통계적 추정

모집단과 표본

1. 통계 조사에서 조사하고자 하는 대상 전체를 모집단이라 하며, 모집단 전체를 조사하는 것을 전수조사라고 합니다.
2. 모집단에서 뽑은 일부를 표본이라 하고, 표본을 뽑아 조사하는 것을 표본조사라고 합니다. 또한, 표본조사에서 뽑은 표본의 개수를 표본의 크기라고 합니다.
3. 모집단에 속하는 각 대상이 같은 확률로 추출되도록 표본을 추출하는 방법을 임의추출이라 합니다. 한 개의 자료를 뽑은 후 다시 넣고 반복하여 뽑는 것을 복원추출이라 하며, 넣지 않고 뽑는 것을 비복원추출이라 합니다.

모평균과 표본평균

모집단에서 조사하고자 하는 특성을 나타내는 확률변수를 $X$라 할 때, $X$의 평균, 분산, 표준편차를 각각 모평균, 모분산, 모표준편차라 하고, 이를 기호로 다음과 같이 나타냅니다.

$$
m, , \sigma^2, , \sigma
$$

표본평균, 표본분산, 표본표준편차

-모집단에서 임의추출한 크기가 $n$인 표본을 $X_1, X_2, \dots, X_n$이라 할 때, 표본평균, 표본분산, 표본표준편차를 기호로 다음과 같이 나타냅니다.

$$
\overline{X}, , S^2, , S
$$

 

1. 표본평균:
   $$
   \overline{X} = \frac{1}{n} (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)
   $$
2. 표본분산:
   $$S^2 = \frac{1}{n-1} \left\{ (X_1 - \overline{X})^2 + (X_2 - \overline{X})^2 + \cdots + (X_n - \overline{X})^2 \right\}$$
   표본평균을 정의할 때와 달리 표본분산의 정의에서 $n-1$로 나누는 이유는 표본분산과 모분산의 차이를 줄이기 위함입니다.

3. 표본표준편차:
   $$
   S = \sqrt{S^2}
   $$

표본평균의 평균, 분산, 표준편차

모평균이 $m$, 모표준편차가 $\sigma$인 모집단에서 임의추출한 크기가 $n$인 표본의 표본평균 $\overline{X}$에 대해 다음 성질이 성립합니다:

 

$$
E(\overline{X}) = m, \quad V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}, \quad \sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$

표본평균의 분포

모평균이 $m$, 모표준편차가 $\sigma$인 모집단에서 임의추출한 크기가 $n$인 표본의 표본평균 $\overline{X}$에 대해

1. 모집단이 정규분포를 따르면 $n$의 크기에 관계없이 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포를 따릅니다.
   $$
   N\left(m, \frac{\sigma^2}{n}\right)
   $$
2. 모집단이 정규분포를 따르지 않아도 $n$이 충분히 크면 표본평균 $\overline{X}$는 근사적으로 정규분포를 따릅니다.
   $$
   N\left(m, \frac{\sigma^2}{n}\right)
   $$
   보통 $n \geq 30$이면 충분히 큰 표본으로 간주합니다.

모평균의 추정

1. 표본을 조사해 얻은 정보를 이용하여 모평균, 모표준편차와 같이 모집단의 특성을 나타내는 값을 추측하는 것을 추정이라고 합니다.
2. 정규분포 를 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 인 표본의 표본평균의 값이 주어질 때, 신뢰도에 따른 모평균 에 대한 신뢰구간은 다음과 같습니다.
   (1) 신뢰도 95%의 신뢰구간: $$\overline{X} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{X} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$
   (2) 신뢰도 99%의 신뢰구간: $$ \overline{X} - 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{X} + 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
   표본의 크기 $n$이 충분히 크면 표본표준편차 $S$의 값을 $\sigma$대신 사용하여 모평균에 대한 신뢰구간을 구할 수도 있습니다.