 타원 곡선은

또 다른 점에서 만나게 됩니다.

직선의 기울기를 r이라 하고 직선의 식을 3차식에 대입해 정리하면 세 개의 해를 얻을 수 있습니다. 2차항의 계수를 비교하면 관계식을 얻을 수 있습니다.

이를 일반화해 점들간의 연산으로서 P+Q=-R로 정의합니다.

만약 P와 Q가 같다면 접선을 이용하여 다른 한 교점을 구할 수 있습니다.

이렇게 정의된 덧셈에 관한 항등원을 무한원점 [0, 1, 0] 으로 하면

덧셈은 교환법칙과 결합법칙을 만족하여 복소수상의 타원곡선 E(C)는 덧셈군을 이룹니다. 두 점이 유리수점이면 다른 한 점도 유리수 점이므로 타원곡선 위의 유리수 점들의 집합 E(Q)는 E(C)의 부분군이 됩니다.

쉽게 말하자면 타원곡선에서 한 유리수 근을 찾은 후

접선을 이용해 다른 유리수 근을 찾을 수 있다는 뜻입니다.

https://www.koreascience.or.kr/article/JAKO201514751393433.pdf

 

우리는 처음에 a,b,c가 굳이 자연수가 아니어도

유리수근을 찾은 후 분모의 최소공배수를 곱하면

자연수근이 된다는 것을 알았습니다.

따라서 타원곡선의 유리수점의 접선을 이용해

이 문제의 해답을 찾을 수 있을 것 같습니다.

 

다시 돌아와 정리된 식에서 x를 관찰해보겠습니다.

우리가 구해야하는 a,b,c가 모두 양수이므로 분자는 자명하게 음수입니다.

분모에서 만약 c가 6(a+b)보다 크다 가정하면

이 식은 성립할 수 없으므로 귀류법에 의해 분모는 양수가 됩니다.

따라서 a,b,c가 모두 양수이게 만드는 x는 0보다 작은 수일 때

즉 물고기의 머리부분에서 생기는 것을 알 수 있습니다.

(이는 매우 부족한 설명이며 엄밀한 증명은 논문을 참고해주세요)

이 물고기 머리부분에서 눈 크게 뜨고 유리수 점을 찾아보면

P(-100,260)을 발견할 수 있습니다.

 

틀리면 어떻게 하냐 하겠지만 검산해보면 성립하므로

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-100%29%5E3%2B109*100%5E2-224*100%3D260%5E2

이 근을 이용해 (a,b,c)를 찾도록 하겠습니다.

처음 식에 P를 대입해 a,b,c를 찾으면 다음과 같고

(𝑎=2/7,𝑏=−1/14,𝑐=11/14는 )

분모의 최소공배수인 14를 곱해주면 (4,-1,11)를 얻을 수 있습니다.

하지만 이는 정수해이긴하나 자연수해는 아닙니다.

따라서 점 P와 타원곡선의 성질을 이용해 2P를 찾고

𝑃+𝑃=2𝑃=(8836/25,−950716/125) 이를 대입해

(𝑎,𝑏,𝑐)=(9499,−8784,5165)를 찾습니다.

또 자연수해가 아니므로 타원곡선의 성질을 이용해

3𝑃=2𝑃+𝑃, 4p를 찾으며 이 작업을 반복하면

9P=(-66202368404229585264842409883878874707453676645038225/13514400292716288512070907945002943352692578000406921,  

58800835157308083307376751727347181330085672850296730351871748713307988700611210/1571068668597978434556364707291896268838086945430031322196754390420280407346469)에서

 

자연수 해 (a,b,c)를 얻어낼 수 있습니다.

너무 큰 수라 자리수만 본다면 a는 81자리, b는 80자리, c는 79자리입니다.

a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999,  

b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579,  

c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036

 

 

참고문헌 정리

논문 An unusual cubic representation problem

https://ami.uni-eszterhazy.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_43_from29to41.pdf

 

원본 Quora

https://www.quora.com/How-do-you-find-the-positive-integer-solutions-to-frac-x-y+z-+-frac-y-z+x-+-frac-z-x+y-4

 

long weierstrass equation

https://math.stackexchange.com/questions/1259490/weierstrass-equation-long-vs-normal-form

 

estimating-the-size-of-solutions-of-a-diophantine-equation

https://mathoverflow.net/questions/227713/estimating-the-size-of-solutions-of-a-diophantine-equation/227722#comment562414_227760

 

Elliptic curve wiki

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve

 

타원곡선의 역사 개관

https://www.koreascience.or.kr/article/JAKO201514751393433.pdf

 

대수기하학이란?

http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2008_37/KN_2008_37_12.pdf